1、,向量组之间的等价关系具有:,1)反身性,2)对称性,3)传递性,2、性质,三、线性相关性,1、线性相关,注:特殊情形,2)任意一个含零向量的向量组必线性相关.,定义1:如果向量组 中有一向量,称为线性相关的.,可经其余向量线性表出,则向量组,1)向量组 线性相关 成比例.,定义1:向量组 称为线性相关,如果存在 P 上不全为零的数,线性相关的,使,在 时,定义1与定义1是等价的.,注:,例2 判断下列向量组是否线性相关.,定义2:若向量组 不线性相关,则称,若不存在 P 中不全为零的数,使,向量组 为线性无关的.,2、线性无关,即,则称向量组 为线性无关的.,必有,换句话说,,则称向量组 为
2、线性无关的.,1)单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量;,3)一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.,个向量可由其余向量线性表出.,3、线性相关性的有关性质,2)一个向量组中若有一向量为零向量,则该向量,组一定线性相关.,线性表出.(习题3),都线性无关.,4)一个向量组中若部分向量线性相关,则整个向,量组也线性相关;,一个向量组若线性无关,则它的任何一个部分组,线性无关的充要条件是齐次线性方程组,只有零解;,的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.,6)向量组,(2),特别地,对于n 个 n 维向量,行列式,行列式,线性无关.,线性相关;,的
3、缩短组.,7)若向量组,线性无关,则向量组,也线性无关.,的延伸组;,注:,8)向量组线性相关的基本性质定理,定理2 设 与 为两个,i)向量组 可经 线性表出;,则向量组 必线性相关.,ii),向量组,若,要证 线性相关,即证有不全为零的数,使,证:,由i),有,作线性组合,中,方程的个数 s 未知量的个数 r,,所以(3)有非零解.,则也使,推论2任意 n1 个 n 维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数,的向量.,(任意 个 n 维向量必线性相关.),例2判断向量组,是否线性无关?若线性相关,求一组非零数,使,解:,设,即有方程组,解之得,为任意数,所以线性相关.
4、,令,则有,使,设,即,解之得,证:,1、极大线性无关组,极大线性无关组,简称极大无关组.,定义,线性表出;,四、极大线性无关组秩,1)一个向量组的极大无关组不是唯一的.,注,3)一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,4)一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,5)一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同 个数的向量.,2)向量组和它的任一极大无关组等价.,(根据定理2的推论1即得),定义向量组的极大无关组所含向量个数称为这个,性质:,一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同;,它的秩它所含向量个数.,向量组的秩.,2、向量组的秩,1)一个向量组线性无关的充要条件是,2
5、)等价向量组必有相同的秩.,(习题10),例4设,1)证明:线性无关.,2)把扩充成一个极大无关组.,1)证:,由于不成比例,,2)解:,线性无关.,由,即,线性相关.,即 可经线性表出.,由,解得,线性无关.,即 不能由线性表出.,即,知,,再由行列式,存在不全为零的数使,线性相关.,故即为由 扩充的一个极大无关组.,例5求向量组,的极大无关组.,解:,作矩阵,对矩阵A作初等行变换化阶梯形,由矩阵 B 知线性无关且为极大无关组.,附,求向量组的极大无关组的一般步骤:,则就是一个极大无关组.,第一步:作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步:用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J.,若 J 中有 r 个非零行,则秩,设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为,
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