1、二校张琦锋审核张舒这节课,我们一起来学习三角形的等积变形,它是几何问题中在求直线型面积时,很重要的一个部分,下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式:S底高2三角形面积、底和高之间的关系:从公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化。当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化。一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积,而不仅仅取决于底或高的变化
2、。一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状。重要结论:等底等高的两个三角形面积相等。若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。例1 如图,在ABC中,D是BC边上一点,BD12厘米,DC4厘米。 (1)求ABC的面积是ABD面积的多少倍;(2)求ABD的面积是ADC面积的多少倍。分析与解:因为ABD、ABC和ADC分别以BD、BC和DC为底时,它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线,也就是说三个三角形的
3、高相等。因为,12416,1612,所以ABC的底是ABD的底的倍,所以,ABC的面积是ABD面积的倍;同理,因为1243,所以ABD的面积是ADC面积的3倍。巩固理解结论:两个三角形等高时,面积的倍数底边长的倍数。例2 如图,E在AD上,AD垂直于BC, AD12厘米,DE3厘米。求ABC的面积是EBC面积的几倍。因为AD垂直于BC,所以当BC为ABC和EBC的底时,AD是ABC的高,ED是EBC的高。于是: ABC的面积BC122 BC6;EBC的面积BC31.5。所以ABC的面积是EBC的面积的4倍。两个三角形等底时, 面积的倍数高的倍数。例3 如图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线
4、,其交点为O,求证:AOB与COD面积相等。ABC与DBC等底等高,。又 , ,例4 如图,ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求DEF的面积。D是BC的中点,ADC的面积是ABC面积的一半,即24212。 E是AC的中点,ADE的面积是ADC面积的一半,即1226。F是AD的中点,DEF的面积是ADE面积的一半,即DEF的面积623。例5 如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AF2CF,AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米。则平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米?连结FB。因为AF2CF,所以AFB的面积是CFB的面积的2倍。又因为E为AB的中点,
5、所以AFB的面积是AEF的面积的2倍。所以ABC的面积是AEF的面积的3倍。又因为平行四边形ABCD的面积是ABC的面积的2倍,所以平行四边形ABCD的面积是AFE的面积的326倍。因此,平行四边形ABCD的面积为8648(平方厘米)。(答题时间:30分钟)1. 用两种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2. 如图,在长方形ABCD中,AD为8厘米,AB为3厘米。请问:阴影部分的面积是多少平方厘米?3. 如图,在ABC中,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知27平方厘米,求。4. 如图所示,梯形ABCD的上底AD长为5厘米,下底BC长为12厘米,腰CD的长为8厘米
6、,过B点作CD的垂线BE,BE的长为9厘米。那么梯形ABCD的面积是多少? 5. 如图所示,正方形ABCD的边长为10,三角形BEF的面积为30。那么BF的长度为多少?1. 解:解法一:如图(1),将BC边四等分,连接A与各等分点,则ABD、ADE、AEF、AFC的面积相等。解法二:如图(2),D是BC的二等分点,E、F分别是AC、AB的中点,从而得到四个等积三角形ADF、BDF、DCE、ADE。解法三:如图(3),D是BC的四等分点,E、F是AD的三等分点,从而得到ABD、AEC、ECF、FCD的面积相等。2. 解:可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半,所以阴影部分的面积为821
7、2(平方厘米)。3. 解:因为D为BC边的三等分点,所以9平方厘米。同理 6平方厘米,4平方厘米,所以279648平方厘米。4. 解:连接BD,作出梯形的一条高DF。三角形BCD以CD为底、BE为高,面积为89236(平方厘米);也可以看做以BC为底、DF为高,由BC12厘米可知DF为362126(厘米)。在梯形ABCD中,上底为5厘米,下底为12厘米,高为6厘米,面积为(512)6251(平方厘米)。5. 解:三角形ABE中以AB为底,相应的高与正方形的边长相等,即为10,所以三角形ABE的面积为1010250。三角形ABF的面积为503020。在三角形ABF中以AB为底,由面积反求出高BF为20104。第5页 版权所有 不得复制
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