矩阵理论课程论文Word格式文档下载.docx

1、随机矩阵理论（Random Matrix Theory，RMT）通过比较随机的多维时间序列统计特性，可以体现实际数据中对随机的偏离程度，并揭示数据中整体关联的行为特性1。关键字：随机矩阵理论；频谱感知1 引言 频谱感知的目的就是通过一些手段检测主用户是否存在来判断其所占有的频段是否空闲可用，如果可用，则认知用户可以利用此频段进行通信，这样一来可以充分的利用频谱资源2,其中随机矩阵理论作为一套比较完备的理论体系，在无线通信领域已经被国际上许多学者广泛关注，已然发展成为无线通信领域的一个非常重要的理论工具。 随机矩阵理论一经提出就收到国外学者的关注，2009 年 10 月，在欧洲召开了以随机矩阵理

2、论为主题的国际会议 RMTfWC2009（Random Matrix Theory for Wireless Communications），这标志着随机矩阵理论在通信领域已经成为学术界的一个研究热点，与此同时许多国家都在该研究方向设立了专项研究基 金3。随机矩阵是指一个以随机变量为元素的矩阵，与确定性矩阵相对应。1928 年，Wishart 等人最早提出了随机矩阵的概念并对其加以研究，主要是研究了随机矩阵元素、特征根在正态分布情形下的联合分布。而对于以随机矩阵为核心的随机矩阵理论，对于它的研究最早起源于上世纪 50 年代。当时，Wigner 首次将随机矩阵理论与核物理练习到一起，并发明了著名

3、的半圆律。随后 Marcenko 和 Pastures 发现了著名的 M-P 律，从此大维随机矩阵引起了数学家和物理学家浓厚的兴趣4,5。2008 年，Cardoso 等人着重研究了随机矩阵理论中的极限渐近谱理论，并利用此理论成果求出了由多个认知用户接收信息组成的采样协方差矩阵的最大特征值和最小特征值的极限值。再次基础上，将这两个极限值的比值作为频谱感知的判决门限与检验统计量进行比较进而作出判决，由此设计出了一种协作频谱感知算法 LSC 算法。它的优点是无需知道任何认知用户发射机信号先验信息就能得到比较好的性能，这是当时绝大部分传统的感知方法做不到的6。近几年，国内研究机构也逐渐加强了对频谱感

4、知技术的关注，主要包括电子科技大学、清华大学、香港科技大学及西安交通大学等等。除了大学之外， 许多公司、企业也纷纷加入到这个行列当中。例如，华为公司一直非常关注频谱感知的研究进展，并且以实际行动资助一些与之相关的学术研究工作。2008 年，曾永红提出了一种基于随机矩阵理论的最大特征检测算法即 MED 算法，它的提出主要是解决判决门限因恒定不变而无法适时调整的缺点。他重点研究了有关矩阵最大特征值的分布特性理论，通过推导获得了采样协方差矩阵最大特征值的概率分布函数，并根据次分布函数探索出了判决门限与虚警概率的关系，进而推导出了判决门限随虚警概率变化的数学表达式。通过设置不同的虚警概率取值，MED

5、算法的判决门限根据实际情况动态调整，由此克服了门限恒定不变的缺点。但是 MED 算法也存在当认知节点数目和采样次数较小时感知性能收到不利影响的缺点7。2011 年，南京邮电大学的曹开田和杨震提出了一种新的基于最小特征值的合作感知算法。他们对多个认知用户的采样协方差矩阵的最小特征值进行了研究并获得了最小特征值的概率密度函数。2 随机矩阵理论随机矩阵的理论基础是概率论和数理统计，随机过程以及矩阵论。随机矩阵指的是一个以随机变量为基本元素的矩阵，其中如果随机矩阵的行数和列数都趋于无穷大，则称之为大维随机矩阵。目前所有的经典极限理论都假设数据的维数是固定的，但由于其自身的局限性，经典的极限理论不再适用

6、于大维数据的情况。因此，在上世纪 30 年代 Wishart 等人提出了随机矩阵的概念，并对其进行了大量的研究8。随机矩阵谱理论主要研究的是在满足一定条件的情况下，随机矩阵的经验谱分布函数所具备的一些优良特性，而这些特性恰好是血多确定性矩阵不具备的。例如，当非方阵的维数 K 与 N 都趋于无穷大，但比值 K/N 为以固定值 时， 矩阵谱分布函数收敛到 M-P 率（Marcheko-Parstur 率），其概率密度函数为式（2-1）。（ x - a）+ （b - x）+fb（ x） = （1 - b-1 ）+d（ x） +2pbx （2-1）其中，a、b 分别是非方阵的最小特征值和最大特征值，渐

7、近收敛值满足式（2-2）。a = s2 （1 -b = s2 （1 +b）2b）2 （2-2）根据有关随机矩阵的理论，当矩阵元素分布不满足某个条件时，如有信号存在时矩阵元素的分布不是零均值独立同分布，这是矩阵的最大特征值和最小特征值将大于或小于渐进收敛值。利用这一特性，我们可以通过观察矩阵特征值的渐进收敛值是否在在 M-P 率的收敛范围之内来得出主用户频段是否空闲可用的结论9。另外，随机矩阵谱理论还涉及到许多不同类型的矩阵。对于不同的通信系统，利用随机矩阵理论时所选择的矩阵也不相同，常见的作为研究对象的矩阵主要有以下几种。1） Wigner 矩阵：令一个厄尔米特随机矩阵如式（2-3）。- 1w

