中考数学一轮复习 第28课 圆的综合导学案.docx

1、中考数学一轮复习 第28课 圆的综合导学案圆的综合【考点梳理】：圆与三角形圆与四边形圆与函数圆与图形变换【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：圆与三角形【例题赏析】（2015湖北, 第25题10分）如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2（1）求证：AC平分BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD=3，求ABC的面积考点： 圆的综合题分析： （1）首先连接OC，由PE是O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OCAE，又由OA=OC，易证得

2、DAC=OAC，即可得AC平分BAD；（2）由AB是O的直径，PE是切线，可证得PCB=PAC，即可证得PCBPAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案；（3）首先过点O作OHAD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OCAE，可得PCOPEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由PBCPCA，证得AC=2BC，然后在RtABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的长，继而求得答案解答： （1）证明：连接OC，PE是O的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DAC=OCA，OA=OC，O

3、CA=OAC，DAC=OAC，AC平分BAD；（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB理由：AB是O的直径，ACB=90，BAC+ABC=90，OB=OC，OCB=ABC，PCB+OCB=90，PCB=PAC，P是公共角，PCBPAC，PC2=PBPA，PB：PC=1：2，PC=2PB，PA=4PB，AB=3PB；（3）解：过点O作OHAD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，OC=HE，AE=+OC，OCAE，PCOPEA，AB=3PB，AB=2OB，OB=PB，=，OC=，AB=5，PBCPCA，AC=2BC，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，（2BC）2+BC2=

4、52，BC=，AC=2，SABC=ACBC=5点评： 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质注意准确作出辅助线是解此题的关键【考点二】：圆与四边形【例题赏析】（2015永州，第27题10分）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知O的半径为2，AB，CD是O的直径P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）若直径ABCD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一）

5、，证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值考点：圆的综合题专题：探究型分析：（1）如图一，易证PMO+PNO=180，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）如图二，根据等

6、弧所对的圆心角相等可得COP1=BOP1=60，根据圆内接四边形的对角互补可得MP1N=60根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到P1MN是等边三角形，则有MN=P1M然后在RtP1MO运用三角函数就可解决问题；设四边形PMON的外接圆为O，连接NO并延长，交O于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得QMN=90，MQN=MPN=60，在RtQMN中运用三角函数可得：MN=QNsinMQN，从而可得MN=OPsinMQN，由此即可解决问题；（4）由（3）中已得结论MN=OPsinMQN可知，当MQN=90时，MN最大，问题得以解决解答：（1）如图一，PMOC，PNOB，PMO=PN

7、O=90，PMO+PNO=180，四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，ABOC，即BOC=90，BOC=PMO=PNO=90，四边形PMON是矩形，MN=OP=2，MN的长为定值，该定值为2；（3）如图二，P1是的中点，BOC=120COP1=BOP1=60，MP1N=60P1MOC，P1NOB，P1M=P1N，P1MN是等边三角形，MN=P1MP1M=OP1sinMOP1=2sin60=，MN=；设四边形PMON的外接圆为O，连接NO并延长，交O于点Q，连接QM，如图三，则有QMN=90，MQN=MPN=60，在RtQMN中，sinMQN=，MN=QNsinMQN，MN=OP

8、sinMQN=2sin60=2=，MN是定值（4）由（3）得MN=OPsinMQN=2sinMQN当直径AB与CD相交成90角时，MQN=18090=90，MN取得最大值2点评：本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出MN=OPsinMQN是解决本题的关键【考点三】：圆与函数【例题赏析】（2015广西崇左第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点（1）则点A，B，C的坐标分别是A（，），B（，），C（，）；（2）设经

9、过A，B两点的抛物线解析式为y=（x5）2+k，它的顶点为F，求证：直线FA与M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【思路分析】（1）连接MC，则MC垂直于y轴，MA=MC=5，MD=4，由勾股定理可计算AD和DB；（2）把A、或B或C的坐标代入y=,确定二次函数表达式y=，连接MA，根据勾股定理计算AF，由勾股定理逆定理判断MAAF，从而说明FA是切线；（3）设P（x,4）,当C为顶点时，在RtCMP1中用x表示CP1，根据P1C2=BC2列方程求解；当B为顶点时，在RtBDP2中用x表示C

10、P2，根据P2B2=BC2列方程求解；当P是顶点时，易知P和M重合.解：（1）连接MC，则MC垂直于y轴，MA=MC=5，MD=4，在RtAMD中，AD=3，同理在RtBMD中，BD=3，A（2,0），B（8,0），C（0,4）；（2）把A（2,0）y=,解得k=-,y=，F（5，-）.连接MA，则MF=4+=，AF=，MAAF，FA与M相切；（3）设P（x,4）,BC2=80.当C为顶点时，在RtCMP1中, CP12=25+(x-4)2,25+(x-4)2=80，x=4，点P在x轴上方，故x=4+,所以（4+，4）；当B为顶点时，在RtBDP2中，CP2=9+(x-4)2, 9+(x-4)

11、2=80，x=4，点P在x轴上方，故x=4+,所以（4+，4）；当P是顶点时，P和M重合，P3（5,4）.用x表示CP2，根据P2B=BC列方程求解；当P是顶点时，综上当P（4+，4）、（4+，4）或（5,4）时PBC是等腰三角形.用x表示CP1，根据P1C=BC列方程求解；当B为顶点时，在RtBDP2中用x表示CP2，根据P2B=BC列方程求解；当P是顶点时，易知P和M重合.点评：求点的坐标，就是计算和坐标有关的线段，即计算该点作和坐标轴垂线段，注意线段长度和坐标转化时符号的变化；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题证明切线的

12、的方法：连半径，证垂直，即要证明一条直线是圆的切线，可证明这条直线经过半径外端且垂直与这条半径.【考点四】：圆与图形变换 【例题赏析】（2015江苏盐城，第28题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与PAT相似时，求所有满足条件的t的值考点： 二次函数综合题分析： （1）根据题意易得点M、P的

13、坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：PBQ中必有一个内角为45；需要分类讨论：PBQ=45和PQB=45；然后对这两种情况下的PAT是否是直角三角形分别进行解答另外，以P、B、Q为顶点的三角形与PAT相似也有两种情况：QPBPAT、QBPPAT解答： 解：（1）如图，设直线AB与x轴的交点为MOPA=45，OM=OP=2，即M（2，0）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），将M（2，

14、0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得故直线AB的解析式为y=x+2；（2）如图，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知QDC为等腰直角三角形，则QD=QC设Q（m，m2），则C（m，m+2）QC=m+2m2=（m）2+，QD=QC=（m）2+故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；（3）APT=45，PBQ中必有一个内角为45，由图知，BPQ=45不合题意如图，若PBQ=45，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q、F此时满足PBQ=45Q（2，4），F（0，4），此时BPQ是等腰直角三角形，由题意知PAT也是等腰直角三角形（i）当PTA=90时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当PA