运筹学第一章--线性规划PPT课件下载推荐.ppt

1、,运筹学 第一章 线性规划,Slide 4,课本P6例1.1:生产安排问题设X1,X2,X3是甲、乙、丙三种产品的产量，Z是工厂的总利润。maxz=3X1+2X2+5X3s.t.X1+2X2+X3=0,X2=0,X3=0,运筹学 第一章 线性规划,Slide 5,1、融会贯通地理解要解决的问题，搞清在什么条件下，要追求什么目标？2、这个要实现的目标是由一组变量决定的，决策变量。定义决策变量，每一个问题用一组决策变量（x1,x2,x3,xn）来表示某一方案，每组决策变量的值就代表一个具体方案；一般这些变量取值是非负的；3、用决策变量的线性函数来表示写出所要追求的目标，我们称之为目标函数。按问题的

2、不同，可能要求这目标函数实现最大化或最小化。4、这些决策变量需要一定的限制和约束，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。,三、线性规划的特点及数学模型的一般形式,1、为什么叫线性规划？用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的。有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。存在一定约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示。2、数学模型目标函数：满足约束条件：,Cj为价值系数，aij为技术系数，bi为资源（限额）系数,运筹学 第一章 线性规划,Slide 7,四、线性规划问题举例,（一）生产计划 生产过程中合理安排机器设备和原材料，使得工厂获利最大。例1.1P88 习题17

3、:设Xij为第i个车间分配到第j种部件的工时数。MAXZ=MIN（10X11+15X21+20X31+10X41,15X12+10X22+5X32+15X42,X13+5X23+10X33+20X43）S.T.X11+X12+X13=0,运筹学 第一章 线性规划,Slide 8,（二）人力资源的分配P87 习题14：设从第i班（i1,2,3,4,5,6）才开始工作的人数为XiminZX1+X2+X3+X4+X5+X6S.T.X1+X64 X2+X1 8X3+X210 X4+X3 7X5+X412 X6+X54Xi 0（三）合理下料（套裁下料、切割损失）,运筹学 第一章 线性规划,Slide 9

4、,P87 习题11：设按这三种方案下料的原材料根数分别为x1、x2、x3。min x1+x2+x3S.t.2x1+3x2=90 x1+2x3=60 Xi=0P8 例1.3切割损失最少,运筹学 第一章 线性规划,Slide 10,（四）配料,P7 例1.2 P9 例1.4（五）仓储P87 习题16设Xi为第i个月进货的件数，Yi为第i个月销售的件数。MAXZ=9Y1+8Y2+10Y38X16X29X3S.T.X1=0 200+X1Y1+X2Y2=0200+X1Y1+X2Y2+X3Y3=0Xi=0,Yi=0,运筹学 第一章 线性规划,Slide 11,（六）投资,P10 例1.5P88 习题18设

5、Xij为第i年初（i=1,2,3）投资于j项目（j=1,2）的金额。（万元）MAX 1.7X31+3X22S.T.X11+X12=10X21+X22-1.7X11=0X311.7X213X12=0Xij=0,运筹学 第一章 线性规划,Slide 12,建模应注意：如何设好变量；将解题的步骤写清；约束条件按实际情况分类写清，勿遗漏；目标函数和约束条件写好后，应合并同类项整理好，且约束条件的右边为不含有变量的数字；,运筹学 第一章 线性规划,Slide 13,第二节 线性规划问题的解和单纯形法,一、线性规划的图解法对于只包含两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。图解法简单直观，有助于了

6、解线性规划求解的基本原理。1、有唯一最优解P16 例1.7：,maxz=4X1+3X2s.t.2X1+3X2=0,X2=0,P89 习题112：,四边形OABC区域（含边界）是四个半平面的交集，称之为可行域。视为以X1、X2为变量，z为参数的一族直线。它们互相平行，斜率为1。在这族等值线中Z取得最大且又要在可行域内的直线L*。与可行域相切的点B即为最优解。最优解为X*（301/45，49/45）T，最优值为Z*280/9,运筹学 第一章 线性规划,Slide 15,2、无穷多解,maxz=3X1+2X2s.t.3X1+2X2=0,X2=0,L*即边BC，故BC上的任意一点都是最优解，有无穷多个

7、。,最优值Z*302816,P89 习题111：,L*上（从B以上）的任意一点都是最优解，有无穷多个。最优值Z*62.521.512,L1:X1X2=1,运筹学 第一章 线性规划,Slide 17,3、无最优解（无界解）,maxz=X1+X2s.t.X1X2=0,X2=0,可行域无界，目标函数值可以增大到无穷大，称为无界解，即无最优解。,运筹学 第一章 线性规划,Slide 18,4、无可行解可行域为空集,maxz=2X1+4X2s.t.X1X2=6X12X2=0,X2=0,约束条件所组成的可行域为空集，无可行解。,运筹学 第一章 线性规划,Slide 19,1、目标函数：简写成：S.T.Xi

