高等代数北大版课件3.3线性相关性PPT资料.ppt

1、,向量组之间的等价关系具有：,1）反身性,2）对称性,3）传递性,2、性质,三、线性相关性,1、线性相关,注：特殊情形,2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.,定义1：如果向量组 中有一向量,称为线性相关的.,可经其余向量线性表出，则向量组,1）向量组 线性相关 成比例.,定义1：向量组 称为线性相关,如果存在 P 上不全为零的数,线性相关的,使,在 时，定义1与定义1是等价的.,注：,例2 判断下列向量组是否线性相关.,定义2：若向量组 不线性相关，则称,若不存在 P 中不全为零的数，使,向量组 为线性无关的.,2、线性无关,即,则称向量组 为线性无关的.,必有,换句话说，,则称向量组 为

2、线性无关的.,1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；,3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.,个向量可由其余向量线性表出.,3、线性相关性的有关性质,2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量,组一定线性相关.,线性表出.（习题3）,都线性无关.,4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向,量组也线性相关；,一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组,线性无关的充要条件是齐次线性方程组,只有零解；,的充要条件是齐次线性方程组（2）有非零解.,6）向量组,（2）,特别地，对于n 个 n 维向量,行列式,行列式,线性无关.,线性相关；,的

3、缩短组.,7）若向量组,线性无关，则向量组,也线性无关.,的延伸组；,注：,8）向量组线性相关的基本性质定理,定理2 设 与 为两个,i）向量组 可经 线性表出；,则向量组 必线性相关.,ii）,向量组，若,要证 线性相关，即证有不全为零的数,使,证：,由i），有,作线性组合,中，方程的个数 s 未知量的个数 r，,所以（3）有非零解.,则也使,推论2任意 n1 个 n 维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数,的向量.,（任意 个 n 维向量必线性相关.）,例2判断向量组,是否线性无关？若线性相关，求一组非零数,使,解：,设,即有方程组,解之得,为任意数,所以线性相关.

4、,令,则有,使,设,即,解之得,证：,1、极大线性无关组,极大线性无关组，简称极大无关组.,定义,线性表出；,四、极大线性无关组秩,1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.,注,3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,5）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同 个数的向量.,2）向量组和它的任一极大无关组等价.,（根据定理2的推论1即得）,定义向量组的极大无关组所含向量个数称为这个,性质：,一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同；,它的秩它所含向量个数.,向量组的秩.,2、向量组的秩,1）一个向量组线性无关的充要条件是,2

5、）等价向量组必有相同的秩.,（习题10）,例4设,1）证明：线性无关.,2）把扩充成一个极大无关组.,1）证：,由于不成比例，,2）解：,线性无关.,由,即,线性相关.,即 可经线性表出.,由,解得,线性无关.,即 不能由线性表出.,即,知，,再由行列式,存在不全为零的数使,线性相关.,故即为由 扩充的一个极大无关组.,例5求向量组,的极大无关组.,解：,作矩阵,对矩阵A作初等行变换化阶梯形,由矩阵 B 知线性无关且为极大无关组.,附,求向量组的极大无关组的一般步骤：,则就是一个极大无关组.,第一步：作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J.,若 J 中有 r 个非零行，则秩,设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为,