1、2 线性变换的运算,3 线性变换的矩阵,4 特征值与特征向量,1 线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8 若当标准形简介,9 最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章 线性变换,5 对角矩阵,7.2 线性变换的运算,一、线性变换的乘积,二、线性变换的和,7.2 线性变换的运算,三、线性变换的数量乘法,四、线性变换的逆,五、线性变换的多项式,7.2 线性变换的运算,1定义,设为线性空间V的两个线性变换,定义它们,事实上,,一、线性变换的乘积,的乘积 为:#,则 也是V的线性变换.,7.2 线性变换的运算,基本性质,(1)满足结合律:#,(2),E为单位变换,(3)交换律一般不成立,即一般地
2、,,7.2 线性变换的运算,例1.线性空间中,线性变换,而,,即,7.2 线性变换的运算,例2.设A、B为两个取定的矩阵,定义变换,则皆为的线性变换,且对有,7.2 线性变换的运算,则 也是V的线性变换.,二、线性变换的和,1定义,设为线性空间V的两个线性变换,定义它们,的和 为:#,事实上,,7.2 线性变换的运算,(3)0为零变换.,(4)乘法对加法满足左、右分配律:#,2基本性质,(1)满足交换律:#,(2)满足结合律:#,7.2 线性变换的运算,3负变换,设为线性空间V的线性变换,定义变换为:#,则 也为V的线性变换,称之为的负变换.,注:#,7.2 线性变换的运算,三、线性变换的数量
3、乘法,1定义,的数量乘积 为:#,则 也是V的线性变换.,设为线性空间V的线性变换,定义 k 与,7.2 线性变换的运算,2基本性质,注:#,线性空间V上的全体线性变换所成集合对于,线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性,空间,记作,7.2 线性变换的运算,四、线性变换的逆,则称为可逆变换,称为的逆变换,记作,1定义,设为线性空间V的线性变换,若有V的变换使,2基本性质,(1)可逆变换的逆变换也是V的线性变换.,7.2 线性变换的运算,证:#对,是V的线性变换.,7.2 线性变换的运算,(2)线性变换可逆线性变换是一一对应.,证:#,设为线性空间V上可逆线性变换.,任取 若 则有,为单
4、射.,其次,对令则且,为满射.,故为一一对应.,7.2 线性变换的运算,若为一一对应,易证的逆映射也为V,的线性变换,且,故可逆,.,线性变换,则可逆当且仅当,(3)设是线性空间V的一组基,为V的,线性无关.,证:#设,于是,因为可逆,由(2),为单射,又,7.2 线性变换的运算,而线性无关,所以,故线性无关.,若线性无关,则它,也为V的一组基.,因而,对有,即有,为满射.,7.2 线性变换的运算,线性无关,若 则有,其次,任取 设,即,由(2),为可逆变换.,故为一一对应.,从而,为单射.,7.2 线性变换的运算,(4)可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关,的向量组.,线性无关.,若,
5、证:#设为线性空间V的可逆变换,,则有,,又可逆,于是是一一对应,且,故 线性无关.,由 线性无关,有,7.2 线性变换的运算,当时,规定(单位变换).,五、线性变换的多项式,1线性变换的幂,设为线性空间V的线性变换,n为自然数,定义,称之为的n次幂.,7.2 线性变换的运算,易证,注:#,当为可逆变换时,定义的负整数幂为,一般地,,7.2 线性变换的运算,设,为V的一个线性变换,则,2线性变换的多项式,多项式.,也是V的一个线性变换,称 为线性变换的,7.2 线性变换的运算,注:#,在 中,若,则有,,即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.,对有,7.2 线性变换的运算,证明:#,练习:#设为线性变换,若,证:#对k作数学归纳法.,对两端左乘,得,对两端右乘,得,上两式相加,即得,7.2 线性变换的运算,对两端左乘,得,对两端右乘 得,,得,假设命题对时成立,即,由归纳原理,命题成立.,
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