解析几何中角平分线问题的解法Word格式.doc

1、图12CADBAD；3；当然，包含变形的形式，如： 等。4（对称性）点C关于AD的对称点在AB上（或其延长线上）；点B关于AD的对称点在AC上（或其延长线上）。在具体问题中，必须根据实际情况使用不同的性质。 【例1】设M是椭圆上一点，F1，F2为左、右焦点，I是MF1F2的内心，直线MI交轴于N点，则等于（A） （B） （C） （D）如果只关心答案，根据选择题的特点可考虑特殊情况：取M与椭圆短轴顶点重合，就能迅速得出选B注意到本题是求一个比值，联想到性质3是十分自然的，但要充分注意三角形MF2N中也能利用性质3，况且求想到三角形MF2N也很正常。如果目光只集中在MF1F2上，则难以取得进展。详

2、细解题过程如下：MNIF1F2图2解法1：如图2，I是MF1F2的内心，MN是F1MF2的平分线，连结F2I，同样有F2I是MF2N的平分线，于是有，根据比例的性质，由，得，所以，选B还可更灵活一些，对性质1进行深层的应用。为例使图形更加清楚，我们取出MF1F2，如图3，作IAF1F2于A， MBF1F2于B，连结F2I，F2I，由点I到三角形三边的距离相等，用面积法得出相应的关系。解法2：作IAF1F2于A，MBF1F2于B，连结IF1，IF2，因I是MF1F2的内心，所以I到MF1F2各边的距离都相等，且都等于IA，设，由，得F1F2MBF1F2mMF1mMF2m即，所以，图3因IANMN

3、B，所以 解法2是建立在椭圆的定义上，否则面积法就无用武之地。【例2】已知P为双曲线上一动点，F1，F2是双曲线的焦点，自F2作F1PF2平分线的垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹是PQ图4（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆解：如图5，延长F2Q与PF1交于点A，因F2QPQ，且PQ是F1PF2平分线，所以PAPF2，QAQF2（这里实际上应用了角平分线的对称性），根据双曲线的定义，PF1PF2，于是有PF1PA，即AF2，连结OQ，在AF1F2中，由QAQF2，F1OOF2，得OQAF1，且OQAF2因此Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆。图5 这种解法利用了性质4以及双曲线的定义，

4、它的主要思想是通过对称把长度进行转换（本题中的PAPF2），这种方法应用比较普遍。图6注：在椭圆中有类似的结论：设P是椭圆上的一个动点，自F2作PF1F2外角平分线的垂线（如图6），垂足为Q，则Q点的轨迹是圆。【例3】已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（4，7），C（2，2），求角A的平分线的长。如图7,设AD为角A的平分线，A（2,1）B（4，7）C（2，2）图7AB， AC， 由角平分线的性质得 ， 即点D分所成的比为2，设D（），则 所以角A的平分线的长为AD 如果不按上述方法，计算量将比较大。【例4】如图8，给出定点A（）（）和直线，B是直线上的动点，BOA的平分线交AB于C，求C点的轨迹。设B（1，），则直线图8OB的方程为，设点C（），由OC平分BOA可知，C到OA和OB的距离相等，C到OA的距离为，C到OB的距离为，于是有又点C在直线AB上，所以，中消去得，当时，当由得，此时点C为（0，0），满足，因此C点的轨迹方程为 这是利用性质1，还可用性质2，性质2最直接的形式就是“到角公式”或“夹角公式”。我们用用到角公式给出简解。，由得，再利用C在直线AB上，得 ，消去得类似的例子很多，这里就不再展开了，掌握这类题目解法的关键是多进行转化，对各种方法多进行比较，然后选择最简单的解法。总之，思路一定要开阔。