1、性质3:如果一个行列式地两行(或两列)完全相同,那么这个行列式地值等 于零,性质4:把一个行列式地某一行(或某一列)地所有元素同乘以某一个常数 k地结果等于用这个常数k乘这个行列式.(第i行乘以k,记作k)推论1: 一个行列式地某一行(或某一列)地所有元素地公因式可以提到行列式符号地前面推论2:如果一个行列式地某一行(或某一列)地所有元素都为零,那么行列 式值等于零推论3:如果一个行列式地某二行(或某二列)地对应元素成比例 ,那么行列式 值等于零.a11a12a1n-.- .-d、=-.-kai1kai2 Jkain=kai1ai2-.M - Uan1性质5:如果行列式D地某一行(或某一列)地
2、所有元素都可以表成两项地和 ,那么行a11 a12a1j+ Ra“an a12b1a21 a22a 2j+ b2=a21 a 22a2j+b2an1 an2anj+ 0a n1 a n2bnD等 于两 个 行 列 式Di 和 D2和.性质6:把行列式地某一行(或某一列)地元素乘同一个数后 ,加到另一行(或 另一列)地对应元素上,行列式值不变.推论如果行列式地某一行(列)地每个元素都是 m个数之和(m2),则此行列式等于m个行列式之和.定义:行列式|aij如果满足:玄耳=ajj(i, j =1,,n);则称此行列式为对称行列式。一个n阶行列式,如果它地元素满足:ai j = -aj i i,j
3、=1,2n ;试证:当n为 奇数时,此行列式为零.每一行(或列)提出一个(-1),再转置得D= (-1) nD性质7行列式地某一行(列)地各元素与另一行(列)地对应元素地代数 余子式地乘积之和等于零.按仃:aiiAji ai2Aj2 ain Ajn - 0 j按列:CiAj a2iA2j aniAnj =0 i = j将性质7与Laplace定理合并为下列结论:n(1)(2) aik Ajkk 4S aki Akj =k吕行列式地计算1 利用行列式定义直接计算例1计算行列式0 12Dn =-3n_1解 Dn中不为零地项用一般形式表示为该项列标排列地逆序数t (n1 n 21 n)等于(1)(2
4、),故(n 4)2)Dn 十1) 2 n!.2 利用行列式地性质计算例2 一个n阶行列式Dn = aj地元素满足aj = _aji , i, j = 1,2, , n,则称Dn为反对称行列式,证明:奇数阶反对称行列式为零证明:由aij = _aji知內=-內,即aii = 0,i 二1,2, , n故行列式Dn可表示为ai3 一ai2a23 一 ai323a3n一 ain一 a2n_a3n 由行列式地性质|A=|a,一ai3_ain一a23_a2nai3a23_a3n 0ai3_ai2a23Dn_ai3_a23am_a2n_a3n 八= (-1)nD当n为奇数时,得Dn= Dn,因而得Dn =
5、 0.3.化为二角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元 素地乘积.因此化三角形是行列式计算中地一个重要方法例3计算n阶行列式abb D =解:这个行列式地特点是每行(列)元素地和均相等 ,根据行列式地性质,把第2,3,n列都加到第1列上,行列式不变,得a +(n - 1)b b ba +(n - 1)b a bD = a +(n - 1)b b aa +(n 1)b b b1 b b1 a b-a (n - 1)b(a-b)n=a +(n 1)b 1 b a4降阶法降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用 拉普拉斯定理,这样可以
6、降低多阶,为了使运算更加简便,往往是先利用列式地性 质化简,使行列式中有较多地零出现,然后再展开例4计算n阶行列式aI:解将Dn按第1行展开0Dn = a+(_1严*n -1 n n 2+(_1) (_1)a -an5逆推公式法逆推公式法:对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn-1, Dn 2之间地一种关系称为逆推公式(其中 Dn, Dn 1, Dn2等结构相同),再由递推公式求出Dn地方法称为递推公式法例5证明X-1_1 -anan A.an/a26 +x=xn a1xn J a2xn/ anJx an,(n _ 2)将Dn按第1列展开得-1 Dn = xanJ anJ2an J3a2
7、 印 +x0 0-1+(-1) anX -1=an + xDn j由此得递推公式:Dan xDn 4,利用此递推公式可得Dn 二 a. XDnj 二 a. Xn4 XD)=an an X DnQn 4n二 =an an 4x x6利用范德蒙行列式例6计算行列式 L 1捲+1x2 +1 焉+12丄为+x,x2 +x2 Xn +冷n丄 n_2x1 +x1nA . n _2n A . n _2 Xn +Xn解 把第1行地-1倍加到第2行,把新地第2行地-1倍加到第3行,以此类推直到把新地第n 1行地1倍加到第n行,便得范德蒙行列式 1xX2 XnX1= (Xi -Xj)桂日n A. xn入n7加边法
8、(升阶法)加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列 ,且保持原行列式不变地方法.计算n阶行列式a1a2第i行减第1行i=2,,n+1(箭形行列式)n a:例8计算n阶行列式Dn 二用数学归纳法.假设n = k时,有=x2 a2k丄 k4丄 kJ2丄.丄 .二 x yx a2x 亠 亠 akx ak则当n = k+1时把Dk+i按第一列展开,得Dk 1 = xDk ak -1= x(xk - a1xk4 - ak4x aQ ak 1k 丄 k i_.丄 2二 X 6X ak4x akX ak 1由此,对任意地正整数n,有Dn = xn a1xn4 an,x2 an4x an9拆开法把某一行(或列)地元素写成两数和地形式,再利用行列式地性质将原行列 式写成两行列式之和,使问题简化以利计算.a1 +鮎 a* 例9计算行列式aia 2+2 an +-na.-扎1 ana? + ?-2_29a
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