1、1.414221.414214的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9289.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能给上述思想起个名字吗?一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动:教师引导,学生回忆,教师提问,
2、学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问题对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题在的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果:1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,这些数都大于的过剩近似值.的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.
3、41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向接近5,而另一方面5从5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,和另一串有理从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.451.4151.41451.414 251.414 2151.4142251.414351.41551.420,是无理数)是
4、一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?(3)你能给出实数指数幂的运算法则吗?教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题(2)结合有
5、理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.(1)底数大于零的必要性,若a=-1,那么a是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a是一个确定的实数,就不会再造成混乱.(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:aras=ar+
6、s(a0,r,s都是无理数).(ar)s=ars(a(ab)r=arbr(a0,b0,r是无理数).(3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:0,r,sR).0,rR).应用示例思路1例1利用函数计算器计算.(精确到0.001)(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)3.1;(4)教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于(1),可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值;对于(2),先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按
7、即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按对于(4),这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案:(1)0.32.10.080;(2)3.14-30.032;2.336;6.705.点评:熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会;用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第(n+1)位能否进位即可.例2求值或化简.(1) (a0);(2)() (3)学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既
8、有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解:= (ab)=a-2ba=a=根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.aa0b0=化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指
9、数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) -+2-2+=0.考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x= (5-5),nN*,求(x+)n的值.学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=)2=-250+5+2+5-4)+5)2-1.这时应看到1+x2=1+ ()2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.将x=)代入1+x2,得1+x2=1+)n,所以(x+)n=(5)+n=)n=(5)n=5.运用整体思想和完全
10、平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1)(2)125+()-2+343-(3)(-2xy)(3x);(4)(x-y)(x).学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.=(+(0.062 5) +1-)2+(0.5) + +0.5+=5;=(53) +(2-1)-2+(73) -(3-3) =5+2-2(-1)+7-3=25+4+7-3=33;)=(-23)(xx=-6x)=(x)2-(y)2)=(x+y)(x=x在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式:(
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