1、(湘潭中考题)AMNPQ同类变式: 如图a,ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论; (2)将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;(3)若将图a中的ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由. 图c3. 如图9,若和为等边三角形,分别为的中点,易证:,是等边三角形 (1)当把绕点旋转到图10的位置时,是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(2)当绕点旋转到图11的位置
2、时,是否还是等边三角形?若是,请给出证明,若不是,请说明理由 图9 图10 图11已知,如图所示,在和中,且点在一条直线上,连接分别为的中点(1)求证:;图图(2)在图的基础上,将绕点按顺时针方向旋转,其他条件不变,得到图所示的图形请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立. 4. 如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接BG与DE相交于点H(1)证明:ABG ADE ;(2)试猜想BHD的度数,并说明理由;(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0BAE 180),设ABE的面积FGH为,ADG的面积为,判断与的大小关系,并给予证明5.已知:如图,是等边三角形,过边上的点作,交
3、于点,在的延长线上取点,使,连接;(2)过点作,交于点,请你连接,并判断是怎样的三角形,试证明你的结论二、 垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1. 如图,ABC中,ACB90,ACBC,AE是BC边上的中线,过C作CFAE,垂足为F,过B作BDBC交CF的延长线于D求证:(1)AECD; (2)若AC12 cm,求BD的长 2. (西安中考)如图(1), 已知ABC中, BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BDAE于D, CEAE于E 。 图(1) 图(2) 图(3)(1)试说明: BD=DE+CE.(2
4、) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD 写出结论,可不说明理由。3. 直线CD经过的顶点C,CA=CBE、F分别是直线CD上两点,且(1)若直线CD经过的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:如图1,若,则 (填“”,“”或“”号);如图2,若,若使中的结论仍然成立,则 与 应满足的关系是 ;(2)如图3,若直线CD经过的外部,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明图1图2图3考点2:利用角相等证明垂直1. 已知BE,CF是ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2. 如图,在等腰RtABC中,ACB=90,D为BC的中点,D
5、EAB,垂足为E,过点B作BFAC交DE的延长线于点F,连接CFCD=BF;(2)求证:ADCF;(3)连接AF,试判断ACF的形状.拓展巩固:如图9所示,ABC是等腰直角三角形,ACB90,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:ADCBDE图9(提示:对比此题的条件和上面那题的条件,对比此题的图形和上题的图像,有什么区别和联系?)3. 如图1,已知正方形的边在正方形的边上,连接,.(1)试猜想与有怎样的位置关系,并证明你的结论;(2)将正方形绕点按顺时针方向旋转,使点落在边上,如图2,连接和.你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说
6、明理由.4.如图1,的边BC在直线上,且的边也在直线 上,边与边重合,且(1) 在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系;(2) 将沿直线向左平移到图2的位置时,交于点,连接.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3)将沿直线向左平移到图3的位置时,的延长线交的延长线于点Q,连结,你认为(2)中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗?若不成立,请说明理由. l(1)(F)(E)(2)(3)三、 等腰三角形(中考重难点之一)等腰三角形性质的应用1. 如图,中,是中点,与交于,与 交于求证:,2. 两个全等的含,角的三角板和三角板,如图所示
7、放置,三点在一条直线上,连结,取的中点,连结试判断的形状,并说明理由压轴题拓展:(三线合一性质的应用)已知中,为边的中点,绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、当绕点旋转到于时(如图1),易证当绕点旋转到和不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明提示:此题为上面题目的综合应用,思路与第一题相似。3. 已知:如图,ABC中,ABC=45,CDAB于D,BE平分ABC,且BEAC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。(1) BF=AC (2) CE=BF (3)CE与B
8、C的大小关系如何。等腰直角三角形(45度的联想)1. 如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F. 如图141,当点E在AB边的中点位置时: 通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 ; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ; 请证明你的上述两猜想. 如图142,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明2. 在RtABC中,ACBC,ACB90
9、,D是AC的中点,DGAC交AB于点G.(1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与 CF,过点F作FHFC,交直线AB于点H求证:DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明(2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上,(1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形,并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变(本小题直接写出结论,不必证明)(期末考试原题哦) 已知:ABC为等边三角形,M是BC延长线上一点,直角三角尺的一条直角边经过点A,且60角的顶点E在BC上滑动,(点E不与点B、C重合),斜边与ACM的平分线CF交
10、于点F(1)如图(1)当点E在BC边得中点位置时 猜想AE与EF满足的数量关系是 . 连结点E与边得中点,猜想和满足的数量关系是.请证明你的上述猜想;()如图()当点在边得任意位置时,和EF有怎样的数量关系,并说明你的理由?四、 角平分线问题1. 如图:E在线段CD上,EA、EB分别平分DAB和CBA, AEB=90,设AD, BC,且满足(1)求AD和BC的长;(2)你认为AD和BC还有什么关系?并验证你的结论;(3)你能求出AB的长度吗?若能,请写出推理过程;若不能,请说明理由.2. 如图,OP是MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(第23题图)图(2)如图,在ABC中,如果ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。3.(北京市中考模拟题)如图,在四边形中,平分,过作,并且,则等于多少?4. 如图,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. (1)说明BE=CF的理由;
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