平面几何证明常用方法.docx

1、平面几何证明常用方法1.引言2.利用平行四边形性质添加平行线证题3.利用圆中的等量关系巧作辅助圆证题4.利用平移、旋转 , 翻折,几何证明中的三种基本变换证题5.反证法证题 6.巧用面积法解几何题结论 参考文献 致谢 平面几何证明题的常用技巧数学计算机科学学院摘 要 灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。 解决任何一道平面几何证明题 ,都要应用这样或那样的方法 , 而选择 哪一种方法 , 就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何 证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。【关键词】平面几何 证明题 思路 技巧The plane geometry proving the

2、commonly usedskillCollege of Mathematics and Computer ScienceAbstract: Flexible, properly choose the problem solving method is a good way of solving plane geometry. Any solve a plane geometry proving, one way or the other method, and the choice of which method, it depends on what kind of way we use.

3、 This article try to plane geometry proving that is commonly used in several problem-solving ideas and methods are analyzed.Key words：Plane geometry To prove the topic Train of thought skills1 引言 平面几何难学 , 是很多初中生在学习中的共识 , 这里面包含了很多主观和客观因素 , 而学习不 得法 ,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。 波利亚曾说过 ,“解题的成功要靠正确思路的选择 , 要靠从可

4、以接近它的方向去攻击堡垒。 为了辨别哪一条思路正确 , 哪一个方向可 接近它 ,就要试探各种方向和思路。 ”由此可见 , 掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的 数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。2利用平行四边形性质添加平行线证题在同一平面内 , 不相交的两条直线叫平行线 . 平行线是初中平面几何最基本的 , 也 是非常重要的图形 .在证明某些平面几何问题时 , 若能依据证题的需要 ,添加恰当 的平行线 , 则能使证明顺畅、简洁 . 添加平行线证题 , 一般有如下四种情况 .2.1为了改变角的位置大家知道 , 两条平行直线被第三条直线所截 , 同位角相等 , 内错角相等 ,

5、同旁 内角互补 .利用这些性质 , 常可通过添加平行线 , 将某些角的位置改变 ,以满足求 解的需要 .例1 设 P、Q为线段 BC上两点,且 BPCQ,A为 BC外一动点 （ 如图 1）. 当点 A运动到使BAPCAQ时, ABC是什么三角形？试 证明你的结论 .答： 当点 A运动到使 BAPCAQ时, ABC为等腰三角形 . D A证明：如图 1,分别过点 P、B作AC、AQ的平行线得交点 D.连结 DA.在DBPAQC中,显然DBPAQC, DPBC.由 BPCQ, 可知 DBP AQC.有 DPAC, BDP QAC. B P Q C于是, DABP, BAP BDP. 图1则 A、D

6、、B、P四点共圆 ,且四边形 ADBP为等腰梯形 .故 ABDP.所以 ABAC.这里,通过作平行线 ,将QAC“平推”到 BDP的位置.由于 A、D、B、P四 点共圆,使证明很顺畅 .例 2 如图 2, 四边形 ABCD为平行四边形 , BAFBCE. 求证： EBA ADE.证明：如图 2,分别过点 A、B作 ED、EC 的平行线 ,得交点 P,连 PE.由 AB CD ,易知 PBA ECD. 有PA ED, PBEC.显然, 四边形 PBCE、PADE均为平行四边形 . 有 BCE BPE, APEADE.由 BAF BCE, 可知 BAF BPE.有 P、B、A、E四点共圆 .于是,

7、EBAAPE. 所以, EBA ADE. 这里,通过添加平行线 , 使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E四点共圆 ,紧密联系起来 . APE成为 EBA与ADE相等的媒介 ,证法很巧妙 .2.2为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等” 、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条 , 常可通过 添加平行线 , 将某些线段“送”到恰当位置 ,以证题.例3 在ABC中,BD、CE为角平分线 , P为ED上任意一点.过P分别作 AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足. 求证：PMPNPQ.证明：如图 3,过点 P作 AB的平行线交 BD 于 F, 过点 F 作 BC的平行线分别交 PQ、AC 于

8、K、G,连 PG.由 BD平行 ABC, 可知点 F 到 AB、 BC 两边距离相等 . 有 KQPN.显然, EP EF CG ,可知 PGEC.PD FD GD由 CE平分 BCA, 知 GP平分 FGA. 有 PKPM. 于是 , PMPNPKKQPQ.这里,通过添加平行线 ,将 PQ“掐开”成两段,证得 PM PK,就有 PMPNPQ. 证法非常简捷 .2.3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边 , 所得对应线段成比例” ,在一些问 题中, 可以通过添加平行线 , 实现某些线段比的良性转化 . 这在平面几何证题中是 会经常遇到的 .例 4 设 M1、M2是 ABC的

