1、全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切,则a_.法一:yxln x,y1,yx12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1),即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切,a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y,得ax2ax20.由a28a0,解得a8.法二:同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0,ax(a2)x01)y2ax(a2),yxx02ax0(a2)解得8命题点二导数的应用高、中选择题、填空题、解答题1.(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1,)单
2、调递增,则k的取值范围是() A(,2 B(,1 C2,) D1,) 解析:选D因为f(x)kxln x,所以f(x)k.因为f(x)在区间(1,)上单调递增,所以当x1时,f(x)k0恒成立,即k在区间(1,)上恒成立因为x1,所以00时,xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1) B(1,0)(1,)C(,1)(1,0) D(0,1)(1,)选A设yg(x)(x0),则g(x)当x0,g(x)0,得g(x)0,由图知0x1,当x0,得g(x)0,由图知x0成立的x的取值范围是(,1)(0,1),故选A.4(2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f
3、(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)a.若a0,则f(x)0,所以f(x)在(0,)上单调递增若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0时,f(x)在x处取得最大值,最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa1令g(a)ln aa1,则g(a)在(0,)上单调递增,g(1)0.于是,当0a1时,g(a)因此,a的取值范围是(0,1)5(2016全国甲卷)已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时,求曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,)时,f(x
4、)0,求a的取值范围(1)f(x)的定义域为(0,)当a4时,f(x)(x1)ln x4(x1),f(1)0,f(x)ln x3,f(1)2.故曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1,)时,f(x)0等价于ln x0.设g(x)ln x,g(1)0.当a2,x(1,)时,x22(1a)x1x22x10,故g(x)0,g(x)在(1,)上单调递增,因此g(x)0;当a2时,令g(x)0得x1a1,x2a1.由x21和x1x21得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)上单调递减,因此g(x)0.综上,a的取值范围是(,26(2016全国丙卷
5、)设函数f(x)ln xx1.(2)证明当x(1,)时,1x;(3)设c1,证明当x(0,1)时,1(c1)xcx.(1)由题设,f(x)的定义域为(0,),f(x)1,令f(x)0,解得x1.当0x1时,f(x)0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减(2)证明:由(1)知,f(x)在x1处取得最大值,最大值为f(1)0.所以当x1时,ln xx1.故当x(1,)时,ln xx1,ln即1x.(3)证明:由题设c1,设g(x)1(c1)xcx,则g(x)c1cxln c.令g(x)0,解得x0当xx0时,g(x)0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递
6、减由(2)知1c,故0x01.又g(0)g(1)0,故当0x1时,g(x)0.所以当x(0,1)时,1(c1)xcx.7(2016全国乙卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1x20,则当x(,1)时,f(x)所以f(x)在(,1)内单调递减,在(1,)内单调递增又f(1)e,f(2)a,取b满足b0且b (b2)a(b1)2a故f(x)存在两个零点设a0,因此f(x)在(1,)内单调递增又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点若a故当x(1,ln(2a)时,f(x)因此f(x)在(1,ln(2a)
7、内单调递减,在(ln(2a),)内单调递增综上,a的取值范围为(0,)不妨设x1x2,由(1)知,x1(,1),x2(1,),2x2(,1),又f(x)在(,1)内单调递减,所以x1x2f(2x2),即f(2x2)1时,g(x)1时,g(x)从而g(x2)f(2x2)0,故x1x2命题点三定积分陕西高考)定积分 (2xex)dx的值为()Ae2 Be1Ce De1选C (2xex)dx(x2ex) 1e11e,故选C.2(2013江西高考)若S1x2dx,S2dx,S3exdx,则S1,S2,S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S1选BS1x3,S2ln xln 2ln e1,S3exe2e2.722.74.59,所以S2S3.天津高考)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_如图,阴影部分的面积即为所求得A(1,1)故所求面积为S (xx2)dx 4.(2015陕西高考)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,2),(5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为yx22,抛物线与x轴围成的面积S1dx,梯形面积S216.最大流量比为S2S11.2.1.2
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