1、,(2)可增值链(增广链),-,(3)截集与截量,截量:截集上所有弧的容量和,记。,例4 对于下图,若V1=vs,v1,请指出相应的截集与截量。,解:,-,(4)流量与截量的关系,最大流最小割定理:,(5)最大流的判别条件,-,最大流最小截的标号法步骤,第一步:标号过程,找一条增广链1、给源点 s 标号s+,q(s)=,表示从 s 点有无限流出潜力2、找出与已标号节点 i 相邻的所有未标号节点 j,若(1)(i,j)是前向弧且饱和,则节点 j 不标号;(2)(i,j)是前向弧且未饱和,则节点 j 标号为i+,q(j),表示从节点 i 正向流出,可增广 q(j)=minq(i),cijfij;(
2、3)(j,i)是后向弧,若 fji=0,则节点 j 不标号;(4)(j,i)是后向弧,若 fji0,则节点 j 标号为i,q(j),表示从节点j 流向i,可增广 q(j)=minq(i),fji;,7.4.2 确定网络最大流的标号法,-,3、重复步骤 2,可能出现两种情况:(1)节点 t 尚未标号,但无法继续标记,说明网路中已不存在增广链,当前流 v(f)就是最大流;所有获标号的节点在 V 中,未获标号节点在 V 中,V 与 V 间的弧即为最小截集;算法结束(2)节点 t 获得标号,找到一条增广链,由节点 t 标号回溯可找出该增广链;到第二步,第二步:增广过程1、对增广链中的前向弧,令 f=f
3、+q(t),q(t)为节点 t 的标记值2、对增广链中的后向弧,令 f=fq(t)3、非增广链上的所有支路流量保持不变第三步:抹除图上所有标号,回到第一步,-,例1 用标号法求下面网络的最大流。第一次标号及所得可增值链如图,调量=1,调后进行第二次标号如图。第二次标号未进行到底,得最大流如图,最大流量v=5,同时得最小截,-,例2 最大流最小截集的标号法举例,(s+,),(s+,6),(2,6),(3+,1),(4+,1),(s+,),(s+,5),(2+,2),(5,2),(4+,2),1,2,3,4,5,6,t,s,s,1,2,3,4,5,6,t,-,最大流最小截集的标号法举例,(s+,)
4、,(s+,3),(2,3),最小截集,(4+,2),t,t,s,s,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,-,例.3:求下图中的最大流:,(3),4.4,解:增广链:,(1),4.4,7.4,(2),8.2,2.2,7.6,8.4,2.2,9.2,Vf;最大流 8,-,练习 用标号法求下面网络从s到t的最大流量,并找出该网络的最小割.,-,-,6.5 中国邮递员问题,一个邮递员从邮局出发分送邮件,要走完他负责的所有街道,最后再返回邮局。应如何选择路线,才能使所走的路线最短,这就是中国邮递员问题。1962年,管梅谷先生提出中国邮递员问题。中国邮递员问题用图论的观点来看就是:在一个赋权连
5、通图中,找一个过每边至少一次的闭链(圈),并且使闭链的权最小。它的算法与一笔画问题有关。,-,一、一笔画问题 有关一笔画问题有如下结论:1.一个连通图中的顶点都是偶点,没有奇点,则该图可以一笔画出。2.一个连通图中的顶点恰有两个奇点,其余都是偶点,则从任一奇点出发,则可以一笔画出该图。3.一个连通图中的顶点有两个以上是奇点,则该图不能一笔画出。,图中的顶点都是偶点,没有奇点,则该图可以一笔画出。,-,图中的顶点都是奇点,没有偶点,则该图不能一笔画出。,图中的顶点有二个是奇点,其它是偶点,则从任一奇点出发,则该图可以一笔画出。从任一偶点出发,则该图不能一笔画出。,-,二、中国邮递员问题。解中国邮
6、递员问题的奇偶点图上作业法:具体步骤如下:1.通过加重复边,消灭图中的奇点。将奇点两两配对,在每一对奇点的通路上,均加上重复边。2。删除过多的重复边。如果图中某条边的重复边多于一条,则可将它的重复边删除偶数条。3。优化重复边。使所加的重复边的总长度最小。下面通过具体例子来说明具体计算过程:,-,例6.7 设有街道图如下:假如邮递员从V1点出发,求他的最优投递路线。,-,考虑加边的圈:V1,V2,V9,V8 中,加边的长度是4+6=10,而不加边的长度是4+5=9,故需改进如下。,考虑加边的圈:v4,v5,v6,v9 中,加边的长度是3+5=8,而不加边的长度是4+2=6,故需改进如下。,图中已无奇点,可得最优投递路线:,-,奇偶点图作业法步骤,构造初始可行方案:由于奇点个数必为偶数,因此奇点必成对出现;同时由于图是连通的,因此每一对奇点之间必存在一条链,在这条链上的各边都加上重复边而成为新图,必定是无奇点的欧拉图。寻找改进可行方案:在两奇点间检查所有链,若某链的长度小于已加重复边的长度,则在该链的每边加上重复边,去掉原重复边。重复以上步骤,直到任意两奇点间加重复边的链是最短的为止。,-,求解中国邮递员问题:例子,-,例子的初始可行解,-,例子的修正解,
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