微分几何课程教学大纲Word下载.docx

1、第二章 曲线论1 参数曲线2 曲线的弧长3 曲线的曲率和Frenet标架4 挠率和Frenet公式5 曲线论基本定理6 曲线在一点的标准展开7 平面曲线重点掌握：曲线的Frenet标架及Frenet公式第三章 曲面的第一基本形式1 曲面的定义2 切不面及切向量3 曲面的第一基本形式4 曲面上正交参数曲面网的存在性5 保长对应和保角对应6 可展曲面第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。第四章 曲面的第二基本形式1 第二基本形式2 法曲率3 Gauss映射和Weingarten映射4 主方向和主曲率的计算5 Duppin标形和曲面在一点的近似展开6 某些特殊曲面。第二基本形式的定

2、义，法曲率、主曲率、Gauss曲率、中曲率的计算。第五章 曲面论基本定理1 自然标架的运动公式2 曲面一唯一性定理3 曲面论基本议程4 曲面的存在定理5 Gauss定理。自然标架的运动公司，曲面基本议程，Gauss曲率的内在计算（Gauss定理）。第六章 测地曲率和测地线1 测地曲率和测地挠率2 测地线3 测地坐标系4 常曲率曲面5 向量场的平行移动6 Gauss-Bonnet公式测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。四、学时分配章内 容参考学时1预备知识2曲线论83第一基本形式104第二基本形式5曲面论基本定理146测地曲率及测地线大纲制定者：李洪军 执笔大纲审定者：陈红斌大纲批准

3、者：张胜利大纲校对者：李洪军“数学分析”课程教学大纲Mathematical analysisBO课程类型：必修课256 学分：理学院数学各专业一、二年级本科生高中数学1陈传璋等，数学分析，高等教育出版社。2张筑生 主编，数学分析新讲，北京大学出版社，1999年3W.Rudin Principle of Mathematical Analysis 3rdMcGraw-Hill Book Company,New York 1976本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。要求学生熟练掌握本

4、课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。第一章 集合、映射与函数集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。第二章 序列极限序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。了 解：区间套定理及柯西收敛准则。第三章 函数极限与连续函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的定义与性质。一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。第四章 微分、导数

5、微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。第五章 利用导数研究函数微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。第六章 不定积分不定积分的定义及性质，不定积分的计算。第七章 定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。微分方法概念。第八章 欧氏空间与多元函数n维欧氏空间定义，Rn中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。连续与紧性，连续与连通性等概念。第九章多元函数的微分学偏导与全微分的概念，复合函数偏导数的链式法则，一阶微分形式的不变性，微分运算法则。高阶偏导数和

6、高阶全微分，泰勒公式。第十章 多元函数微分学的应用方向导数、梯度的定义与计算，曲线的切线与曲面的切平面议程，极值与条件极值概念与计算。陷函数的重积分第十一章 多元函数的重积分重积分的概念与积分的性质，二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。重积分在物理上的应用。第十二章 曲线积分与曲面积分第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。它们的几何或物理意义及应用。第十三章：各种积分间的联系格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克司公式。第十四章 广义积分无穷区间上广义积分的概念及收敛性的判别法，无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。第十五章 数项

7、级数无穷级数及其收敛性的概念，收敛级数的基本性质，正项级数、任意项级数及其收敛性判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。广义积分与级数的关系，上极限与下极限概念。第十六章 函数项级数、幂级数函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数概念，收敛半径，幂级数的性质，函数的幂级数展开。逼近定理。第十七章 傅里叶级数傅里叶级数的要领及其收敛性判别法，任意周期的傅里叶展开及其复数形式，基本三角函数系，狄利克雷积分，黎曼引理，傅里叶变换。第十八章 实数理论上、下确界的概念，实数的基本定理及其证明（包括区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等），闭区间上连续函数的性质，一致连

8、续性定理及其证明。第十九章 含参变量的积分 重点掌握：含参变量的积分的概念及计算。第二十章 含参量的广义积分含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法，欧拉积分。阿贝尔判别法、狄立克莱判别法，函数、函数，含参变量积分与函数逼近问题。第二十一章 场论初步场的概念，场的表示法，向量场的通量、散度和高斯公式，向量场的环量和旋度。保守场与势函数。第二十二章节 外微分形式与斯托克司公式反对称的重线性函数，次微分形式，外微分，微分形式的变量替换，高斯定理，斯托克司公式。掌握外微分形式与斯托克司公式。流形与流形上的积分。集合、映射与函数（含习题课、下同）序列极限16函数极限与连续微

9、分、导数（含期中测验）利用导数研究函数不定积分7定积分及其应用欧氏空间与多元函数9多元函数的微分学多元函数微分学的应用11隐函数定理12多元函数的重积分（含期中测验）13曲线积分与曲面积分15广义积分数项级数17函数项级数18傅里叶级数19关于实数理论的进一步知识（含期中测验）20含参变量的积分21含参变量的广义积分22场论初步23外微分形式与斯托克司公式陈红斌 执笔赫孝良“复变函数”课程教学大纲Theory of 0ne complex variable Complex anaylsis C09003必修课（双语）60 学分：钟玉泉：复变函数论，高教出版社。余家荣：Ahlfors：Compl

10、ex AnalysisMcGraw-Hill Book Company 。Marsden Basic complex analysisMcGraw-Hill Book Company 本课程是理科数学专业的基础课之一，通过本课程的学习使学生掌握复变函数论的基本理论和内容与方法，为工程应用打下基础，也为进一步学习与研究多复变函数、复动力系统、复几何等提供必要的预备知识。要求学生熟悉掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算、学会应用本课程的基本理论及方法支解决工程实际提出的问题，并通过对英文版教材的教学与阅读，提高学生的专业外语水平。第一章 平面点集与初等函数复平面上的点集、复变函数概念；复变函数

11、的极限与连续性概念及有关理论；解析函数的概念与柯西一黎曼条件、复变函数的导数与微分、初等解析函数。复球面与无穷远点，初等多值函数等内容。第二章 全纯函数与柯西积分全纯函数概念，复变函数积分的定义及基本性质、柯西积分定理、柯西积分公式。柯西型积分，解析函数与调合函数的关系，平面向量场一解析函数的应用。第三章 解析函数的幂级数表示法复级数的基本性质，幂级数及其敛散性，解析函数的泰勒展式及罗朗展式。解析函数零点孤立性及唯一性定理。第四章 奇点与留数解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质，留数及留数定理与计算实积分。整函数与亚纯函数概念，平面向量场解析函数的应用；辐解原理。第五章 共形映射解析变换的特性，线性变换，某些初等函数所构成的共形映射。第六章 解析延拓解析延拓与幂级数延拓概念，透弧解析延拓，对称原理。完全解析函数及黎曼面概念，多角形式域的共形映射。第七章 黎曼定理与正规族黎曼定理与正规族的概念。教学内容平面点集与初等函数全纯函数与柯西积分解析函数的幂级数表示法奇点与留数共形映射解析延拓黎曼定理与正规族