1、(2)设P(x,0),则根据比例式列出方程即可求得x的值,从而得到点P的坐标 解题方法点析 “K”字型相似基本图形1,在于寻找三个直角相等,熟记基本图形有利于快速找到相似三角形,从而通过建立方程解决问题类型2“K”字型相似基本图形22 条件:如图Z23,B,D,C三点共线,BEDFC.图Z23BDECFD.(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系?(2)如何证明ECDF?1如图Z24,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,CBOA,OCBA,OA7,BC1,AB5,点P为x轴上的一个动点,点P不与点O,A重合连结CP,过点P作PD交AB于点D.图Z24(1)直接写出点B的坐标:_
2、;(2)当点P在线段OA上运动时,使得CPDOAB,且BDAD32,求点P的坐标(1)过点B作BQx轴于点Q,依题意可得OQ4,AQ3,已知AB5,根据勾股定理求出QB即可解答(2)根据“K”字型相似,图中可以找到哪两个三角形相似?2如图Z25,已知直线ykx与抛物线yx2交于点A(3,6)图Z25(1)求直线ykx的函数表达式和线段OA的长度(2)若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O,A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足BAEBEDAOD.探究:m在什么范围内时,符合条件的点E分别有1个、2个?(1)利用待定系数法求出直线ykx的函数表达式,根据A点坐标
3、用勾股定理求出线段OA的长度(2)延长AB交x轴于点F,由BAEAOD可求出点F的坐标为_,进而再求得点B的坐标为_,然后由两点间距离公式可求得线段AB的长为_;由已知条件BAEBEDAOD,可得到“K”字型相似的基本图形2,故可得到_,设OEa,则由对应边的比例关系可以得到_从而得到关于a的一元二次方程为_,然后根据根的判别式可以分别得到a的值分别为1个、2个时m的取值范围“K”字型相似基本图形2,根据三个角相等,联想到“K”字型基本图形1,便于快速找到相似三角形,从而利用相似的有关性质解决问题专 题 训 练12017常州 如图Z26,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD2
4、OA6,ADAB31,则点C的坐标是()A(2,7) B(3,7) C(3,8) D(4,8)图Z262如图Z27,在矩形ABCD中,把DA沿AF对折,使得点D与CB边上的点E重合,若AD10,AB8,则EF_图Z2732017攀枝花 如图Z28,D是等边ABC边AB上的点,AD2,BD4.现将ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上,则_图Z284如图Z29,在直角梯形ABCF中,CB14,CF4,AB6,CFAB,在边CB上找一点E,使以E,A,B为顶点的三角形和以E,C,F为顶点的三角形相似,则CE_图Z295如图Z210,在直角梯形ABCD中,A90,
5、B120,AD,AB6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得DEF120(1)当点E是AB的中点时,线段DF的长度是_;(2)若射线EF经过点C,则AE的长是_图Z21062017绵阳将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图Z211所示放置,点D在AB边上,DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交CAB的两腰CA,CB于M,N两点若CA5,AB6,ADAB13,则MD的最小值为_图Z2117如图Z212,在四边形ABCD中,已知ADBC,B90,AB7,AD9,BC12,在线段BC上任取一点E,连结DE,作EFDE,交直线AB于点F.(1)若点F与B重合,求CE的长;(2)若点F在线段
6、AB上,且AFCE,求CE的长图Z2128如图Z213,在ABC中,ABAC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且APDB.(1)求证:ACCDCPBP;(2)若AB10,BC12,当PDAB时,求BP的长图Z21392017天水 ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BACEDF90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z214,当点Q在线段AC上,且APAQ时,求证:BPECQE.(2)如图Z214,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP2,CQ9时BC的
7、长图Z21410在ABC中,ABAC,BAC120,P为BC的中点,小明拿着含有30角的透明直角三角板,使30角的顶点落在点P上,三角板绕点P旋转(1)如图Z215,当三角板的一直角边和斜边分别与AB,AC交于点E,F时,连结EF,请说明BPECFP.(2)操作:将三角板绕点P旋转到图的情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E,F,连结EF.探究1:BPE与CFP相似吗?请说明理由;探究2:BPE与PFE相似吗?请说明理由图Z215参考答案例1【例题分层分析】(1)证明两个三角形相似常用的判定方法有:两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成
8、比例的两个三角形相似等(2)根据余角的性质还可以得到ADCE,ACBD,从而可证得ABCCED.证明过程略应用【例题分层分析】(1)根据“K”字型相似,可得到AOPPCB,所以(2)设P(x,0),因为AOOC4,BC1,所以OPx,PC4x,所以,解得x2,从而得到点P的坐标为(2,0)答案 (2,0)解析 PAPB,APOBPC90.AOx轴,APOPAO90,PAOBPC.又BCx轴,AOx轴,BCPPOA90,BCPPOA,点A(0,4),B(4,1),AO4,BC1,OC4.设P(x,0),则OPx,PC4x,解得x2,点P的坐标为(2,0)例2【例题分层分析】(1)两个图形都有三个
9、角相等,基本图形1是三个直角相等,而基本图形2是基本图形1的一般情况,更具普遍性,两个图形的形状均类似于字母“K”,因此称之为“K”字型相似图形(2)BEDFC,由外角性质可知EDCBEE.又EDCEDFFDCCDF,ECDF.BEDFC,又EDCEDFFDCFDC,EFDC.又BC,BDECFD.应用1(1)过点B作BQx轴于点Q,易求得BQ4,故得到点B的坐标为(4,4)(2)由“K”字型相似可得到POCDAP,所以设OPx,OCAB5,ADAB2,AP7x,解得x2或x5,所以点P的坐标为(2,0)或(5,0)解:(1)过点B作BQx轴于点Q.ABOC,AQ(71)23,在RtBQA中,
10、BA5,由勾股定理,得BQ4,点B的坐标为(4,4)(2)CPAOCPCOP,即CPDDPACOPOCP,而CPDOABCOP,OCPAPD,OCPAPD,AD2.设OPx,OCAB5,AP7x,解得x2或x5,点P的坐标为(2,0)或(5,0)应用2(1)直线ykx的函数表达式为y2x,OA3(2)点F的坐标为(,0),点B的坐标为(6,2),AB5.根据“K”字型相似的基本图形2,可得到ABEOED,设OEa,则AE3a(0a3),由ABEOED得,a23 a5m0,依题意知m0,当0,即(3)220m0,m时,符合条件的点E有1个;当0,即(3)220m0,0m时,符合条件的点E有2个(1)把点A(3,6)的坐标代入ykx,得63k,k2,y2x,OA(2)如图,延长AB交x轴于点F,过点F作FCOA于点C,过点A作ARx轴于点R.AODBAE,AFOF,OCACOAAROFCO90,AORFOC,AORFOC,OF点F的坐标为设直线AF的函数表达式为yaxb(a0),把点A(3,6),F的坐标代入,解得a,b10,yx10,由解得(舍去),B(6,2),AB5.BAEBED,ABEBAEDEOBED,
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