数学史概论教案.docx

1、数学史概论教案数学史概论教案所用教材：数学史概论授课对象：小教08级授课时数：54 学 时主 讲 人：罗 成 广主要教学内容：1、 数学史人类文明史的重要篇章； 1、数学的起源与早期发展； 2、古代希腊数学； 3、中世纪的中国数学； 4、印度与阿拉伯的数学； 5、近代数学的兴起； 6、微积分的创立； 7、分析时代； 8、代数学的新生； 9、几何学的变革； 10、分析的严格化； 11、20世纪数学概观 （I）； 12、20世纪数学概观（ II）； 13、20世纪数学概观 （III）； 主要教学参考书：1、美克莱因. 古今数学思想. 牛津大学出版社，1972；2、张奠宙. 20世纪数学经纬. 上海

2、：华东师范大学出版社，2002；3、吴文俊主编. 世界著名数学家传记（上、下册）. 北京：科学出版社，1995；4、程民德主编. 中国现代数学家传（5卷本）. 南京：江苏教育出版社，1994；5、徐品方，张红. 数学符号史. 北京：科学出版社，2006。0 数学史人类文明史的重要篇章 主要内容：数学史的意义、关于数学史的分期。1.1 数学史的意义数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。庞加莱（法，18541912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科

3、学的历史和现状。萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。0.2 关于数学史的分期1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；2、初等数学时期（公元前6世纪16世纪）；3、近代数学时期（17世纪18世纪）；4、现代数学时期（1820年至今）。1 数学的起源与早期发展主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。1、数与形概念的产生从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表

4、明人类记数最原始、最方便的工具是手指。计数的方式主要有：手指计数，石子计数，结绳计数，刻痕计数，书写计数等。早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明，分布在中美洲）等。世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。2、河谷文明与早期数学2.1 古代埃及的数学背景：古代埃及简况埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。古代埃及可以分为5个大的历史时期：早期王国时期（公

5、元前3100前2688年）、古王国时期（前2686前2181年）、中王国时期（前2040前1768年）、新王国时期（前1567前1086年）、后期王国时期（前1085前332年）。（1）古王国时期：前2686前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。（2）新王国时期：前1567前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。吉萨金字塔（公元前2

6、600年），它显示了埃及人极其精确的测量能力，其中它的边长和高度的比例约为圆周率的一半。古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，来自现实生活的数学问题集。莱茵德纸草书（1858年为苏格兰收藏家莱茵德购得，现藏伦敦大英博物馆，主体部分由84个数学问题组成，其中还有历史上第一个尝试“化圆为化”的公式）。莫斯科纸草书（1893年由俄国贵族戈列尼雪夫购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆，包含了25个数学问题）。数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。

7、2.2 古代巴比伦的数学背景：古代巴比伦简况两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。（1）古巴比伦王国：公元前1894前729年。汉穆拉比（在位前 1792前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的汉穆拉比法典。（2）亚述帝国：前8世纪前612年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩苏尔市）。（3）新巴比伦王国：前612前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604前562年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之一的巴比伦“空中花园”。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、阿苔密斯神殿、摩索拉

8、斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，是古代西方人眼中的全部世界，而中国的长城距他们太远了。公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538年灭亡了新巴比伦王国。了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今已有约50万块泥版出土。现在泥版文书中大约有300多块是数学文献：以60进制为主的楔形文记数系统，长于计算，发展程序化算法的熟练技巧（开方根），能处理三项二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面积公式，棱柱、方锥的体积公式。泥版楔形文，普林顿322（现在美国哥伦比亚大学图书馆，年代在公元前1600年以前，数论意义：整勾股数）。2

9、.3 西汉以前的中国数学史记夏本纪大禹治水（公元前21世纪） 中提到“左规矩，右准绳”，表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。1952年在陕西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻画的符号中，有一些符号就是表示数字的符号。在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国已经使用了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。殷墟甲骨上数学（商代，公元前1400前1100年，19831984年间河南安阳出土）。算筹（1971年陕西千阳县西汉墓出土）是中国古代的计算工具，它的起源大约可上

10、溯到公元前5世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数（约公元前300年）。怎样用算筹记数呢？公元34世纪成书的孙子算经记载说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”为了避免涂改，在唐代以后，我国又创用了一种商业大写数字，又叫会计体：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前455前395年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典

