1、,点A与点A重合,AP=AP,APM=APM=90,对称轴是过对称点所连线段的中点的垂线。对于其他的对应点也有类似情况。因此,对称轴所在的 直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段。,经过线段的中点并且垂直于这 条线段的直线,叫做这条线段的 垂直平分线。,线段的垂直平分线的定义,图形轴对称的性质如果两个图形关于某条 直线对称,那么对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂 直平分线。,A,A,B,B,C,C,M PQ,SN,轴对称图形的性质,类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。,M线段AB的中垂线MN,垂足为点C;在MN上任取一点P,连结PA、PB;量一量:P
2、A、PB的长,你能发现什么?P,N,C,PA=PBP1A=P1B,画一画,由此你能得到什么规律?命题:线段垂直平分线上的 A点和这条线段两个端点的距 离相等。,B,P1,命题:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距,离相等。已知:如图,直线MNAB,垂足为C,且AC=CB.点P在MN上.求证:PA=PB证明:MNAB,PCA=PCB。在 PAC和 PBC中,,AC=BC,,,PCA=PCB,,PC=PC,,,PAC PBC。PA=PB。,证一证,A,B,P,M,N,C,A,B,P,N,C,PA=PB,点P在线段AB的垂直 平分线上,性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相
3、等。M线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的,距离相等,性质定理有何作用?可证明线段相等定理应用格式:,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知),PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线 段两个端点距离相等).,线段垂直平分线性质,A,B,C,PA=PB,点P在线段AB的垂直 平分线上,反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB 的垂直平分线上?P,换一换,判(定利用定全理等有,仿何照作性用质?定理自己证明),用途:判定一条直线是线段的中垂线判定定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。,PA=PB,点P在线段AB的垂直 平分线上,与一条线段两个端点距离相等
4、 的点,在这条线段的垂直平分 线上,A,B,P,C,性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。判定定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直 平分线上。线段垂直平分线上的点与这,条线段两个端点的距离相等,性质定理和判定定理存在什么关系?题设和结论正好相反,是互逆关系,线段垂直平分线性质,已知:两点A、B,和点A、B的距离相等的 点应在什么位置?,A,B,只要AC=BC就 可以了,B结论:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上,C,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做 一 个简易的“弓”,“箭”通过木棒中 央的孔射出去,怎样才能保持射出去的方 向
5、与木棒垂直呢为?什么?A,(1)线段AB的垂直平分线上的所有点都满 足“和点A、B的距离相等”这一条件吗?,想一想,(2)满足“和A、B的距离相等”的所有点都 在线段AB的垂直平分线上吗?线段的垂直平分线可以看作是和线段两 个端点距离相等的所有的点的集合,1、如图直线MN垂直平分线段AB,则AE=AF。,2、如图线段MN被直线AB垂直平分,则ME=NE。,3、如图PA=PB,则直 线MN是线段AB的垂直 平分线。,拓展:,如图所示,在ABC中,AB=AC32,MN是AB,的垂直平分线,且有BC=21,求BCN的周长。,MN,C,B,A,P34 练习,1、如图,ADBC,BD=DC,点C在AE
6、的垂直平分线上,AB、AC、CE 的长度 有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?AC=CE AB+BD=DE,2、如图,AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?,问题(一)如何作轴对称图形的对称轴?,作出对应点所连线段的垂直平分线,1.如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条对称轴吗?,A,B,问题(二)如何作出线段的垂直平分线?,(经过线段中点并且垂直于这条线段的直线)根据线段的垂直平分线的定义:()找出线段中点()过中点作这条线段的垂线思考:如何用尺规作图法作出线段的垂直平分线?提示:由两点确定一条直线和线段的垂直平分 线的性质,只要作出到线段两端点距离相等
7、的两个点即可,A,于,AB的长为半径作弧,两,B弧相交于C、D两点;作直线CD。,CD即为所求的直线。,C分别以点A、B为圆心,以大,D,2,1,例1.如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条对称轴吗?作法:,A,B,C,A,B,M,N,P,2.ABC与ABC关于某条直线对称,请你作,出它的对称轴。,CMN就是它们的对称轴。,分析:只要找到任意一组对应点,作出这对对应点 连线的垂直平分线,就可以得到此图形的对称轴,1,1.找出五角星的一对对应点、,连接,.作出线段的垂直平分线,3,3就是一条对称轴。,作法:五角星共有几条条对称轴?,有时我们感觉两个图形是轴对称,如何验证?如图,ABC
8、与DEF关于某条直线成轴对称吗?,A,C,BE,D,F,归纳:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直 平分,那么这两个图形关于这条直线对称。用这种方法可以判定两个图形是否关于某条直线对称。,1.作出下列图形的对称轴,2,无数条,2,1,3,ACOB角是轴对称图形,对称轴是角平线所 在的直线.,角是不是轴对称图形?,两相交直线是不是轴对称图形?,如结图论甲,:成A轴BC对和称A的B两C个关图于形直线,L对对应称,线延段长的对延应长线段线A如C和果A相C交,两交条延点 长一线定相交在吗对?称交轴点上与对;称对轴应L线有什段么的关延系长?线延长如其果他不对相应交线段,呢也?就在是图对乙中应,线段
9、A所C与在A的C直又线如平何呢行?,再那找么几它个成们轴也对与称对的称图形轴观平察行一下,能发现什么规律吗?,线段的垂直平分线,PA=PB,点P在线段AB的垂直 平分线上,与一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上,一、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相等。二、与一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上。线段垂直平分线上的点与这,条线段两个端点的距离相等,三、线段的垂直平分线的集合定义:线段的垂直平分线可以看作是和线段两个 端点距离相等的所有点的集合。,四、用尺规作图作已知线段的垂直平分线;五、用作垂直平分线的方法作轴对称图形或成 轴对称的两个图形的对称轴;六、验证图形是否是轴对称图形或是否成轴对 称。,线段的垂直平分线,课本P64习题3.1,作 业,
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