第九章回归旋转试验设计Word文档下载推荐.doc

1、二次正交多项式方程的估计值为： 如果以三因素二次回归正交设计的数学模型为例：因此其信息矩阵为：上述信息矩阵中的各个元素可用一般形式表达为： ，其中x的指数、分别可取0、1、2、3、4等非负整数。但这些指数之和不能超过4。即：例如，当时，就是信息矩阵中的第1行、第1列元素。又如，当时，就是信息矩阵中的第10行、第10列元素 。信息矩阵A中的元素可分为两类：一类是元素的所有指数都是偶数或零，另一类是元素的所有指数中至少有一个是奇数。这一规律在任何因素和次数的回归设计信息矩阵中都可以发现。一般，在个因素次回归方程中，共有 项，对应的信息矩阵是 阶对称方阵，矩阵中的元素一般形式为：其中指数分别可取等非

2、负整数，且满足为了使旋转设计成为可能，元次回归设计必须满足旋转条件和非退化条件，具体要求如下。1） 回归设计旋转条件 在因素次回归旋转设计中，对应的信息矩阵中的元素应有： （9-1）式中为试验次数， 为待定参数，它的下标 ，为偶数，且 。这个条件说明了旋转设计下信息矩阵的具体结构，也是旋转设计的基本要求，故称旋转条件。下面以三因素二次回归旋转设计为例介绍旋转条件的实现。按旋转条件定理，可计算出都为偶数或零时，各元素 值有下列三种： （1） （2）（3） （i，j1，2，3）其他元素皆为0，这时，三因素二次旋转设计的信息矩阵有如下形式：这种旋转设计的信息矩阵虽然具有旋转性，但是否存在其逆矩阵？因

3、为逆矩阵 的存在，回归系数才有唯一解，这是回归系数存在的条件，即非退化条件。2） 回归设计非退化条件我们知道，对信息矩阵取行列式，只要，必然存在。这就是二次旋转设计的非退化条件。如前述的因素二次旋转设计的信息矩阵取行列式，经计算得：由最后结果看出，欲使 ，即保持矩阵是非退化的，必须要有 ，即 （9-2）上式即为二次旋转设计的非退化条件。进行旋转设计时必须使待定参数Q满足此条件。已经证明，只要使个试验点不在同一个球面上，就能满足非退化条件。最简单的情况是把个试验点分布在2个或3个半径不等的球面上。 综上所述，旋转性条件是旋转设计的必要条件，非退化条件是使旋转设计成为可能的充分条件。二者结合起来才

4、能构成一项旋转设计方案。实际操作上主要借助于组合设计来实现。通常的组合设计试验处理由、和三部分组成，它们都有固定的组合搭配，每种组合中三个部分的处理分别分布在三个半径不等的球面上。即个析因点分布在半径为 的球面上；个析因点分布在半径为 的球面上；个析因点分布在半径为 的球面上。因此，采用组合设计选取的试验点，完全能够满足非退化条件（式9-2），即信息矩阵不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵的元素中而它的偶次方元素均不等于零，完全符合式（91）的要求。 为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转条件式（9-1）确定值，事实上只要由 就可以求出值。在组合设计下，当（全实施）时，前式变为 ，解方程得

5、（9-3）同理，当（1/2实施）时，；当（1/4实施）时，；（1/8实施）时，为了便于设计，现将个因素不同实施情况下的值列于表9-1。表9-1 二次正交旋转组合设计参数表2（全实施）3（全实施）4（全实施）5（全实施）5（1/2实施）6（1/2实施）6（1/4实施）7（1/2实施）7（1/4实施）8（1/2实施）8（1/4实施）8（1/8实施）4816326412861012149171522133320112336591001771.4141.6822.0002.3782.8283.3642.3749.1.2 旋转组合设计正交性的实现 二次旋转组合设计具有同一球面上各试验点的预测值 的方差相

6、等的优点，但回归统计数的计算较繁琐。如果使它获得正交性就能大大简化计算手续。在二次旋转组合设计中，一次项和交互项的回归系数和仍保持正交，但与 之间以及与之间都存在相关，即不具正交性，因此，要使二次回归旋转组合设计获得正交性，就必须消除常数项与平方项之间以及平方项与之间的相关性，方法如下：1）常数项与平方项间相关性的消除：与两者间相关性的消除比较简单，只要对平方项施行中心化变换即可实现，即： （9-4）2）平方项与间相关性的消除： 平方项之间相关性的消除，必须使 或 ，如何才能满足该要求呢？在组合设计中它的值为： （9-5）对于个因素的二次旋转组合设计，式（95）中的、和都是固定的。因此，只有适

7、当地调整才能使 ，而试验处理数中和也是固定的，这样就只能通过调整中心点的试验处理数使 。由此可见，适当地选取，就能使二次旋转组合设计具有一定的正交性。为了方便设计，已将元不同实施的和列入表91中。综上所述，只要对平方项施行中心化变换，并适当调整就能获得二次正交旋转组合设计方案。9.1.3 旋转组合设计的通用性 二次回归旋转组合设计，具有同一球面上各试验点的预测值 的方差相等的优点，但它还存在不同半径球面上各试验点的预测值 的方差不等的缺点。为了解决这一问题，于是提出了旋转设计的通用性问题。所谓“通用性”，就是试验除了仍保持其旋转性外，还具有各试验点与中心的距离在因子空间编码值区间的范围内，其预

8、测值 的方差基本相等的性质，即同时具有旋转性与通用性。这种设计称为通用旋转组合设计。首先来看预测值 的方差，已知在个因素情况下，其预测值 的方差 （9-6）上式是在 的约定下得到的，这种约定并非本质的，只是为了讨论简单起见。由此可知，只有恰当确定4，才能满足通用性的要求。 那么，对4有什么要求呢？总的来说，它必须使式中 在诸 （内插点）处的值与 处的值之差的平方和为最小，即： （9-7）式中：于是，对于不同的，均可计算出满足式（97）的4。当4确定后，由关系式（见95）可以计算出不同的试验处理数。 当计算结果不是整数时，可取与其最靠近的整数。然后再由 计算出不同值的，上述计算结果列于表92。表

9、9-2 二次通用旋转组合设计参数表23183.8280.810.860.890.900.920.93315392165935721从上述讨论结果看出，为了满足通用性要求，主要在于确定出适当的。因此，只要在中心点安排如表92所列的次试验，旋转组合设计便获得通用性。综上可以看出，正交旋转的好处在于正交性，它是通过增加中心点的试验次数换来的，但有时并不合算。在某些实际问题中，反倒不如选用通用旋转设计。因为通用旋转设计，既能在的较实用区域使方差 基本不变，又在一定程度上减少了试验次数。9.2 二次回归正交旋转组合设计及统计分析9.2.1 二次正交旋转组合设计的基本步骤设研究因素为个，以表示。在进行设计时，首先确定每个因素的上、下水平，进而计算零水平，以及变化间距。因素零水平的计算式为 （9-8）变化间距为：