11、法经（现已失传）中已应用了负数。最后给一首数字诗，取自宋朝理学家邵康节（公元10111077年，中国占卜界的主要代表人物）写的一首诗，描绘像花园一样美丽的地方，一幅朴实自然的乡村风俗画，宛如一副淡雅的水墨画：一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。思考题1、您对数学史课程的期望。2、谈谈您的理解：数学是什么?3、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。4、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。2古代希腊数学主要内容：论证数学的发端，亚历山大学派，古希腊数学的衰落家，简述11位哲学家或科学家的数学工作。恩格斯指出：“没有希腊的文化和罗马帝国奠定的基础，没没有现代的欧洲。

12、”背景：古希腊的变迁古希腊地图。希腊时期（公元前11世纪前3世纪）：分为爱奥尼亚时期和雅典时期。爱奥尼亚时期：公元前11世纪前6世纪，其中公元前11世纪前9世纪希腊各部落进入爱琴地区，公元前9前6世纪希腊各城邦先后形成，前776年召开了第一次奥林匹克运动会，标志着古希腊文明进入了兴盛时期。希波战争（前499前449年）以后，雅典成为希腊的霸主。雅典时期：公元前6前3世纪，伯罗奔尼撒战争（前431前404年，雅典及其同盟者与以斯巴达为首的伯罗奔尼撒同盟之间的战争），希腊各城邦陷入混战之中。马其顿帝国崛起：前6世纪前323年。马其顿位于希腊的北部，处于希腊文明的边缘，被希腊人视为蛮族。公元前4世纪

13、起马其顿逐渐成为希腊北部的重要国家，正当希腊的城邦在经历将近100年的内战之后都精疲力竭的时候，马其顿的菲利普二世（公元前382前336年）把整个希腊统一于其统治之下，前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位。前334年，亚历山大（公元前356前323年）率大军渡海东征，拉开了征服世界的序幕。亚历山大最大的敌人是强大的波斯帝国，他先后从波斯人手中夺取了叙利亚和埃及，攻下巴比伦，波斯帝国灭亡。前323年，亚历山大病死，他庞大的帝国也随之分裂，古希腊历史结束。但在帝国扩张的过程中将希腊文明传播至东方，史称希腊化时代。希腊化时期（公元前3世纪公元7世纪）：分为亚历山大时期和亚历山大后期。亚历山大时期

14、：公元前323前30年，前48前30年凯撒、屋大维侵占埃及。亚历山大后期：公元前30公元640年，公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书。罗马帝国：公元前27公元395年（公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷，现为土耳其的伊斯坦布尔），西罗马帝国：公元395公元476年（为日尔曼人所灭），东罗马帝国：公元395公元1453年（610年改称拜占廷帝国，为奥斯曼土耳其人所灭）。本讲分三节介绍：古典时期的希腊数学、亚历山大学派时期、希腊数学的衰落。1、古典时期的希腊数学公元前600前300年。1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）：泰勒斯（公元前625前547年），出生于爱奥尼亚的米利都城，早年经商，被称为

15、“希腊哲学、科学之父”。哲学：万物源于水，即“水生万物，万物复归于水”。其思想的影响是巨大的，在他的带动下，人们开始摆脱神的束缚，去探索宇宙的奥秘，经过数百年的努力，出现了希腊科学的繁荣。泰勒斯首创之功，不可磨灭。数学：创数学命题逻辑证明之先河，希腊几何学的鼻祖，最早留名于世的数学家，证明了一些几何命题，如“圆的直径将圆分为两个相等的部分”，“等腰三角形两底角相等”，“两相交直线形成的对顶角相等”，“如果一个三角形有两角、一边分别与另一个三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等”，“半圆上的圆周角是直角”（泰勒斯定理），测量过金字塔的高度。预报了公元前585年的一次日食。1.2 毕达哥拉斯

16、学派：毕达哥拉斯（约公元前560前480年），出生于小亚细亚的萨摩斯岛，与中国的孔子（公元前551前479年）同时，曾师从爱奥尼亚学派，年青时曾游历埃及和巴比伦，在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。哲学（，智力爱好）：万物皆为数。没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物，宣称宇宙万物的主宰者用数来统御宇宙，试图通过揭示数的奥秘来探索宇宙永恒的真理。数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派， “毕达哥拉斯定理”，完全数（等于除它本身以外的全部因子之和，如6，28，496，）、亲和数（一对数，其中每一个数除它本身以外的所有因子之

17、和是另一个数，如220，284），正五角星作图与“黄金分割”（正五角星是该学派的标志，正五角星相邻两个顶点的距离与其边长之比，或简单说正五边形边长与其对角线之比，正好是黄金比），发现了“不可公度量”，困惑古希腊的数学家，出现的逻辑困难史称“第一次数学危机”。希波战争以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，可谓哲学盛行、学派林立、名家百出。雅典古卫城最宏伟、最精美、最著名的建筑是为敬奉城市庇护女神雅典娜建造的“帕提农神庙”（也称“巴台农神庙”，建造于公元前447前432年），其中应用了一些数学原理。雅典时期：开创演绎数学。1.3 伊利亚学派：芝诺（约公元前490前43