9、BC边上的点,且 BM1CM2.任作一直线分别交 AB、AC、 AM1、AM2于 P、Q、N1、N2. 试证：AB AC AM1 AM 2 .AP AQ AN1 AN2证明：如图 4,若 PQBC,易证结论成立 . 若 PQ与 PQPMPK,PMPNPQ.M1、M2ABCBCBM1CM2.AB、AC、AM1、AM2P、Q、N1、N2AB AC AM1 AM 2 .AP AQ AN1 AN2PQBCPQ与BC不平行,设 PQ交直线 BC于 D. 过点 A 作 PQ的平行线交直线 BC于 E.由 BM1CM2, 可知 BECEM1EM2E, 易知AB BE , AC CE ,AP DE AQ DE

10、AM1M1EAM2M2EAN1 DE ,AN2 DEAB AC AM1 AM 2 AP AQ AN1 AN2这里,仅仅添加了一条平行线 , 将求证式中的四个线段比“通分” ,使公分母 为 DE, 于是问题迎刃而解 .例 5 AD是 ABC的高线, K为 AD上一点, BK交 AC于E, CK交AB于 F.求证：FDA EDA.证明：如图5,过点 A作BC的平行线,分 别交直线 DE、DF、BE、 CF于 Q、 N、M.显然, BDKD DCAN KA AM有 BDAM DCAN.AP AF AM 由 ,BD FB BCAQ AE AN 由 ,DC EC BC对比 (1) 、(2) 、(3) 有

11、所以, FDAEDA.这里,原题并未涉及线段比 ,添加 BC的平行线,就有大量的比例式产生 ,恰当 地运用这些比例式 ,就使 AP与AQ的相等关系显现出来 .2.4为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时 , 应注意到平行线等分线段定理 , 用平 行线将线段相等的关系传递开去 .例 6 在 ABC中, AD是BC边上的中线,点 M在AB边上,点 N在 AC边上,并且MDN90.如果 BM2CN2DM2DN2,求证：AD21 ( AB2 AC2). 4证明：如图6,过点 B作AC的平行线交 ND 延长线于 E.连 ME.由 BDDC, 可知 EDDN. 有 BED CND. 于是, B

12、ENC.显然, MD为 EN的中垂线.有 EMMN. E由 BM2BE2BM2NC2MD2DN2MN2EM2, 可知 BEM为直角三角形 ,图6MBE 90.有ABCACBABCEBC90.2于是, BAC90所以, AD2 1 BC 1 ( AB2 AC2).24这里,添加 AC的平行线,将BC的以 D为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路.例 7 如图 7, AB为半圆直径 , D为 AB上一点 , 分别在半圆上取点 E、F,使EADA, FBDB.过 D作AB的垂线,交半圆于 C.求证： CD平分 EF.证明：如图 7,分别过点 E、F作 AB的垂线, G、H为垂足,连FA、EB.易知

13、 DB2FB2ABHB,AD2AE2AGAB. 二式相减 , 得 DB2AD2AB（HBAG）,或 （ DBAD）ABAB（HBAG）. 于是,DBADHBAG, 或 DB HBADAG.就是DHGD. 显然,EGCDFH. 故CD平分 EF. 图7这里,为证明CD平分EF,想到可先证 CD平分GH.为此添加 CD的两条平行线 EG、FH,从而得到 G、H两点.证明很精彩 .经过一点的若干直线称为一组直线束 . 一组直线束在一条直线上截得的线段相等 , 在该直线的平行直线上截得的线 段也相等 .如图 8,三直线 AB、AN、AC构成一组直线束 ,DE是与 BC平行的直线 .于是, 有DM AM

14、 ME , BN AN NC DM ME DM BN即 或 .BN NC ME NC此式表明, DMME的充要条件是 BNNC. 利用平行线的这一性质 , 解决某些线段相等的问题会很漂亮 .例 8 如图 9, ABCD为四边形 , 两组对边延长 后得交点 E、F, 对角线 BDEF, AC的延长 线交 EF于 G. 求证： EGGF. 证明：如图 9,过 C作 EF的平行线分别交 AE、 AF于M、N.由BDEF,可知 MNBD.易知SBEF SDEF. 有 S BEC S KG *5 DFC. 可得 MCCN. 所以, EGGF.ADNC G 图9MB例 9 如图 10, O是 ABC的边

15、BC外的旁 切圆,D、E、F分别为 O与BC、CA、AB 的切点.若OD与EF相交于 K,求证： AK平 分 BC.证明：如图10,过点 K作BC的行平线分别 交直线 AB、AC于 Q、P两点,连 OP、OQ、 OE、OF.由 ODBC, 可知 OK PQ.由 OFAB, 可知 O、K、F、Q四点共圆 , 有 FOQ FKQ. 图10由 OEAC, 可知 O、K、P、E四点共圆 .有EOP EKP.显然, FKQEKP, 可知 FOQ EOP.由 OFOE, 可知 Rt OFQ RtOEP. 则 OQOP.于是, OK为 PQ的中垂线,故 QKKP. 所以, AK平分 BC.综上, 我们介绍了

