椭圆双曲线的经典结论.docx

1、椭圆双曲线的经典结论椭圆双曲线的经典结论一、椭 圆1.点 P 处的切线 PT均分 PF1F2 在点 P 处的外角 .2.PT 均分 PF1F2 在点 P处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21上，则过x0 xy0 y1.22P0 的椭圆的切线方程是b2aba26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点a2

2、b2弦 P P 的直线方程是x0 xy0 y1.12a2b27.椭圆 x2y21 (a b 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上随意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPF2b2 tan .128.椭圆 x2y21（ a b 0）的焦半径公式：a2b2|MF1|aex0 ,|MF2 |aex0 (F1 ( c,0), F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点F 的直

3、线与椭圆交于两点P、Q, A 、 A 为椭圆长轴上的极点，AP和 AQ1212交于点 M， A P 和 A Q交于点 N，则 MFNF.2111.AB 是 椭 圆 x2y21 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M(x0 , y0 ) 为 AB 的 中 点 ， 则a2b2kOMk ABb2a2 ，即KABb2 x0 。a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )x2y 21内，则被Po在 椭 圆b2所均分的中点弦的方程是a2x0 x y0 yx02y0 2a2b2a2b2 .13.若 P0 ( x0 , y0 )x2y21Po在 椭 圆2b2内，则过的弦中点的轨迹方程是ax2y2x

4、0 xy0 y22a22 .abb二、双曲线1.点 P 处的切线 PT 均分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2.PT均分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 订交 .4. 以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切：P 在右支；外切：P在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 )x2y2 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程在双曲线22 1（ a 0,bab是 x0 xy0 y1.a2b26.若 P0 ( x0 , y0 )x2y21（ a 0

5、,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切在双曲线2b2a线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是x0 xy0 y1.a2b27.双曲线 x2y21（ a 0,b o）的左右焦点分别为12a2b2F ，F ，点 P 为双曲线上随意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为 S F1 PF2b2co t .28.双曲线 x2y21 （a 0,b o）的焦半径公式： ( F1(c,0) , F2 (c,0)a2b2当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a ,|MF2|ex0a .当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |ex0 a

6、, | MF 2 |ex0a9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线订交 P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个极点，连接 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、 N两点，则 MF NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的极点，A1 P 和 A2Q交于点 M， A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF.11.AB 是双曲线 x2y21 （ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M( x0 , y0 ) 为 ABa2b2的中点，则 K OMK ABb2 x0，即 KABb2 x0。a 2 y0a2 y012.若 P0 ( x0

7、, y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）内，则被Po 所均分的中点弦的a2b2方程是 x0 xy0 yx02y02a2b2a2b2 .13.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方a2b2程是x2y2x0 xy0 y22a2b2 .ab椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆1.椭圆 x2y21（ a b o）的两个极点为A1 ( a,0) ,A2 (a,0)，与 y 轴平行的直a2b2线交椭圆于 PP 时 AP 与 AP 交点的轨迹方程是x2y21.1、 21122a2b22.过椭圆 x2y21 (a 0,

8、b 0) 上任一点 A(x0 , y0 ) 随意作两条倾斜角互补的直a2b2线交椭圆于 B,C 两点，则直线BC有定向且 kBCb2 x0（常数） .a2 y03.若 P为椭圆x2y21 （ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2 是焦点 ,b2a2PF1 F2,accot.PF2 F1，则tanac224.设椭圆x2y21（ ab 0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上a2b2随意一点，在PF F 中，记F1PF2,PF1F2, F1 F2 P，则有12since .sinsina5.若椭圆 x2y21（ a b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当

9、0a2b2e2 1时，可在椭圆上求一点P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 的比12例中项 .6.P 为椭圆 x2y21（ a b0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为椭圆内必定点，a2b2则 2a| AF2| |PA|PF1|2a | AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.(xx ) 2( yy) 27.椭圆001 与直线 AxByC 0 有公共点的充要条件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0C)2.8.已知椭圆 x2y21（ a b 0），O为坐标原点， P、Q为椭圆上两动点， 且 OP OQ .a2b2（1）1111224