18、0年），出生于意大利南部半岛的伊利亚城邦，毕达哥拉斯学派成员的学生。芝诺悖论：两分法，运动不存在。再由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，即不可能在有限的时间内通过无限多个点，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。阿基里斯（荷马史诗依里亚特中的希腊名将，善跑）、飞矢不动。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。1.4 诡辩学派（智人学派）：活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，代表人物均以雄辩著称，诡辩的希腊原词含智慧之意，故亦称智人学派。古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。安蒂丰（约

19、公元前480前411年），有关他的生平至今没有确切的定论，只知他在雅典从事学术活动，是智人学派的代表人物，在数学方面的突出成就是用“穷竭法”讨论化圆为方问题。他从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍到正八边形、正十六边形、持续重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合，既然通常能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么就能作出等于一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方问题，但安蒂丰却因此成为古希腊“穷竭法”的始祖。希腊人对三大作图问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。1855年，法国科学院拒绝再审查化圆为方问

20、题的解。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。如1882年林德曼（德，18521939年）证明了数的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能性。1.5 柏拉图学派：柏拉图（约公元前427前347年），出生于雅典的显贵世家，曾师从毕达哥拉斯学派，哲学家苏格拉底（公元前469前399年）的学生。作为一名哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响，特别是他的认识论、数学哲学和数学教育思想，后人将分析法和归谬法归的使用归功于柏拉图，在古代希腊社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用。代表作理想国。柏拉图说：“上帝按几何原理行事

21、”，“不懂几何者免进”，认为打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形，发展了用演绎逻辑方法系统整理零散数学知识的思想。柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，公元前387年以万贯家财在雅典创办学院，讲授哲学与数学，直到529年东罗马君王查士丁尼下令关闭所有的希腊学校才告终止。意大利文艺复兴三杰之一拉斐尔桑蒂（14831520年）的壁画：雅典学院（创作于15091510年）。古希腊最著名的哲学家、科学家：亚里士多德（公元前384前322年）（乌拉圭，1996），柏拉图的学生。1.6 亚里士多德学派（吕园学派）：出生于马其顿的斯塔吉拉镇，公元前335年建立了自己的学派，讲学于雅典的吕园，又称“

22、吕园学派”，相传亚里士多德还做过亚历山大大帝的老师。“吾爱吾师，吾尤爱真理”。集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，创立了独立的逻辑学，堪称“逻辑学之父”，“矛盾律”、“排中律”成为数学中间接证明的核心，努力把形式逻辑的方法运用于数学的推理上，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。1207年亚里士多德的著作全部被译成拉丁文。13世纪由托马斯阿奎那（意，12251274年）建立了经院哲学，对亚里士多德哲学稍加篡改用来适应基督教教义，试图从哲学上以理性的名义来论证上帝的存在。希腊化时期的数学（公元前300公元600年

23、）。亚历山大去世后，帝国一分为三：安提柯王朝（马其顿）、托勒密王朝（埃及）、塞琉古王朝（叙利亚）。亚历山大灯塔（匈牙利，1980）。亚历山大城现在是埃及最大的海港城市。邮票中的主图是世界古代七大奇观之一的亚历山大（法罗斯）灯塔，建于托勒密王朝鼎盛时期的公元前285前247年，建成的灯塔高达117米，1375年的一次猛烈地震，灯塔全毁，法罗斯岛连同附近海岸地区慢慢沉入海底，千古奇观从此烟消云散。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，那是古代西方人眼中的全部世界，而中国的长城距他

24、们太远了。2、亚历山大学派时期公元前300前30年。托勒密（托勒密索特尔，约前367前283年）统治下的希腊埃及，定都于亚历山大城，于公元前300年左右，开始兴建亚历山大艺术博物馆和图书馆，提倡学术，罗致人才，进入了亚历山大时期：希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。2.1 欧几里得（公元前325前265年）早年学习于雅典，公元前300年应托勒密一世之请来到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，他的公理化思想和方法历尽沧桑而流传千古，成为后人难以跨跃的高峰。“几何无王者之道”，后推广为：

