函数的单调性奇偶性与周期性Word下载.doc

1、2 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内是单调递增；如果，那么函数在这个区间内是单调递减。函数的奇偶性3奇偶性概念 如果对于函数f （x）定义域内的任意x，都有f （x）=f （x），则称f （x）为奇函数；都有f （x）= f （x），则称f （x）为偶函数；如果函数f （x）不具有上述性质，则f （x）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f （x）既是奇函数，又是偶函数。注意：函数f （x）具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。4性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴

2、对称。5函数f （x）为奇函数，且在处有定义，则函数的周期性6周期性概念 如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f （x+T）= f （x），则称f （x）为周期函数。T是f （x）的一个周期。若f （x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f （x）的最小正周期。（二） 学习要点：1函数单调性的证明方法（1）定义法：任取；论证根据定义，得出结论。（2）导数法2 若要证明在区间上不是单调函数，只要举出反例即可。3 如果知道的单调性，你能说出的单调性的结论吗？4 复合函数的单调性：“同增异减”设复合函数y= f g（x）,其中u=g（x） , A是y= f g（x）定义域的

3、某个区间，B是g（x） 的值域若u=g（x） 在 A上是增（或减）函数，y= f （u）在B上也是增（或减）函数，则函数y= fg（x）在A上是增函数；若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y= f （u）在B上是减（或增）函数，则函数y= fg（x）在A上是减函数。5 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。6 运用函数的单调性可以解“含的抽象函数”的不等式。7 注意“函数f （x）的单调递增（或递减）区间是D”与“函数f （x）在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：函数f （x）的单调递增（减）区间

4、是D 不等式f （x）0（0）对于xD恒成立.8 函数奇偶性的证明方法：定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。9要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与a，验证f （a）f （a）010如果知道的奇偶性，你能说出，的奇偶性的结论吗？1f （x+T）= f （x）常常写作。2若周期函数f （x）的周期为T，则f （x）（0）是周期函数，且周期为3函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。 （三）例题讲评例1已知函数f （x）=的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。（1） 求m , n的值；（2）试用单调性的定义证明：在区间上是单调函数.例2设f （x）是定义在R上的

5、偶函数，在区间（，0）上单调递增，且满足, 求实数a的取值范围。例3判断下列函数的奇偶性： 例4（1）是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T, 则的值为A B0 CTD（2）定义在实数集上的函数满足，且，则是以 为一个周期的周期函数.（3）已知定义在R上的函数y= f （x）满足f （2+x）= f （2x），且f （x）是偶函数，当x0，2时，f （x）=2x1，当x4，0时，f （x）的表达式为._（四）练习题一、 选择题1若函数, 则该函数在上是 A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值2若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f （2

6、）=0，则使得f （x） c bBabcCba cDc ab5若f （x）是奇函数,且在（0,+）上是增函数, 又，则xf （x）0的解集是Ax|3x0或x3Bx|x3或0x3 C. D.6如果f（x）是定义在R上的偶函数，它在上是减函数，那么下述式子中正确的是ABC D以上关系均不确定7是定义在R上，以2为周期的偶函数， 时,的表达式为A B C D8对于函数=1g 的奇偶数性，下列判断中正确的是A是偶函数 B是奇函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数9奇函数y= f（x）（x0），当x（0，+）时，f（x）= x1，则函数f（x1）的图象为10设f （x）为奇函数，对任意xR，均有f （x+

7、4）=f （x），已知f （1）=3，则f （3）等于A3 B3 C4 D411设函数f （x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f （1）1，f （2），则Aa Ba且a1 Ca或a1 D.1a12下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A B C D二、 填空题13设偶函数f （x）在上为减函数，则不等式f （x） f （2x+1） 的解集是 14若函数f （x）=4x3ax+3的单调递减区间是，则实数a的值为 .15若函数是奇函数，则a= 16设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f （x）的图象关于直线对称，则f （1）+ f （2）+ f （3）+ f （4）+ f （5）=_.三

8、、解答题17已知f （x）是定义在R上的增函数，对xR有f （x）0，且f （5）=1，设F（x）= f （x）+，讨论F （x）的单调性，并证明你的结论。18设函数，（1）当k为何值时，函数f （x）单调递减区间是（0，4）；（2）当k为何值时，函数f （x）在（0，4）内单调递减。19已知函数y=f （x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y= f （x） （1x1）是奇函数，又知y=f （x）在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为5。（1）证明：f （1）+f （4）=0；（2）试求y=f （x）在1，4上的解析式；（3）试求y=f （x）

9、在4，9上的解析式。（五）函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案（三）、例题讲评例1解：（1）由于f （x）图象关于原点对称，则f （x）是奇函数,由 得例2为R上的偶函数， 在区间上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称， 在区间（0，+）上单调递减， 实数a的取值范围是（4，1）.例3（1）函数定义域为R， ，f（x）为偶函数； （另解）先化简：，显然为偶函数； 从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：设设当x=0时f（x）=0，也满足f （x）=f （x）；由、知，对xR有f （x） =f （x）， f （x）为奇函数；（3），函数的定义域为，f（x）=log21=0（x=1） ，即f