8、=0,i=1,2,n bj=0,j=1,2,m,（1.14）,（1.15）,二、线性规划的标准形式,使用矩阵和向量的形式，可表示为：Max CTXS.T.AX=BX=0,B=02、非标准形式线性规划问题的标准化1）目标函数的转化。MinZ=CTX Max（-Z）=CTX当求出目标函数最大值后，乘以1，可以得到原问题的目标函数最小值。2）约束条件的转化。,松弛变量Xn+i=0剩余变量Xn+i=0,（1.16）,3）变量的非负约束。若Xk为无约束的变量，则令Xk Xk Xk Xk,Xk=04）约束条件右边为负。两边乘以1P14 例1.6 P88 习题110（1）,minz=2X13X25X3s.t

9、.X1X2X3=56X17X29X3=1519X17X25X3=0,X2=0,令X3=X3X3-X1X2X3 X3 X4=56X17X29X39X3=1519X17X25X35X3+X5=1319X17X25X3 5X3X6=13maxz=2X13X25X3 5X3 0X4+0X5+0X6X1,X2,X3,X3,X4,X5,X6=0三、线性规划的解的概念（参考P19例1.7）1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到最优值的可行解称为最优解。2、基：（注意课本P20的定义）设A是约束方程组mn维的系数矩阵，其秩为m，B是矩阵A中mm阶非奇

10、异子矩阵（B的行列式B0），则称B是线性规划问题的一个基。,运筹学 第一章 线性规划,Slide 23,基向量、基变量：设B（a1，a2，am）称aj（j1,2,，m）为基向量。它们是一个线性无关的向量组，与基向量对应的变量Xj（j1,2,，m）称为基变量。其他变量就称为非基变量。3、基本解、基可行解、可行基：设约束方程组（1.15）的系数矩阵A秩为m，由mn，故有无穷多个解，假设前m个变量的系数列向量是线性无关的，那么，约束方程组（1.15）可写成,（1.17）,运筹学 第一章 线性规划,Slide 24,X1 X2 Xm Xm1 Xn（1.18）用向量的形式表示为：（1.19）方程组的基是

11、B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（X1，X2，Xm）T,若令（1.19）式的非基变量Xm1Xm2Xn0，可以求出一个解：X=（X1，X2，Xm，0，0）T称X为基本解。若满足非负约束条件的基解。称为基可行解。对应于基可行解的基，称为可行基。【补充】：线性规划的几何意义和性质：1、线性规划问题若存在可行域，则其可行域是凸集（凸集：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合）。2、可行域有有限个顶点。设线性规划问题有n个变量，m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。3、线性规划问题的基可行解对应于可行域的顶点。线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是它的正分量所对于的系数列向量是线性独立的。

12、4、若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。若在两个顶点同时得到，则有无穷多最优解。,运筹学 第一章 线性规划,Slide 26,线性规划标准型问题解的关系（P20 图1.3）,约束方程的解空间,可行解,非可行解,退化解,基可行解,最优基可行解,基解,运筹学 第一章 线性规划,Slide 27,四、单纯形法原理,1、单纯形法的主要思想线性规划的求解软件大多数都基于单纯形法与理论。如果线性规划问题有最优解，则必可在某一基可行解（顶点）处达到。因而，求解只须在基可行解中寻找最优解。从可行域中某一个顶点开始（先用最简单的办法找一个基可行解），判别它是否最优，若不是，就找一个更好的基可

13、行解，再进行检验，如此迭代进行，直至找到最优解，或者判定它无界或无解。注：必须先化成标准形式。主要有三个问题：一是寻找初始解，二是判别最优解，三是迭代。,2、举例：,1）例1.7的标准形式为：MAXZ=4X1+3X2+0S1+0S2+0S3+0S4（1.1）S.T.2X1+3X2+S1=6-3X1+2X2+S2=3 2X2+S3=5 2X1+X2+S4=4Z+4X1+3X2+0S1+0S2+0S3+0S4=0X1,X2,S1,S2,S3,S4=0,（1.2）2）约束方程（1.2）的系数矩阵A（P1,P2,P3,P4,P5,P6）=,P21例1.7：maxz=4X1+3X2s.t.2X1+3X2

14、=0,X2=0,运筹学 第一章 线性规划,Slide 29,可以看到系数列向量P3，P4，P5，P6是线性独立的，构成一个基B（P3,P4,P5,P6）=对应B的变量S1,S2,S3,S4为基变量，从（1.1）（1.2）中可以得到S1=6 2X1 3X2 S2=3+3X1 2X2 S3=5 2X2 S4=4 2X1 X2（1.3）,非奇异子矩阵，做为一个基,运筹学 第一章 线性规划,Slide 30,将（1.3）带入（1.1）得到 maxZ=4X1+3X20（1.4）令非基变量X1和X2为0，得到Z0。这时可得到一个基可行解X（0）。X（0）=（0,0,6,3,5,4）从（1.1）可以看到非基变量的系数都是正数，因此将非基变量变换基变量，目标函数的值就可能增大。（只要在目标函数1.4的表达式中还存在正系数的非基变量，这表示目标函数值还有增加的可能。）判断是否最优一般选择系数最大的那个非基变量X1作为调入变量（入基变量），将它换入到基变量中去。同时还要确定基变量中有一个要换出来成为非基变量。如何迭代,运筹学 第一章 线性规划,Slide 31,现分析（1.3），当将X1定为入基变量后，必须从S1、S2、S3、S4中换出一个，并保证其余都是非负的。当X20，由（1.3）可得到S1=6 2X1=0 X1=0 S3=5=0 S4=4 2X1=0 X1=2（1.5）从（1.5）中可以看出，