因式分解(竞赛题)含答案Word格式.doc

1、2ab+b2=（ab）2；（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）下面再补充几个常用的公式：（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1）其中n为正整数；（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1），其中n为偶数； （9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-

2、1），其中n为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式三、专题讲解例1 分解因式：（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； （2）x3-8y3-z3-6xyz；解 （1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）=-2xn-1yn（x2n）2-2x2ny2+（y2）2=-2xn-1yn（x2n-y2）2 =-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z） =（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）例2 分解因式：a3+b3+

3、c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）分析 我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解 原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc =（a+b）3+c3-3ab（a+b+c） =（a+b+c）（a+b）2-c（a+b）+c2-3ab（a+b+c） =（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）说明 公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式（6）变形为a3+b3+c3-3abc显然

4、，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0时，则a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论变式练习1分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解解 因为x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+x2+x+1），所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很

5、常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例3 分解因式：x3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=（x3-1）-9x+9=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）=（x

6、-1）（x2+x-8）解法2 将一次项-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=（x3-x）+（-8x+8）=x（x+1）（x-1）-8（x-1）解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=（9x3-9x）+（-8x3+8）=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）解法4 添加两项-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2（x-1）+（x-8）（x-1）说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一

7、种1分解因式：（1）x9+x6+x3-3；（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；（4）a3b-ab3+a2+b2+1解 （1）将-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）=（x3-1）（x6+2x3+3）=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）（2）将4mn拆成2mn+2mn原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

8、=（mn+1）2-（m-n）2=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4=（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4-（x2-1）2=（x+1）2+（x-1）22-（x2-1）2=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）（4）添加两项+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）=a（a-b）b（a+b）+1+（

9、ab+b2+1）=a（a-b）+1（ab+b2+1）=（a2-ab+1）（b2+ab+1）说明 （4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例4 分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）-12分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将x2+x看作一个整体，并

10、用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了解 设x2+x=y，则原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）=（x-1）（x+2）（x2+x+5）说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例5 分解因式：（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解 原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90 =（x+1）（2x+3）（x+2）（2x+1）-90 =（2x2+5x+3）（2x2

11、+5x+2）-90令y=2x2+5x+2，则原式=y（y+1）-90=y2+y-90=（y+10）（y-9）=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础1.分解因式：（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2解 设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）=（x2+6x+8）（x2+5x+8）=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起

12、变形，换元法的本质是简化多项式1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=x+（2y-3）2x+（-11y+1） =（x+2y-3）（2x-11y+1）上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：（1