圆与二次函数的结合.docx

1、圆与二次函数的结合如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是-1，点B的横坐标是2（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值；（3）试确定以点A为圆心，半径为$frac75$的圆与直线OB的位置关系（2007芜湖）已知圆P的圆心在反比例函数y=$frackx$（k1）图象上，并与x轴相交于A、B两点且始终与y轴相切于定点C（0，1）（1）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴一次

2、函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）平行于x轴的直线l过（0，-1）点（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？（1998宁波）如图，在直角坐标系中，OA=OC，AB=4，tanBCO=$frac15$，二次函数y=ax2+bx+c图象经过A、B、C三点（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求二次

3、函数的解析式；（3）求过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径1）先求出A、B两点坐标，将A、B两点入坐标代入y=ax2+bx即可解得二次函数的表达式；（2）设点C的坐标为（t，t2），表示出S关于t的解析式，观察解析式可知当t=1时，四边形OABC面积S取最大值；（3）过点A作ADOB于D，根据三角形的面积公式求出AD的长度，再判断AD与A的半径 75的关系，可知圆A与直线OB相交解答：解：（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，得A的坐标为（-1，1），B的坐标为（2，4）A，B在二次函数y=ax2+bx的图象上， a-b=14a+2a=4，解得 a=1b=0，二次函数的表达式为y=x2；（2）

4、如图，设四边形OABC的面积为S，点C的坐标为（t，t2），0t2，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足依次为A1，B1，C1，则OA1=1，AA1=1，OC1=t，C1C=t2，B1C1=4-t，BB1=4，于是， S=S梯形AA1B1B-SOC1C-S梯形CC1B1B-SOA1A，= 12(1+4)(1+2)-12tt2-12(t2+4)(2-t)-1211，=-t2+2t+3，=-（t-1）2+4，当t=1时，S的最大值为4即四边形OABC的面积的最大值为4；（3）可求得 OA=2，AB=32，OB=25，OA2+AB2=OB2OAB=90过点A作ADOB于D，由 12ADOB=12OA

5、AB，得AD=OAABOB=23225=355， AD75，圆A与直线OB相交1）可用OB表示出OA、OC的长，进而在RtOBC中，根据BCO的正切值求出OB的长，即可得到OA、OC的长，也就求得了A、B、C的坐标；（2）用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）根据抛物线的解析式可求得D点的坐标；过D作DEx轴于E，根据抛物线与圆的对称性可知DE必过圆心，连接MB（设圆心为M），在RtMEB中，可用O的半径表示出ME、MB的长，进而由勾股定理求出O的半径解答：解：（1）设OB=x，则OA=OC=4+x；RtOBC中，tanBCO= OBOC= 15，即：OC=5OB，4+x=5x， 解得x

6、=1；OB=1，OA=OC=5；A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x+5），依题意有：a（0+1）（0+5）=5，a=1；y=（x+1）（x+5）=x2+6x+5；（3）由（2）知：y=x2+6x+5=（x+3）2-4，则D（-3，-4）过D作DEx轴于E，则DE必过圆心M，连接BM，设M的半径为R；RtBME中，BM=R，ME=DE-DM=4-R，BE= 12AB=2；由勾股定理得：BM2=ME2+BE2，即R2=（4-R）2+4，解得R=2.5；故过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径为2.51）连接PC、PA、PB，过P点作PHx轴，垂足

7、为H易得PCy轴，进而可得P的坐标，在RtAPH中，根据勾股定理可得AB点坐标关于k的表达式，即可得答案；（2）由（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-k2）；故DH=k2-1若四边形ADBP为菱形则必有PH=DH；代入k，易得k= 2时，PH=DH故可得答案解答：解：（1）连接PC、PA、PB，过P点作PHx轴，垂足为H（1分）P与y轴相切于点C（0，1），PCy轴P点在反比例函数 y=kx的图象上，P点坐标为（k，1）（2分）PA=PC=k在RtAPH中，AH= PA2-PH2= k2-1，OA=OH-AH=k- k2-1A（k- k2-1，0）（3分）由P交x轴于A、B两点，且PHAB，由

8、垂径定理可知，PH垂直平分ABOB=OA+2AH=k- k2-1+2 k2-1=k+ k2-1，B（k+ k2-1，0）（4分）故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k可设该抛物线解析式为y=a（x-k）2+h（5分）又抛物线过C（0，1），B（k+ k2-1，0），得： ak2+h=1a(k+k2-1-k)2+h=0解得a=1，h=1-k2（7分）抛物线解析式为y=（x-k）2+1-k2（8分）（2）由（1）知抛物线顶点D坐标为（k，1-k2）DH=k2-1若四边形ADBP为菱形则必有PH=DH（10分）PH=1，k2-1=1又k1，k= 2（11分）当k取 2时，PD与

9、AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形（12分）（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式（2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长然后判定圆的半径与1的大小关系即可（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2因此过F，M，N三点的

10、圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离即t的值（也可根据C点的坐标求出M，N点的坐标，然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，经过比较即可得出平移的距离，即t的值）解答：解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得k=- 34，一次函数的解析式为y=- 34x+1；二次函数图象的顶点在原

11、点，对称轴为y轴，设二次函数解析式为y=ax2，把A（-4，4）代入y=ax2得a= 14，二次函数解析式为y= 14x2（2）由 y=-34x+1y=14x2解得 x=-4y=4或 x=1y=14， B(1，14)，过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A，B，则AA=4+1=5，BB= 14+1= 54直角梯形AABB的中位线长为 5+542=258，过B作BH垂直于直线AA于点H，则BH=AB=5， AH=4-14=154， AB=52+(154)2=254，AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，以AB为直径的圆与直线l相切（3）平移后二次函数解析式为y=（x-2）2-t，令y=0，得（x-2）2-t=0，x1=2-2 t，x2=2+2 t，过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，点C为定点，B要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离，此时，半径为2，面积为4，设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE=1，在三角形CEM中，ME= 22-1=3，MN=2 3，而MN=|x2-x1|=4 t，t= 34，当t= 34时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4