25、“求知无坦途”。原本（意指：学科中具有广泛应用的最重要的定理）。13卷：第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理（世界最早、完整、严格的证明）、初等作图法等；第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积等；第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切；第五、六卷：比例论与相似形；第七、八、九、十卷：数论；第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思想的来源。采用了亚里士多德对公理、公设的区分，由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成了历史上第一个数学公理体系。5公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是

26、全等的；（5）整体大于部分。5公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不断延长；（3）以任意中心和直径可以画圆；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交。原本是数学史上第一座理论丰碑，确立了数学的演绎范式，正如英国著名哲学与数学家罗素（18721970年）说过：“欧几里得的原本毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一”。它也成为科学史上流传最广的著作之一，仅从1482年第一个拉丁文印刷本在威尼斯问世以来，已出了各种文字的版本1000多个。存在缺

27、陷，定义借助直观，公理系统不完备。2.2 数学之神：阿基米德（公元前287前212年）与牛顿（英，16421727年）、高斯（德，17771855年）并列有史以来最伟大的三大数学家之一，出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大城师从欧几里得的门生。“给我一个支点，我就可以移动地球”。最为杰出的数学贡献是，在圆的度量中，发展了200年前安蒂丰的穷竭法，用于计算周长、面积或体积，通过计算圆内接和外切正96边形的周长，求得圆周率介于310/71和31/7之间（约为3.14），这是数学史上第一次给出科学求圆周率的方法，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。阿基米德螺线，一位应用数学家，阿基

28、米德之死（在保卫叙拉古的战斗中被罗马士兵所杀）。墓碑上是阿基米德最引以为豪的数学发现的象征图形：球及其外切圆柱。2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262前190年），出生于小亚细亚的珀尔加，年青时曾在亚历山大城跟随欧几里得的门生学习，贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线论，以欧几里得严谨风格写成的传世之作圆锥曲线，是希腊演绎几何的最高成就，用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些主要结论，确实令人惊叹，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。圆锥曲线全书共8卷，含487个命题。克莱因（美，19081992年）：

29、它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。贝尔纳（英，19011971年）：他的工作如此的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。3、希腊数学的衰落公元180年前后的罗马帝国版图。公元前6世纪，在意大利半岛的台伯河畔，有一座罗马城逐渐建立起来。公元前509年，罗马建立了共和国。古罗马经过多个世纪的战争，时分时合多次。公元前27年，罗马建立了元首政治，共和国宣告灭亡，从此进入罗马帝国时代。在公元前1世纪完全征服了希腊各国而夺得了地中海地区的霸权，建立了强大的罗马帝国。1世纪

30、时，罗马帝国继续扩张，到2世纪，帝国版图确定下来，它地跨欧、亚、非三洲，地中海成了它的内湖。传统的史学家把公元前27年到公元284年称为早期罗马帝国。进入晚期罗马帝国时期，帝国在战乱中于395年由最后一个君主提奥多正式把帝国分为两部分，西部以罗马为首都分给了长子阿卡狄（称为西罗马帝国），东部以君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布尔）为首都分给了次子贺诺里（称为东罗马帝国）。476年，西罗马帝国皇帝被日耳曼人废掉，西罗马帝国灭亡，西欧奴隶制社会的历史结束了，从此进入了封建社会时期。古罗马斗兽场 （建于公元7082年）。西班牙古罗马高架引水桥（建于公元1世纪末2世纪初）高架引水桥从遥远的雪山引水到阿尔卡

31、萨城堡，全长15公里，有166个拱门，它由2万多块大石头堆砌而成，石块间没有任何水泥等灰浆类物质黏合，至今仍能坚固完好，实在令人叹为观止。据说，这座已经1900岁引水桥的引水功能，直到1950年还在使用呢！如今它是塞哥维亚的标志性建筑。罗马帝国的建立，唯理的希腊文明从而被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对自由研究的宽松态度，在相当长一段时间内亚历山大城仍然维持学术中心的地位，产生了一批杰出的数学家和数学著作。从公元前30年公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。3.1 托勒密（埃及，90165年），在亚历山大城工作，最重要的著作是天文学大成（至大论）13卷第一、二卷：地心体系的基本轮廓；第三卷：太阳运动；第四卷：月亮运动；第五卷：计算月地距离和日地距离；第六卷：日食和月食的计算；第七、八卷：恒星和岁差现象；第九十三卷：分别讨论五大行星的运动，本轮和均轮的组合在这里得到运用。提出地心说而成为整个中世纪西方天文学的经典。大成中总结了在他之前的古代三角学知识，其中最有意义的贡献是包含有一张正弦三角函数表，这是历史上第一个有明确的构造原理并流传于世的系统的三角函数表。三角学的贡献是