8、 = n 2 （w）2（2-3）nij i, j=1并且满足：包含对角线的上三角元素相互独立，且期望为 0，方差为 1，这样则称之为 n 维的 Wigner。2） 样本协方差矩阵：有一个复随机矩阵如式（2-4）suo所示。Xn = （ xij ） pn （2-4）其中矩阵中的元素相互独立，且期望为 0 方差为 1。3） 广义样本协方差矩阵：我们将式（2-5）的矩阵叫做广义样本协方差矩阵。S = 1 T 12 X X *T 12 （2-5）nn nnn n它的样本协方差矩阵相比多了两个开方矩阵，如果Tn 是其中其它的特殊形式，那么矩阵就会有其它更多的应用，比如矩阵是 F 矩阵和 Beta 矩阵。

9、3 基于随机矩阵理论的频谱感知 以简单的通信场景出发，最终要将主用户多发射天线、认知用户多接收天线的认知 MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）场景作为频谱感知的应用环境，这样在提高系统感知性能的同时也符合未来通信技术发展的需要。另外， 选择多天线进行协作感知，这样可以通过增加数据量达到进一步提高感知性能的目的。将随机矩阵理论应用于频谱感知当中，主要研究以下几个问题：1） 稀疏重建问题：对于一个处于 d 维空间里的信号 x,稀疏的概念如式（3-1）。| sup p（x） | n, n d （3-1）也就是说，对于一维信号，稀疏的含义是非零值的个数是有限的。它的

10、度量有线性度量因子给出，形式如下（3-2）。F : Rd RN （3-2） 想要构建 N=d 是困难的，我们希望做到的是 N d ，因为 x 是稀疏的，所以它的有效长度 n 远小于它的维数 d。2） 度量矩阵：通过线性度量Fx 重构信号 x,这需要一定的约束条件，数学表达式为（3-3）。F：Rd RN , n N d （3-3）其中， F 是一个N * d 的矩阵，实现了长度从 d 到 N 的减少。3） Candes-Tao 定理：它是一个稍强的条件下产生的重建算法，并有一个定量条件而非定性条件，即F 在稀疏向量上需要是几乎等距的，完整的定理描述如下：假设度量F 是被限制等距的，那么对于所有的

11、稀疏度为 3n 的稀疏向量 x，存在式（3-4）的关系。0.8 | x | Fx | 1.2 | x | （3-4）这样 x 的重构问题实际上就转化为一个求解凸优化的问题，用数学表达式如式（3-5）。min | x | （当F时x = b） ，1 范 数 的 最 小 值 （3-5）在分析图 1-1 所示是多个认知用户的协作感知场景，其中共有 K 个认知用户，各用户同时对主用户信号进行检测，共同感知频段是否空闲可用。图 1-1 多个认知用户的协作感知场景每个认知用户的接收天线都要对主用户信号进行接收，设采样次数为 N，这样共有K * N 个数据，可将它们组成一个K * N 的矩阵如式（3-6）。

12、 y1 （1） y2 （2）. y（N ） y （2）. y （N ） Y= 22. （3-6） y （1）. y （N ） kk得到上面的采样矩阵之后，由于它是非方阵，处理起来不方便，因此我们将它作下面的处理如式（3-7）。A = 1 Y YH （3-7）K这样可以得到一个 K 阶方阵 A，我们称之为采样协方差矩阵。利用采样协方差矩阵进行研究，既可以保留原来数据的信息，同时还可以利用方阵的一些如特征值等特性进行分析研究。4 总结本论文主要讨论的内容是随机矩阵理论在频谱感知上的应用，利用随机矩阵理论找到高性能的频谱感知算法，使得在影响主用户正常使用的前提下，尽可能地检测出主用户未占用的空闲频段

13、，已达到节约频谱资源、提高频谱利用率的目的。5 参考文献1 徐赞新,王钺,司洪波,冯振明.基于随机矩阵理论的城市人群移动行为分析J.物理学报,2011,04.2 Chuanhai JIAO, Keren WANG, Shou MEN. Cooperative blind spectrum sensing using autocorrelation matrixJ. The Journal of Posts and Telecommunication,2011,183.3 王小英.大维样本协方差矩阵的线性谱统计量的中心极限定理D.东北师范大学.2009.4 Yonghong Zeng, Ying

14、chang Liang. Eigenvalue-Based Spectrum Sensing AlgorithmsforCognitiveRadioJ.IEEEtransactionson communications.2009,Vol.57,No.6.P1784-1793.5 Lei Wang, Baoyu Zheng, Jingwu Cui, Wenjing Yue. Spectrum Sensing Using Non-asymptotic Behavior of EigenvaluesJ. IEEE, 2011.6 Huiqin Li, Zhidong Bai. Extreme Eig