1、A、B两个集合公共的元素,也就是那些既属于A,又属于B的元素,它们组成的集合叫做A和B的交集,记作“AB”,读作“A交B”,如图阴影表示:已知6的约数集合A=1,2,3,6,10的约数集合B=1,2,5,10,则AB=1,2。4、容斥原理(包含与排除原理):(用|A|表示集合A中元素的个数,如A=1,2,3,则|A|=3)原理一:给定两个集合A和B,要计算AB中元素的个数,可以分成两步进行:第一步:先求出A+B(或者说把A,B的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:减去AB(即“排除”加了两次的元素)总结为公式:|AB|=A+B-AB原理二:给定三个集合A,B,C。要计算ABC中元素的个
2、数,可以分三步进行:先求A+B+C;减去AB,BC,CA;第三步:再加上ABC。即有以下公式:ABC=A+B+C-AB-BC- |CA|+|ABC二、例题分析:例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。分析:设A=20以内2的倍数,B=20以内3的倍数,显然,要求计算2或3的倍数个数,即求AB。解1:A=2,4,6,20,共有10个元素,即|A|=10B=3,6,9,18,共有6个元素,即|B|=6AB=既是2的倍数又是3的倍数=6,12,18,共有3个元素,即|AB|=3所以AB=A+B-AB=10+6-3=13,即AB中共有13个元素。解2:本题可直观地用图示法解答如
3、图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即AB中的数)只要数一数集合AB中的数的个数即可。例2 某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?解:设A=数学成绩90分以上的学生B=语文成绩90分以上的学生那么,集合AB表示两科中至少有一科在90分以上的学生,由题意知,A=25,B=21,AB=38现要求两科均在90分以上的学生人数,即求AB,由容斥原理得AB=A+B-AB
4、=25+21-38=8点评:解决本题首先要根据题意,设出集合A,B,并且会表示AB,AB,再利用容斥原理求解。例3 某班同学中有39人打篮球,37人跑步,25人既打篮球又跑步,问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?设A=打篮球的同学;B=跑步的同学则 AB=既打篮球又跑步的同学AB=参加打篮球或跑步的同学应用容斥原理AB=A+B-AB=39+37-25=51(人)例4 求在不超过100的自然数中,不是5的倍数,也不是7的倍数有多少个?这个问题与前几个例题看似不相同,不能直接运用容斥原理,要计算的是“既不是5的倍数,也不是7的倍数的数的个数。”但是,只要同学们仔细分析题意,这只需先算
5、出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。设A=100以内的5的倍数B=100以内的7的倍数AB=100以内的35的倍数AB=100以内的5的倍数或7的倍数则有A=20,B=14,AB=2由容斥原理一有:AB=A+B-AB=20+14-2=32因此,不是5的倍数,也不是7的倍数的数的个数是:100-32=68(个)从以上的解答可体会出一种重要的解题思想:有些问题表面上看好象很不一样,但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系,应当善于将一个问题转化为另一个问题。例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组,参加数学小组的有23人,参加语文小组的有27
6、人,参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人,同时参加数学、外语小组的有7人,同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人。问:这个年级参加课外学科小组共有多少人?设A=数学小组的同学,B=语文小组的同学,C=外语小组的同学,AB=数学、语文小组的同学,AC=参加数学、外语小组的同学,BC=参加语文、外语小组的同学,ABC=三个小组都参加的同学由题意知:A=23,B=27,C=18AB=4,AC=7,BC=5,ABC=2根据容斥原理二得:ABC=A+B+C-AB-AC|-BC|+|ABC=23+27+18-(4+5+7)+2=54(人) 利用图示法逐个填写各区域所表
7、示的集合的元素的个数,然后求出最后结果。设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合,其图分割成七个互不相交的区域,区域(即ABC)表示三个小组都参加的同学的集合,由题意,应填2。区域表示仅参加数学与语文小组的同学的集合,其人数为4-2=2(人)。区域表示仅参加数学与外语小组的同学的集合,其人数为7-2=5(人)。区域表示仅参加语文、外语小组的同学的集合,其人数为5-2=3(人)。区域表示只参加数学小组的同学的集合,其人数为23-2-2-5=14(人)。同理可把区域、所表示的集合的人数逐个算出,分别填入相应的区域内,则参加课外小组的人数为;14+20+8+2+5+3+2=54(人)
8、解法2简单直观,不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了,因此提供了较多的信息,易于回答各种方式的提问。例6 学校教导处对100名同学进行调查,结果有58人喜欢看球赛,有38人喜欢看戏剧,有52人喜欢看电影。另外还知道,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人,三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影?有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影(但不喜欢看戏剧)?(假定每人至少喜欢一项)解法1:画三个圆圈使它们两两相交,彼此分成7部分(如图)这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合,由于三种都喜欢的有12人,把12填
9、在三个圆圈的公共部分内(图中阴影部分),其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数(注意,有的部分的人数要经过简单的计算)其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为,这样,全班同学人数就是这7部分人数的和,即16+4+6+(40-)+(36-)+12=100解得 =14只喜欢看电影的人数为36-14=22解法2:设A=喜欢看球赛的人,B=喜欢看戏剧的人,C=喜欢看电影的人,依题目的条件有|ABC|=100,|AB|=6+12=18(这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种),|BC|=4+12=16,|ABC|=12,再设|AC|=12+由容斥原理二:|ABC |=|A|+|B|+|
10、C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|得:100=58+38+52-(18+16+12)+12解得:=1436-14=22所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14,只喜欢看电影的人数为22。解法1没有用容斥原理公式,而是先分别计算出(未知部分设为)各个部分(本题是7部分)的数目,然后把它们加起来等于总数,这种计算方法也叫“分块计数法”,它是利用图示的方法来解决有关问题,希望同学们能逐步掌握此类方法,它比直接用容斥原理公式更直观,更具体。例7、某车间有工人100人,其中有5个人只能干电工工作,有77人能干车工工作,86人能干焊工工作,既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?工人总数100
11、,只能干电工工作的人数是5人,除去只能干电工工作的人,这个车间还有95人。 利用容斥原理,先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分,其总数为163,然后找出这一公共部分,即163-95=68例8、某次语文竞赛共有五道题(满分不是100分),丁一只做对了(1)、(2)、(3)三题得了16分;于山只做对了(2)、(3)、(4)三题,得了25分;王水只做对了(3)、(4)、(5)三题,得了28分,张灿只做对了(1)、(2)、(5)三题,得了21分,李明五个题都对了他得了多少分?由题意得:前五名同学合在一起,将五个试题每个题目做对了三遍,他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+3
12、0+28+21=120。因此,五道题满分总和是1203=40。所以李明得40分。例9,某大学有外语教师120名,其中教英语的有50名,教日语的有45名,教法语的有40名,有15名既教英语又教日语,有10名既教英语又教法语,有8名既教日语又教法语,有4名教英语、日语和法语三门课,则不教三门课的外语教师有多少名?本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数,才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106(人)不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14(人)
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