第十五章复数高中数学竞赛标准教材Word文件下载.docx

1、因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则a=rcos,b=rsin,所以z=r（cos+isin），这种形式叫做三角形式。若z=r（cos+isin），则称为z的辐角。若03共轭与模，若z=a+bi，（a,bR）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。4复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘

2、、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1（cos1+isin1）,z2=r2（cos2+isin2），则z1z2=r1r2cos（1+2）+isin（1+2）；若cos（1-2）+isin（1-2），用指数形式记为z1z2=r1r2ei（1+2）,5.棣莫弗定理：r（cos+isin）n=rn（cosn+isinn）.6.开方：若r（cos+isin），则，k=0,1,2,n-1。7单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,.

3、单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n2时，有=特别1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=（x-Z1）（x-Z2）（x-Zn-1）=（x-Z1）（x-）（x-）.8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。9复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若

4、z=a+bi（b0）是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。12若a,b,cR,a0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当=b2-4ac二、方法与例题1模的应用。例1求证：当nN+时，方程（z+1）2n+（z-1）2n=0只有纯虚根。证明若z是方程的根，则（z+1）2n=-（z-1）2n，所以|（z+1）2n|=|-（z-1）2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即（z+1）（+1）=（z-1）（-1），化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2设f（z）=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f（z）|=1，求a,b的值。解因为4=（1+a+b）+（1-a+b

5、）-（-1+ai+b）-（-1-ai+b）=|f（1）+f（-1）-f（i）-f（-i）|f（1）|+|f（-1）|+|f（i）|+|f（-i）|=4，其中等号成立。所以f（1）,f（-1）,-f（i）,-f（-i）四个向量方向相同，且模相等。所以f（1）=f（-1）=-f（i）=-f（-i），解得a=b=0.2.复数相等。例3设R，若二次方程（1-i）x2+（+i）x+1+i=0有两个虚根，求满足的充要条件。解若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得（+1）x+1=0.若=-1，则方程x2-x+1=0中3三角形式的应用。例4设n2000,nN，且存在满足（sin+icos）n=sinn+ic

6、osn，那么这样的n有多少个？解由题设得，所以n=4k+1.又因为0n2000，所以1k500，所以这样的n有500个。4二项式定理的应用。例5计算：（2）解（1+i）100=（1+i）250=（2i）50=-250,由二项式定理（1+i）100=）+（）i，比较实部和虚部，得=-250，=0。5复数乘法的几何意义。例6以定长线段BC为一边任作ABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求证：MN的中点为定点。证明设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2

7、,z3,，由复数乘法的几何意义得：，由+得z2+z3=i（z1+a）-i（z1-a）=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。例7设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：ABAD+BCADACBD。证明用A，B，C，D表示它们对应的复数，则（A-B）（C-D）+（B-C）（A-D）=（A-C）（B-D），因为|A-B|C-D|+|B-C|A-D|（A-B）（C-D）+（B-C）（A-D）.所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|,“=”成立当且仅当，即=，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。6复数与轨迹。例8ABC的顶点A表示的复数为3i

8、，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ABC的外心轨迹。解设外心M对应的复数为z=x+yi（x,yR），B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ABC的外心轨迹是轨物线。7复数与三角。例9已知cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。证明令z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则z1+z2+z3=0

9、。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得又所以所以cos2+cos2+cos2+i（sin2+sin2+sin2）=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10求和：S=cos200+2cos400+18cos18200.解令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+18sin18200,则S+iP=w+2w2+18w18.由w得w（S+iP）=w2+2w3+17w18+18w19，由-得（1-w）（S+iP）=w+w2+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8复数与多项式。例11已知f（z）=c0zn

10、+c1zn-1+cn-1z+cn是n次复系数多项式（c00）.一定存在一个复数z0,|z0|1，并且|f（z0）|c0|+|cn|.证明记c0zn+c1zn-1+cn-1z=g（z）,令=Arg（cn）-Arg（z0），则方程g（Z）-c0ei=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,zn，从而g（z）-c0ei=（z-z1）（z-z2）（z-zn）c0，令z=0得-c0ei=（-1）nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必有一个zi使得|zi|1,从而f（zi）=g（zi）+cn=c0ei=cn，所以|f（zi）|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|

11、.9.单位根的应用。例12证明：自O上任意一点p到正多边形A1A2An各个顶点的距离的平方和为定值。证明取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为，则顶点A2A3An对应复数分别为2，3，n.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n-=2n-命题得证。10复数与几何。例13如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得PAB，PCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。必存在另一点Q，使得QBC，QDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。证明以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B

12、=iA；取，则C-Q=i（B-Q），则BCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i（B-Q）得，即A-Q=i（D-Q），所以ADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。例14平面上给定A1A2A3及点p0，定义As=As-3,s4，构造点列p0,p1,p2,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.证明：A1A2A3为等边三角形。证明令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=（1+u）A1-up0,p2=（1+u）A2-up1,p3=（1+u）A3-up2,u2+（-u）得p3=（1+u）（A3

13、-uA2+u2A1）+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明A1A2A3为正三角形。三、基础训练题1满足（2x2+5x+2）+（y2-y-2）i=0的有序实数对（x,y）有_组。2若zC且z2=8+6i,且z3-16z-=_。3.复数z满足|z|=5，且（3+4i）z是纯虚数，则_。4已知，则1+z+z2+z1992=_。5.设复数z使得的一个辐角的绝对值为，则z辐角主值的取值范围是_。6设z,w,C,|1，则关于z的方程-z=w的解为z=_。7.设08.若，是方程ax2+bx+c=0（a,b,cR）的两个虚根且，则_。9若a,b,cC,则a2+b2c2是a2+b2-c20成立的_条件。10已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是_。11二次方程ax2+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。12复平面上定点Z0，动点Z1对应的复数分别为z0,z1，其中z00，