1、2 矩阵的 标准形,3 不变因子,1 矩阵,4 矩阵相似的条件,6 若当(Jordan)标准形 的理论推导,5 矩阵相似的条件,小结与习题,第八章 矩阵,8.6 若当标准形的理论推导,一、若当块的初等因子,二、若当形矩阵的初等因子,8.6 若当标准形的理论推导,三、若当标准形存在定理,8.6 若当标准形的理论推导,若当块,的初等因子是,一、若当块的初等因子,8.6 若当标准形的理论推导,证:#,此即 的 级行列式因子.,又 有一个 级子式是,8.6 若当标准形的理论推导,所以 的 级行列式因子为1.,从而,的 级行列式因子皆为1.,的不变因子是:#,故 的初等因子是:#,8.6 若当标准形的理
2、论推导,若当形矩阵,其中,则J 的全部初等因子是:#,二、若当形矩阵的初等因子,8.6 若当标准形的理论推导,证:#的初等因子是,与矩阵 等价.,于是,8.6 若当标准形的理论推导,与矩阵,等价.,由定理9,的全部初等因子是:#,8.6 若当标准形的理论推导,初等因子唯一确定.,完全被它的级数与主对角线上的元素 所刻划,,而这两个数都反应在它的初等因子 上.,可见,每个若当形矩阵的全部初等因子就是它,的全部若当块的初等因子构成的.,由于每个若当块,因此,若当块被它的初等因子唯一决定.,从而,若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的,8.6 若当标准形的理论推导,(定理10)每一个复矩阵A都与一个
3、若当形矩阵,相似,且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是,被矩阵A唯一决定的,它称为A的若当标准形.,三、若当标准形存在定理,1.,8.6 若当标准形的理论推导,证:#若n 级复矩阵A的全部初等因子为:#,(*),(其中 可能有相同的,指数,也可能相同的).,每一个初等因子 对应于一个若当块,8.6 若当标准形的理论推导,令,则 J 的初等因子也是(*),,故J 与A相似.,即J与A有相同的初等因子.,8.6 若当标准形的理论推导,变换,在 V中必定存在一组基,使 在这组基下,的矩阵是若当形矩阵,并且这个若当形矩阵除去,2.定理10换成线性变换的语言即为,(定理11)设是复数域上n维线性空间V的
4、线性,若当块的排序外是被唯一确定的.,8.6 若当标准形的理论推导,的初等因子全是一次的.,3.特殊情形,(定理12)复矩阵 A与对角矩阵相似,的不变因子没有重根.,(定理13)复矩阵 A与对角矩阵相似,8.6 若当标准形的理论推导,4.n 阶复矩阵A的最小多项式就是A的最后一个,不变因子.,证:#设A的若当标准形是,其中,8.6 若当标准形的理论推导,由一知,的最小多项式是,由不变因子与初等因子的关系知,,由7.9中引理3之推论知,,为A的最小多项式.,又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子,,所以,A的最小多项是它的最后一个不变因子,8.6 若当标准形的理论推导,例1、求矩阵A的若当标准形.,解:#,8.6 若当标准形的理论推导,的初等因子为,故 A的若当标准形为,8.6 若当标准形的理论推导,求A的若当标准形.,例2、已知12级矩阵A的不变因子为,个,解:#依题意,A的初等因子为,8.6 若当标准形的理论推导,的若当标准形为,8.6 若当标准形的理论推导,练习:#求矩阵A的若当标准形,