函数的单调性ppt.docx

1、函数的单调性ppt函数的单调性ppt篇一：函数的单调性函数的单调性【教学目标】1使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法2通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力3通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性【教学方法】教师启发讲授，学生探究学

2、习【教学手段】计算机、投影仪【教学过程】教学基本流程一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，20XX年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(

3、2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1借助图象，直观感知问题1：分别作出函数变化时，函数值有什么变化规律？的图象，并且观察自变量预案：(1)函数在整个

4、定义域内y随x的增大而增大；函数在整个定义域内y随x的增大而减小(2)函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小(3)函数在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小引导学生进行分类描述(增函数、减函数)同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，在该区间上为增函数；如果函数我们说函数在该区间上为减函数教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识设计意图从图象直观感知函数单

5、调性，完成对函数单调性的第一次认识2探究规律，理性认识问题1：下图是函数和减函数吗？的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数学生的困难是难以确定分界点的确切位置通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性问题2：如何从解析式的角度说明在2为增函数？2预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以在,因为为增函数在为增函数在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问

6、题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义(1)板书定义(2)巩固概念判断题：若函数若函数函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体

7、函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,b上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?篇二：函数单调性的判定方法函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法1.1定义法一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何x1、x2?D，当x1?x2时，总有(1)f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格增函数；(2)f(x1)?f(x2),则称f为D上的减函数，特别当成立严格不

8、等式f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格减函数。利用定义来证明函数y?f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取x1,x2?D且x1?x2；（2）作差f(x1)?f(x2)；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断f(x1)?f(x2)差与0的大小）；（5）定论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。例1.用定义证明f(x)?x3?a(a?R)在(?,?)上是减函数。证明：设x1,x2?(?,?)，且x1?x2，则33332f(x1)?f(x2)?x1?a?(?x2?a)?x2?x1?(x2?x1)(x12?x2?x1x2).2?x1x2?(x1?由

9、于x12?x2x2232)?x2?0，x2?x1?0242则f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x12?x2?x1x2)?0，即f(x1)?f(x2)，所以f(x)在?,?上是减函数。例2.用定义证明函数f(x)?x?k(k?0)在(0,?)上的单调性。x证明：设x1、x2?(0,?)，且x1?x2，则f(x1)?f(x2)?(x1?kkkk)?(x2?)?(x1?x2)?(?)x1x2x1x21?(x1?x2)?k(x2?x1x?x2xx?k)?(x1?x2)?k(1)?(x1?x212)，x1x2x1x2x1x2又0?x1?x2所以x1?x2?0，x1x2?0，当x1、x2?(0,k时

10、x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为减函数；当x1、x2?(k,?)时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为增函数。综上函数f(x)?x?k(k?0)在区间(0,k内为减函数；在区间(k,?)内为增函数。x此题函数f(x)是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1x2?k与0的大小关系(k?0)不是明确的，因此要分段讨论。用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当x1?x2时，容易得出f(x1)与f(x2)大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽

11、说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。1.2函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：2一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：f(x)与f(x)+c单调性相同。（c为常数）当k?0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k?0时，f(x)与kf(x)具有相反的单调性。当f(x)恒不等于零时，f(x)与1具有相反的单调性。f(x)当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数时，则f(x)g(x)在D上是增（减）函数。当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都

12、恒大于0时，f(x)g(x)在D上是增（减）函数；当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减（增）函数。设y?f(x),x?D为严格增（减）函数，则f必有反函数f?1，且f?1在其定义域f(D)上也是严格增（减）函数。例3.判断f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)?5的单调性。解:函数f(x)的定义域为(0,?)，由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3均为增函数，因为2x?1?0,x2?1?0由性质可得2x?1(x2?1)也是增函数；由单调函数的性质知再由性质知函数f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?

13、1)+5在(0,?)为单调x?x3?log2x为增函数，3递增函数。x?a(a?b?0)，判断f(x)在其定义域上的单调性。x?bx?a解:函数f(x)?的定义域为(?,?b)?(?b,?).x?ba?bx?a先判断f(x)在(?b,?)内的单调性，由题可把f(x)?转化为f(x)?1?，又a?b?0故x?bx?b1a?ba?ba?b?0由性质可得为减函数；由性质可得为减函数；再由性质可得f(x)?1?x?bx?bx?b例4.设函数f(x)?在(?b,?)内是减函数。同理可判断f(x)在(?,?b)内也是减函数。故函数f(x)?x?a在(?,?b)?(?b,?)内是减函数。x?b函数性质法只能

14、借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。1.3图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数f(x)在区间I上是增函数；若函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数f(x)在区间I上是减函数。、例5.如图1-1是定义在闭区间-5,5上的函数y?f(x)的图像，试判断其单调性。解：由图像可知：函数y?f(x)的单调区间有-5,-2），-2,1）

15、，1,3），3,5）.其中函数y?f(x)在区间-5,-2），1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y?f(x)在区间-5,-2），1,3）为减函数；函数y?f(x)在区间-2,1），3,5上的图像是从往右逐渐上升的，则函数y?f(x)在区间-2,1），3,5上是增函数。例6.利用函数图像判断函数?f(x)?x?1；?g(x)?2x；?h(x)?2x?x?1在-3,3上的单调性。分析：观察三个函数，易见h(x)?f(x)?g(x)，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出f(x)?x?1和g(x)?2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h(x)?2x?x?1的图像，4最后利用图像判断函数h(x)?2x?x?1的单调性。解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数?f(x)?x?1在闭区间-3,3上是单