16、平行线在平面几何问题中的应用 . 同学们在实践中应注意 适时添加平行线 , 让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用 .3利用圆中的等量关系巧作辅助圆在某些数学问题中 , 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 ,通 过圆的有关性质找到解题途径 . 下面举例说明添置辅助圆的若干思路 .3.1挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆” , 此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆 , 并合理挖掘图形隐含的性质 明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1 如图 1,在 ABC中, ABAC, D是底边 BC 上一点, E是线段 AD上一点且 BED2CED A. 求证： BD

17、2CD.分析：关键是寻求 BED2CED与结论的联系 . 容易想到作 BED的平分线 ,但因 BEED, 故不能 直接证出 BD2CD. 若延长 AD交 ABC的外接圆于 F, 则可得 EB EF, 从而获取 .证明：如图 1,延长AD与ABC的外接圆相交于点 F,连结 CF与BF,则 BFA BCA ABC AFC,即 BFDCFD.故 BF: CFBD: DC.又 BEF BAC, BFE BCA,从而 FBE ABC ACB BFE. 故 EB EF.作 BEF的平分线交 BF于 G,则 BGGF.1因 GEF BEF CEF, GFE CFE,故 FEG FEC.从而 GFFC. 2于

18、是, BF2CF.故 BD2CD.1.2 利用四点共圆 例 2 凸四边形 ABCD中, ABC60, BAD BCD90,AB2, CD1,对角线 AC、BD交于点 O, 如图 2.15 6 3 证 sin AOB .26分析：由 BADBCD 90可知 A、B、C、D 四点共圆,欲求 sin AOB,联想到托勒密定理 ,只须求出 BC、AD即可.解：因BADBCD90,故 A、B、C、D四点共圆.延长 BA、CD交于 P,则 ADPABC60.设 ADx, 有 AP 3x,DP2x.由割线定理得 （2 3x） 3x2x（12x）.1解得 ADx2 3 2, BC BP4 3.2 由托勒密定理

19、有BDCA（4 3）（2 3 2）2110 3 12.BACDECD例 3 已知：如图 3,ABBCCAAD, AH CD于 H, CPBC, CP交 AH于P.求证：3 ABC的面积 S APBD.4分析：因 SABC 3 BC2 3 AC BC, 只44须证ACBCAPBD,转化为证 APCBCD.这由 A、B、C、Q四点共圆易证 （Q 为 BD与 AH交点 ）.证明：记BD与AH交于点 Q,则由 ACAD, AHCD得 ACQADQ. 又 ABAD, 故 ADQABQ.从而,ABQACQ.可知 A、B、C、Q四点共圆. APC90 PCH BCD, CBQCAQ, APCBCD. ACB

20、CAPBD.于是,S 3 ACBC 3 APBD.443.2构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关 , 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质 相似的信息 , 此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆 , 将原问题转化为与圆 有关的问题加以解决 .2.1 联想圆的定义构造辅助圆例 4 如图 4,四边形 ABCD中, ABCD, ADDCDBp, BCq.证对角线 AC的长为 4p2 q2 .分析：由“ AD DCDB p”可知 A、B、C 在 半径为 p 的D上. 利用圆的性质即可找到 AC与 p、q的关系 .解：延长CD交半径为 p的D于E点,连结 AE. 显然 A、B、C在 D上.文

21、档图4 AB CD, BC AE. 从而 , BC AE q.在ACE中,CAE90, CE2p, AEq,故AC CE2 AE 2 4p2 q2 .2.2联想直径的性质构造辅助圆例 5 已知抛物线 yx22x8 与 x 轴交于 B、C两点，点 D平分 BC.若在 x 轴上侧的 A点为抛物线上的动点 ,且BAC为锐角,证 AD的取值范围是 3AD 9.分析：由“ BAC为锐角”可知点 A在以定线段 BC为直径的圆外 ,又点 A在x 轴上侧,从而可确定动点 A的范围,进而确定 AD的取值范围 . y解：如图 5, 所给抛物线的顶点为 A0（1,9）, 对称轴为 x1,与 x 轴交于两点 B（ 2,0） 、 C（4,0）.分别以 BC、DA为直径作 D、E, 则 两圆与抛物线均交于两点 P（12 2 ,1） 、Q（12 2,1）.可知,点 A在不含端点的抛物线 PA0Q 图5内时,BAC90.且有 3DPDQAD DA0 9,即 AD的取值范围是 3 180，即三个内角的和大于 180，这与三角形的内角和等于 180相矛盾， 所以三角形的三个内角至少有一个角不大于 60。二、常规性证明习题此类习题可用