1、 行列式的性质性质1:行列式和它的转置行列式的值相同。即=;行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质2 互换行列式的两行(列),行列式的值变号.如: D=ad-bc , =bc-ad= -D以r表第i行,C表第j列。交换 i,j两行记为r,交换i,j两列记作CC。性质3:如果一个行列式的两行(或两列)完全相同,那么这个行列式的值等于零。性质4:把一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。(第i行乘以k,记作r)推论1:一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论2:如果一个行列式的某一行(或某一列)的所有元素
2、都为零,那么行列式值等于零。推论3:如果一个行列式的某二行(或某二列)的对应元素成比例,那么行列式值等于零。性质5:如果行列式D的某一行(或某一列)的所有元素都可以表成两项的和,那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=+性质6:把行列式的某一行(或某一列)的元素乘同一个数后,加到另一行(或另一列)的对应元素上,行列式值不变。推论 如果行列式的某一行(列)的每个元素都是m个数之和(m2),则此行列式等于m个行列式之和。一个n阶行列式,如果它的元素满足:;试证:当n为奇数时,此行列式为零。每一行(或列)提出一个(-1),再转置得D=(-1)nD性质7 行列式的某一行(列)的各元素与另一行(列)
3、的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。按行:按列:将性质7 与Laplace定理合并为下列结论: (1) 和 (2)行列式的计算1利用行列式定义直接计算例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t(n1 n21n)等于,故2利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式,证明:奇数阶反对称行列式为零. 证明:由知,即故行列式Dn可表示为由行列式的性质当n为奇数时,得Dn =Dn,因而得Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例
4、3 计算n阶行列式 解:这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3,n列都加到第1列上,行列式不变,得4降阶法降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。例4 计算n阶行列式解 将Dn按第1行展开5逆推公式法逆推公式法:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn1, Dn2之间的一种关系称为逆推公式(其中Dn, Dn1, Dn2等结构相同),再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5 证明将Dn按第1列展开得 由此得递
5、推公式:,利用此递推公式可得6利用范德蒙行列式例6 计算行列式解 把第1行的1倍加到第2行,把新的第2行的1倍加到第3行,以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行,便得范德蒙行列式7加边法(升阶法)加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。例7 计算n阶行列式(箭形行列式)8数学归纳法例8 计算n阶行列式解:用数学归纳法. 当n = 2时假设n = k时,有 则当n = k+1时,把Dk+1按第一列展开,得由此,对任意的正整数n,有9拆开法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以利计算。例9 计算行列式
6、 上面介绍了计算n阶行列式的常见方法,计算行列式时,我们应当针对具体问题,把握行列式的特点,灵活选用方法。学习中多练习,多总结,才能更好地掌握行列式的计算。(1); 证明 关于行列式的消项(其中C代表列R代表行)(2) (a b)3; (a b)3(3) (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明 (c2 ,c3 ,c4减数字去第一列的) =(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) (4) xn a1xn 1 an 1x an 证明 用数学归纳法证明 当n 2时 命题成立 假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即
7、Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有 xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立 6 设n阶行列式D det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得 证明 D3 D 证明因为D det(aij) 所以 同理可证7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1), 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0 解 (按第n行展开) an an 2 an 2(a2 1) (2); 解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得再将各列都加到第一列上 得 x (n 1)a(x a)n 1 (3); 解 根据第6题结果 有此行列式为范德蒙德行列式 例3 练习3:证明: . 证明:左边从最后一行开始,每行减去上一行,得到:1 2 3 . n-1 n 1 1 1 . 1 1-n . . . . 1 1-n 1 . 1 1 然后做列变换,从各列中减去第一列,得到:1 1 2 . n-2 n-1 1 0 0 . 0 -n 1 -n 0 . 0 0 再把各列乘以(1/n),加回到第一列,得到:(n+1)/2 1 2 . n-2 n-1 0 0 0 . 0 -n 0 -n 0 . 0 0 最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*nn-1*(-1)(n-1)(n-2)/2
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