大一微积分考试复习资料Word文件下载.docx

1、则f（x）定义域为 ，值域为 f（1） = ； .2. 3.分解下列函数为简单函数的复合：答案：1.（- +）, ,.3. . 自我复习：习题一.（A）55、； 习题一.（B）.11.第二章 极限与连续极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。1了解变量极限的概念，掌握函数f（x）在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当0时,有：；;.（参见教材P7

2、9）4.掌握两个重要极限:（）. （）. 记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式（变形式）.并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限（）的如下扩展形式求型未定式极限：5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f（x）在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f（x）在分段点x0处连续的充要条件则是：6. 掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必至少有下列三种情况之一发生： 、点无定义； 、不存在； 、存在，但若

3、为的间断点，当及都存在时，称的第一类间断点，特别时（即存在时），称的可去间断点；时称的跳跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则（第四章）求函数的极限。三.例题选解 例1.单项选择题下列极限中正确的是（ ）A. B. C. D. 当时，是的（ ）A.低阶无穷小； B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D. 等价无穷小；分析与

4、解：1 A与 C显然都不对，对于D, 记，则即D也不对，剩下的B就是正确答案。2 由于 应选择D.例3.求极限：解:此极限为型 当时，有, 此极限为型，可用重要极限。 . 例2判断函数的间断点，并判断其类型。由于是函数y 无定义的点，因而是函数y 的间断点。为函数 y 的可去间断点；为函数 y 的第二类（无穷型）间断。例3函数在点处连续，求常数k .由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此连续的充要条件是 四.练习题及参考答案1.填空.当与相比，是_无穷小；_；. _.2.单项选择题设，下面说法正确的是_；A. 点都是可去间断点；B. 点是跳跃间断点，点是无穷间断点；C. 点是可去间断点

5、，点D. 点是跳跃间断点；下面正确的是_.A. B. D.答案:1.同阶而不等价的 ；.2.C;.B .自我复习.习题二（A）11. （4）.24. ,（4）,.27. （4）.28.,.30.37,.习题二（B）.14.第三章 导数与微分一.本章重点. 导数的概念，导数及微分的计算.二.复习要求1.掌握函数处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，处的导数的定义式常用的有如下三种形式：2.知道导数的几何意义，会求处的切线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：运用基本求导公式及求导的四则运算法则

6、求导；复合函数求导法； 隐函数求导法； 取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。三.例题选解例1.求下列函数的导数： ，求 =, 求设=，求.,求、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得： 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：上式两边对求导，视为中间变量:注：本题除此方法外，也可以：3 . 例2. 设处可导,且求分析:将处的导数的定义式理解为结构式:或的函数.且当时,即可.例3求曲线显然，点在曲线上，现求切线的斜率，即曲线方程两边对x求导：解得 1切线

7、方程为：即 例4、设试讨论处的连续性及可导性。由已知，（1）讨论处的连续性。 处连续。（2）讨论处的可导性。分段函数在分段点的导数必须用定义求：即存在 1.单项选择题.设下面说法正确的是（ ）.不连续；B. .连续，但不可导；可导，且D.2.填空题处可导，且,则（1）3.求函数的导数或微分： 4.设确定的函数，求，并求出函数在点的切线方程。5、证明：（1）若是偶函数且可导，那么是奇函数，（2）若是奇函数且可导，那么是偶函数，1.D. 2. 3.（2）. 4.切线方程：自我复习:习题三（A） 13； 21,，； 24.，； 25；26.,; 27.；29.，；47.，54.习题三（B） 1 ；3

8、；11.第四章 中值定理与导数的应用一.本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。注意:洛必达法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“”型未定式才能使用法则。 洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代

9、换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等. 6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.例1. 求下列极限（1）. （3）. （1） （2） 原式为幂指型不定式（型），利用代数变换：，得： （代换） （）. 原式（3） （洛必达）例2.求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。函数的定义域为， 。 令，得驻点无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：x极小极大令得，无不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：-+拐点由上面的讨论看出：的单减区间为单增区间为极小值是极大值是曲线的凸区间是凹区间是的拐点有三个：