北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题Word文档格式.docx

1、当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0； 当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；的增大而减小；有最小值向下有最大值2. 上加下减。3. 左加右减。4. 5.的性质二次函数配方成则抛物线的对称轴： 顶点坐标：，增减性：若a0，则当x时，y随x的增大而增大。若a时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小。最值：0，则当； 若a三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；

2、值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或沿轴平移：向左（右）平移四、二次函数与的比较从解析式上看，是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 先找出顶点（），画出对称轴 找出图象上关于直线对称的四个点（如与坐标的交点等）；一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与（若与轴没有交点，则取两

3、组关于对称轴对称的点）. 把上述五点连成光滑的曲线。六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：为常数，）；2. 顶点式：3. 两根式：是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方

4、向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当，即抛物线的对称轴在轴左侧；，即抛物线的对称轴就是轴；，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即轴右侧；轴的左侧总结起来，在决定了抛物线对称轴的位置 总结：的符号的判定：在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为 当轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是

5、唯一确定的八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是 2. 关于 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 4.

6、关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中

7、的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当轴只有一个交点； 当轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有轴的下方，无论 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中的符号，或由二次函数中的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本

8、身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用1、二次函数概念：基础训练：1、一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中x是，a是，b是，c是2观察：y6x2；yx230x；y200x2400x200这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是次一般地，如果y2c（a、b、c是常数，a

9、0），那么y叫做x的3函数y（m2）x23（m为常数） （1）当时，该函数为二次函数； （2）当时，该函数为一次函数4、下列函数中，是的二次函数的是：A、 B、 C、 D、二次函数的二次项系数，一次项系数与常数项分别是、。5、当时，函数是以x为自变量的二次函数。6、把函数化成一般式是。其中 ， 。7、列写函数关系式：高等于底面半径的圆柱表面积与底面半径的关系；长是宽的3倍的矩形面积S与宽a之间的关系；边长为的等边三角形的面积 n支球队单循环比赛，总的场数m与n的关系；某药品原售价25元，经过两次降价，每次都降低，现价为元，则的函数关系。8、函数是二次函数，求m的值。9、无论x为何实数，二次函数（1）x2的值总是非负数，求a的取值范围。巩固训练1、 的积等于，写出的函数关系式为；2、函数是关于x的二次函数，则m等于（ ）A、1 B、-1 C、1 D、都不对3、下列函数中，哪些是二次函数？ （1）31 （2）3x2 （3）3x3+2x2 （4）2x2-21 （5）2 （6）2（1）拓展提高：对于函数m为何值时，