1、2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1), (2), (3), (4),3、有下列数表x0.511.522.5f(x)-2-1.75-10.254.25所确定的插值多项式的次数是( )。(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为( )。(1), (2), (3), (4)三、1、(8分)用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.32、(15分)用的复化梯形公式(或复化 Si
2、mpson公式)计算时,(1) (1) 试用余项估计其误差。(2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。2、(8分)已知方程组,其中, 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) (2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR迭代法。五、1、(
3、15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格库塔法求的值。2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足,六、(下列2题任选一题,4分)1、 1、 数值积分公式形如 试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。2、 2、 用二步法求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题:(共16分,每小题分)、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。()、当时,Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。()3、形如的高斯(Gauss)型求积公式具
4、有最高代数精确度的次数为。 ()、矩阵的范数。5、设,则对任意实数,方程组都是病态的。(用) ( )6、设,且有(单位阵),则有。( )7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的,且唯一。8、对矩阵A作如下的Doolittle分解:,则的值分别为2,2。( )二、填空题:(共20分,每小题2分)1、设,则均差 _,_。2、设函数于区间上有足够阶连续导数,为的一个重零点,Newton迭代公式的收敛阶至少是 _阶。、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_阶的连续导数。4、向量,矩阵,则 _,_。5、为使两点的数值求积公式:具有最高的代数精确度,则其求积基点应为_,_。6、设,则(谱半径)_。(此处填
5、小于、大于、等于)7、设,则_。三、简答题:(9分) 方程在区间内有唯一根,若用迭代公式: ,则其产生的序列是否收敛于?说明理由。 使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主元的技术?3、 3、 设,试选择较好的算法计算函数值。四、(10分)已知数值积分公式为: ,试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。五、(8分)已知求的迭代公式为: 证明:对一切,且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛。六、(9分)数值求积公式是否为插值型求积公式?为什么?其代数精度是多少?七、(9分)设线性代数方程组中系数矩阵非奇异,为精确解,若向量是的一个近似解,残向量,证明估计式
6、:(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数,试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式,并导出其余项。3九、(9分)设是区间上关于权函数的直交多项式序列,为的零点, 是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数,为高斯型求积公式,证明:(1) (1)当时, (2) (3)十、(选做题8分)若,互异,求的值,其中。数值计算方法试题三一、(24分)填空题 (2分)改变函数 ()的形式,使计算结果较精确 。 (2分)若用二分法求方程在区间1,2内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分 次。(3) (3) (2分)设,则 (4) (4) (3分)设
7、是3次样条函数,则a= , b= , c= 。(5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算,要求误差不超过,利用余项公式估计,至少用 个求积节点。(6) (6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ,迭代矩阵为 ,此迭代法是否收敛 。(7) (7) (4分)设,则 , 。(8) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题,为保证算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为 二. (64分) (6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。 (12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算的近似值,并利用余项估计误差。 (10分)求在区间0,1上的1
8、次最佳平方逼近多项式。 (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值,要求误差限为。 (10分)用Gauss列主元消去法解方程组: (8分)求方程组 的最小二乘解。 (8分)已知常微分方程的初值问题: 用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。三(12分,在下列5个题中至多选做3个题) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足:, (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度: (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值为。 (6分)推导求解常微分方程初值问题 的形式为 ,i=1,2,N的公式,使其精度尽量高,其中, , i=0,1,N, (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 所得到的三对角线性方程组。(9) (1)(10) (2)(11) (3)(12) (4)(13) (5)(14) (6)(15) (7)(16) (8)(8) (1)(9) (2)(10) (3)(11) (4)(12) (5)(13) (6)(14) (7)(6) (1)(7
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