数量关系之容斥问题解题原理及方法Word文件下载.doc

1、A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“AB”，读作“A交B”，如图阴影表示：已知6的约数集合A=1，2，3，6，10的约数集合B=1，2，5，10，则AB=1，2。4、容斥原理（包含与排除原理）：（用|A|表示集合A中元素的个数，如A=1，2，3，则|A|=3）原理一：给定两个集合A和B，要计算AB中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出A+B（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|AB|=A+B-AB原理二：给定三个集合A，B，C。要计算ABC中元素的个

2、数，可以分三步进行：先求A+B+C；减去AB，BC，CA；第三步：再加上ABC。即有以下公式：ABC=A+B+C-AB-BC- |CA|+|ABC二、例题分析：例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。分析：设A=20以内2的倍数，B=20以内3的倍数，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求AB。解1：A=2，4，6，20，共有10个元素，即|A|=10B=3，6，9，18，共有6个元素，即|B|=6AB=既是2的倍数又是3的倍数=6，12，18，共有3个元素，即|AB|=3所以AB=A+B-AB=10+6-3=13，即AB中共有13个元素。解2：本题可直观地用图示法解答如

3、图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数（即AB中的数）只要数一数集合AB中的数的个数即可。例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？解：设A=数学成绩90分以上的学生B=语文成绩90分以上的学生那么，集合AB表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，A=25，B=21，AB=38现要求两科均在90分以上的学生人数，即求AB，由容斥原理得AB=A+B-AB

4、=25+21-38=8点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示AB，AB，再利用容斥原理求解。例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？设A=打篮球的同学；B=跑步的同学则 AB=既打篮球又跑步的同学AB=参加打篮球或跑步的同学应用容斥原理AB=A+B-AB=39+37-25=51（人）例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算

5、出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。设A=100以内的5的倍数B=100以内的7的倍数AB=100以内的35的倍数AB=100以内的5的倍数或7的倍数则有A=20，B=14，AB=2由容斥原理一有：AB=A+B-AB=20+14-2=32因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27

6、人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？设A=数学小组的同学，B=语文小组的同学，C=外语小组的同学，AB=数学、语文小组的同学，AC=参加数学、外语小组的同学，BC=参加语文、外语小组的同学，ABC=三个小组都参加的同学由题意知：A=23，B=27，C=18AB=4，AC=7，BC=5，ABC=2根据容斥原理二得：ABC=A+B+C-AB-AC|-BC|+|ABC=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人） 利用图示法逐个填写各区域所表

7、示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域（即ABC）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。同理可把区域、所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为；14+20+8+2+5+3+2=54（人）

8、解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填

9、在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即16+4+6+（40-）+（36-）+12=100解得 =14只喜欢看电影的人数为36-14=22解法2：设A=喜欢看球赛的人，B=喜欢看戏剧的人，C=喜欢看电影的人，依题目的条件有|ABC|=100，|AB|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种），|BC|=4+12=16，|ABC|=12，再设|AC|=12+由容斥原理二：|ABC |=|A|+|B|+|

10、C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|得：100=58+38+52-（18+16+12）+12解得：=1436-14=22所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。解法1没有用容斥原理公式，而是先分别计算出（未知部分设为）各个部分（本题是7部分）的数目，然后把它们加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，更具体。例7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人？工人总数100

11、，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。 利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68例8、某次语文竞赛共有五道题（满分不是100分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题得了16分；于山只做对了（2）、（3）、（4）三题，得了25分；王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了28分，张灿只做对了（1）、（2）、（5）三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分？由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+3

12、0+28+21=120。因此，五道题满分总和是1203=40。所以李明得40分。例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人）