第十二章微分方程二Word文档格式.docx

1、利用公式得积分得 【例2】求微分方程满足初始条件的特解。由于不显含x，令，所以，代入原方程得 所以 或 当时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得，所以 ， ， 即 将代入得，从而 分离变量得 ，将所求方程的特解为 时，即，积分得，特解为，含在内。3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性齐次微分方程：二阶线性非齐次微分方程：解的结构性质：（1）若和是齐次方程的解，则齐次方程的解。（2）若是齐次方程的线性无关解，则是齐次方程的通解。（3）若是齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的通解。（4）若分别是非齐次方程的特解，则是非齐次方程的特解。（5）若是对应齐次方程的特解。4二阶常系数线性微

2、分方程（1）二阶常系数齐次方程：由特征方程，解出特征根通解为：当（实根）时，；当时，当（2）二阶常系数非齐次方程特解 1）写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解3）根据不同类型的自由项，利用待定系数法求出一个特解4）写出原方程的通解自由项有两种： 当时，原方程的特解形式是 当时，原方程的特解形式是【例1】设都是的连续函数，并设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程 的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是 （A） （B） （C） （D） 【 】因为是二阶非齐次线性方程的解，且线性无关，所以 ，是对应齐次方程的两个线性无关的特解，非齐次线性方程的通解为：【例2】具有特解,的三阶常系数齐

3、次线性微分方程是 （A） （B） （C） （D） 【 】由特解知，代入（A）,（B）,（C）,（D）的特征方程验证（B）满足。【例3】求微分方程特征方程为，解得特征根则齐次方程通解是 为型，且为重根，可设特解代入原方程得，即所以通解为 【例4】 求方程的通解特征方程为 ，解得特征根 其中不是特征根，可设特解为特征根，可设特解故原方程的特解 所求通解为 【例5】设函数满足微分方程，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数.为单根，可设特解的图形在点在该点的切线重合，所以代入得【例6】设具有二阶连续导数，且 ， ，已知曲线积分与积分路径无关，求因为曲线积分与路径无关，所以，根据曲线积分与

4、路径无关的条件，得亦即 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为再由，可得特解【例7】设函数连续，且满足，求等式两边对求导得两边再对求导得 ，即 为二阶线性非齐次微分方程，且解此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为可得特解【例8】利用代换，将方程化简，并求出原方程的通解代入整理得 通解为 代入得 5欧拉方程， 为常数做变换 或，记将欧拉方程化为常系数线性微分方程，解方程，将代回即可。【例9】 求欧拉方程（x0）的通解.令 即代入方程 【例10】 求欧拉方程齐次方程的通解为 不是根，可设特解6微分方程的幂级数解法（1）一阶微分方程幂级数解法求一阶微分方程的特解.代入原方程定出常数，即可得特解

5、.（2）二阶微分方程幂级数解法定理：如果二阶微分方程中的系数P（x）和Q（x）可在-RxR内展开为x的幂级数，那么在-RR内方程必有形如的解，即可得解.【例11】 用幂级数求方程，故设代入方程得 比较等式两边得 所以方程的解为【例12】 用幂级数求方程的解.，满足定理条件，它们可在内展开成x的幂级数，解可设为 代入原方程得 化简后得 即都可用表示，表示.三、微分方程的建立微分方程的建立总体上讲有两条途径，其一利用已知的概念、定理、物理学定律等建立方程；其二是微小量分析的方法来建立方程。当然不排除在某一具体的题目处理时两种方法的综合运用。几何方面：已知曲线切线的斜率、曲线的曲率、变上限的弧长、变

6、上限曲边梯形的面积、变上限旋转体的体积，或上述的某些组合，求曲线的方程，可由已知条件建立微分方程。物理方面：已知运动的速度规律、加速度（或外力）的规律，求运动的位移与时间的关系，则由运动方程或牛顿第二定律建立微分方程。其它：已知某函数的变化率求该函数，可建立微分方程。【例1】 设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于 的一般表达式.在点处的切线斜率为，在轴上的截距为，切线方程为 对x求导得 整理得 为可降阶的微分方程，不显含y，有，代入上式有 分离变量 【例2】设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线的方程并求函数的极值是一向上凸的连续曲线，所以，

7、由题意，其中为可降阶的微分方程，不显含y,令曲线方程为令 为唯一驻点，且是y取的极大值【例3】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为N，在时刻已掌握新技术的人数，在任意（将视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数有题设知 ，所以 【例4】从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止 开始铅直下沉，在下沉的过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为，试建立与所满足的微分方程，并求出函数关系式取现放点为原点O，oy轴正向铅直向下，由牛顿第二定律，积分所以