算法设计与分析--第4章-part2PPT文档格式.ppt

1、（4）单源最短路径；（5）最小生成树；,学习要点,3,4.5 单源最短路径,给定带权有向图G=（V,E,W），其中每条边e=的权w（e）是非负实数,表示从i到j的距离。另外，还给定V中的一个顶点s，称为源。现在要计算从源到所有其它各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。1、算法基本思想 Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。,4,4.5 单源最短路径,其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点u属于集合S iff 从源s到u的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源 S=s,S=V时算法结束。设u是G的某一个

2、顶点从源s到u的特殊路径:从源到u且中间只经过S中顶点的路.distu：从s到u的最短特殊路径的长度shortu：从s到u的最短路径的长distu shortu,例,5,6,7,8,4.5 单源最短路径,每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点j，将j添加到S中，同时对disti 进行必要更新。,主循环体需要 时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要 时间。,9,算法正确性,命题：当算法进行到第k 步时，对于S 中每个结点i，disti=shorti,归纳基础 k=1,S=s,dists=shorts=0,命题为真.,归纳步骤 假设命题对于k 为真.考虑k+1步,选择顶点v（边（u,

3、v）.假若存在另一条s-v 路径L（绿色），最后一次出S 的顶点为x,在这次从S 中出来后经过V-S 的第一个顶点为y.,distv disty/v先被选,disty+d（y,v）L,distv=shortv,10,4.6 最小生成树,设G=（V,E,W）是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边（v,w）的权为cvw。如果G的子图G是一棵包含G的所有顶点的树，则称G为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费（权）。在G的所有生成树中，耗费（权）最小的生成树称为G的最小生成树。网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如，在设计通信网络时，用图的顶点表示城市，用边（v,w）的权cvw表示建

4、立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。,11,4.6 最小生成树,命题 设G 是n 阶连通图，那么（1）T 是G 的生成树当且仅当T 有n1 条边.（2）若T 是G 的生成树，e T，那么Te含有一个圈（回路）.,最小生成树性质：设G=（V,E）是连通带权图，S是V的真子集。如果（u,v）E，且uS，vV-S，且在所有这样的边中，（u,v）的权cuv最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以（u,v）为其中一条边。这个性质有时也称为MST性质。,证明：假设G的任何最小生成树都不包含（u,v）.将边（u,v）添加到G的一棵最小生成树上，将产生含

5、有边（u,v）的圈，且该圈中有一条不同于（u,v）的边（u,v），使得u S，vV-S.将（u,v）删去，得到另一棵生成树T.由于cuv最小，T的耗费T的。于是T是含（u,v）的最小生成树。,u,v,u,v,S,V-S,12,4.6 最小生成树,1.Prim算法 首先置S=1，然后，只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择：选取满足条件iS，jV-S，且cij最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。,13,Prim算法-例,正确性证明,定理：对于任意k n,存在一棵最小生成树包含算法前k 步选择的边归纳基础：k=1,存在

6、一棵最小生成树T 包含边e=（1,i）,其中（1,i）是所有关联1 的边中权最小的.设T 为一棵最小生成树，假设T 不包含（1,i）,则T（1,i）含有一条回路，回路中关联1的另一条边为（1,j），令T=（T-（1,j）（1,i），则T也是生成树，且W（T）W（T）.,14,归纳步骤：假设算法进行了k-1步，生成树的边为e1,e2,ek-1,这些边的k 个端点构成集合S.由归纳假设存在G 的一棵最小生成树T 包含这些边.算法第k 步选择了顶点ik+1,则ik+1到S中顶点的边权最小,设这条边为ek=（ik+1,il）.由最小生成树性质，存在G 的一棵最小生成树，包含e1,e2,ek-1,ek.

7、,15,4.6 最小生成树,2.Kruskal算法首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序。然后从第一条边开始，依边权递增的顺序查看每一条边，并按下述方法连接2个不同的连通分支：当查看到第k条边（v,w）时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就用边（v,w）将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第k+1条边。这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止。,16,Kruskal算法-例,17,Kruskal算法正确性证明,18,命题：对于任意n1,算法对n 阶图得到一棵

8、最小生成树.证明：n=2,只有一条边，命题显然为真.假设对于n个顶点的图算法正确，考虑n+1个顶点的图G,G中最小权边e=（i,j），从G 中合并 i 和 j，得到图G.根据归纳假设，由算法可得G 的最小生成树T.令T=T e,则T 是关于G 的最小生成树.否则存在G 的含边e 的最小生成树T*，W（T*）W（T）（最小生成树性质）.在T*中合并 i 和 j 得到G 的生成树T*-e,且W（T*-e）=W（T*）-w（e）W（T）-w（e）=W（T），与T 的最优性矛盾.,小结,19,（1）贪心算法适用于组合优化问题.求解过程是多步判断.判断的依据是局部最优策略，使目标值达到最大（或最小），与前面的子问题计算结果无关.（2）局部最优策略的选择是算法正确性的关键.（3）正确性证明方法：数学归纳法、交换论证.使用数学归纳法主要通过对算法步数或者问题规模进行归纳.如果要证明贪心策略是错误的，只需举出反例.（4）自顶向下求解，通过选择将问题归约为小的子问题.（5）如果对原始数据排序之后，贪心法往往是一轮处理，时间复杂度和空间复杂度低.,