10、a2b22222 ;（ 2）|OP| +|OQ|的最大值为a2b2 ;（ 3）S OPQ|OP |OQ |aba2 b2的最小值是a2b2 .9.过椭圆 x2y21（ a b0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦a2b2MN的垂直均分线交x 轴于 P，则 | PF |e .|MN| 210.已知椭圆 x2y21（ a b 0） ,A 、B、是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直均分a2b2线与 x 轴订交于点 P( x0 ,0) ,a2b2a2b2则ax0.a11.设 P 点是椭圆 x2y21（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F 1、 F2 为其焦点a2b2记 F1PF2，则

11、(1)| PF1 | PF2 |12b2.(2)S PF1 F2b2 tan.cos212.x2y21（ a b 0 ）的长轴两头点，P 是椭圆上的一点，设 A、B 是椭圆b2a2PAB,PBA,BPA， c、 e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) |PA |2ab 2 | cos| .(2)tantan1e2 .(3) S PAB2a2 b2 cot .a2c2 co s2b2a213.已知椭圆 x2y21（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴订交于点 E ，过椭圆右焦点 Fa2b2的直线与椭圆订交于A、 B 两点 , 点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 E

12、F 的中点 .14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆订交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直 .16.椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦极点的内、 外角均分线与长轴交点分别称为内、 外点 . ）17.椭圆焦三角形中 , 心里将内点与非焦极点连线段分红定比e.18.椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比率中项.双曲线1.双曲线 x2y21（ a0,b 0）的两个极点为 A1(a

13、,0) ,A2 (a,0) ，与 y 轴a2b2平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A1 P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是x2y21.a2b22.过双曲线 x2y21（ a 0,b o）上任一点A( x0 , y0 ) 随意作两条倾斜角互a2b2补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC有定向且 kBCb2x0（常数） .a2 y03.x2y21（a 0,b 0）右（或左）支上除极点外的任一点,F 1,若 P 为双曲线b2a2F2是焦点,PF1F2,PF2 F1， 则catancot（ 或caca22co t）.ctana224.x2y21 （a 0,b 0）的两个焦点为F1、F2,P

14、（异于长轴端点）设双曲线b2a2为双曲线上随意一点，在PFF中 ， 记F1PF2,12PF1F2,F1F2Psince.，则有)a(sinsin5.x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，若双曲线b2a2则当 1 e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF 是 P 到对应准线距离1d 与 PF 的比率中项 .26.P 为双曲线 x2y21 （a 0,b12a2b20）上任一点 ,F,F为二焦点， A 为双曲线内必定点，则|AF2|2a|PA | PF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线且P 和A, F2 在 y 轴同侧时，等号建立 .7.x2y2

15、1（ a 0,b 0）与直线 AxByC0 有公共点的充要条双曲线b2a2件是 A2 a2B2b2C 2 .8. 已知双曲线x2y21（ ba 0），O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，a2b2且OP OQ.1111224a2b2（1）22a22 ;（ 2）|OP|+|OQ|的最小值为b2a2 ;（3）S OPQ|OP |OQ|ba2 b2的最小值是 .2 2b a9.过双曲线 x2y2 1（ a 0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于a2b2M,N 两点，弦 MN的垂直均分线交 x 轴于 P，则 | PF |e .|MN |210.x2y21（ a 0,b 0） ,A 、B 是

16、双曲线上的两点，线段AB 的已知双曲线b2a2x 轴订交于点P( x0 ,0) ,则 x0a2b2a2b2垂直均分线与a或 x0.a11.设 P 点是双曲线 x2y21 （ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F 1、 F2a2b2F1PF2，则(1)2b2.(2)为其焦点记| PF1 | PF2 |1 cosS PFFb2 cot .12212.设 A、B 是双曲线 x2y 21（a 0,b 0）的长轴两头点， P 是双曲线上的a2b2一点，PAB,PBA, BPA， c、 e分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) | PA |2ab2 |cos| a2c2co s2.|(2)tantan12