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1、高等数学第六版同济版第十一章复习资料 第十一章 曲线积分与曲面积分 引入：在上一章中，我们研究了二元函数在平面有界闭区域上的二重积分和三元函数在空间有界闭区域上的三重积分，我们知道：重积分的计算都可以化成定积分来完成.这一章给大家介绍二元函数在平面曲线上的平面曲线积分、三元函数在空间曲线上的空间曲线积分以及三元函数在空间曲面上的曲面积分，这些积分的计算可由定积分或重积分来完成 第一节 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的相关概念 1.引例：曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所处的位置在平面内的一段曲线弧上，它的端点为 ，曲线弧上任一点的线密度为，求曲线形构件的质量 (1). 大化小

2、：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段， 第个小弧段的质量为，则 (2). 常代变：记小弧段的长度为si，在小弧段上任取一点，则有 ， (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有 抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对弧长的曲线积分 2. 对弧长的曲线积分的定义：设函数在平面上的一条光滑曲线上有界，在上任意插入个点将分成个小弧段，设第个小弧段的长度为si，在其上任取一点，作乘积，有和 ， ，当时，若极限总存在，则称此极限值为函数 曲线弧对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即 ， 其中叫做被积函数，叫做积分弧段，叫做弧长微元. 注： 1.若函数在曲线弧上连续

3、，则曲线积分存在 2.第一类曲线积分与积分弧段的方向无关，即事实上： ， ， . 段的长si与曲线弧的方向无关，恒为正值 3. 定积分不是第一类曲线积分的特例，因为 的方向有关 4. 若是闭曲线，则在上的第一类曲线积分为： 5. 若，且积分弧段的长为，则 6. 可推广：三元函数在空间曲线上的第一类曲线积分： 3. 物理意义：可求长的物质曲线的质量，即在引例中， 二、对弧长的曲线积分的性质：假设各个曲线积分都存在 1. 线性性质：设、是常数，则 2.积分弧段的可加性：若积分弧段可以分成两段光滑曲线弧和，则 3.不等式性质：若在上，则. 4. 绝对值不等式性质： 三、对弧长的曲线积分的计算：化曲线

4、积分为定积分 定理：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为： 且，则曲线积分存在，、在 且 注： 1.若曲线弧的方程为，则的方程为：，有 2.若曲线弧的方程为 ，则的方程为：，有 3.可推广：若空间曲线弧的参数方程为 ，则 例1.计算 ，其中是抛物线上点与点之间的一段弧 ， 解：由于曲线弧的参数方程为 因此 例2. 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度). 解：建立坐标系如图，则所求转动惯量 ，于是 取的参数方程为 . 例3.计算曲线积分，其中为螺旋线、 于从到的一段弧. 解： . 第二节 对坐标的曲线积分 一、 对坐标的曲线积分的相关概念 1. 引例: 变力沿曲线所作

5、的功 设一质点受变力的作用,在平面内从点沿光滑曲线弧移动到点其中和在上连续，求移动过程中变力所作的的功. (1). 大化小：在曲线弧任取一组点将分成个小弧段， 变力沿第个小弧段所作的功为，则 (2). 常代变：有向小弧段可用有向线段来代替 在小弧段上任取一点，则有 ， (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小弧段的长度的最大值，有 抽取这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲线积分 2. 对坐标的曲线积分的定义：设函数、在平面内的从点到点的一条有向光滑曲线弧上有界，在上沿的方向任意插入个点 将分成个有向小弧段()， ，在其上任取一点，作乘积与 和式与，当个小弧段的直径最大值

6、时， (1). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧 的曲线积分，记作 (2). 若极限总存在，则称此极限值为函数在有向曲线弧 的曲线积分，记作 其中、叫做被积函数，叫做积分弧段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分，有时也写成 注： 1.若、在上都连续，则对坐标的曲线积分、都存在 2.若为空间曲线弧 , 则有 3.对坐标的曲线积分的物理意义：变力沿曲线所做的功 二、对坐标的曲线积分的性质 1. 线性性质：设、是常数，则 2.积分曲线的可加性：若有向曲线弧段可以分成两段光滑的有向曲线弧和，则 3.方向性： 记表示的反向弧，则. 注：定积分是对坐标的曲线积分的特例 三、对坐标的曲线积分的计

7、算：化曲线积分为定积分 定理：设函数、在有向曲线弧上有定义且连续，的参数方程为： 当参数单调的由变到时，点从的起点运动到终点.、在或且，则曲线积分存在， 且 注： 1.与的大小不定，与积分曲线弧的方向有关 2.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有 其中参数对应的起点，对应的终点 3.若曲线弧的方程为，则的参数方程为：，有 其中参数对应的起点，对应的终点 4.可推广：若空间有向曲线弧的参数方程为，则 ， 其中对应的起点，对应的终点. 四、两类曲线积分之间的联系 设函数、在有向曲线弧上连续，的参数方程为：，起点 终点分别对应参数和，假设.、在 ，则对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系为：

8、 ， 其中、是曲线弧的切向量的方向余弦. 推导：由对坐标的曲线积分的计算公式，有 ， 又曲线弧的切向量的方向余弦为 ， ， 由对弧长的曲线积分的计算公式，有 ， 从而有 注：可推广到两类空间曲线积分之间的联系： 例1.计算，其中为抛物线上从点到点的一段弧 解法(一)：取为参数，则， ，；，, 于是 . 解法(二)：取为参数，则，,于是 . 例2.计算，其中为： (1).半径为、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周； (2).从点沿轴到点的直线. 解： (1). 取的参数方程为：，于是 . (2). 的方程为：，于是 例3.计算，其中为： 注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲

9、线积分值可以不同 (1).抛物线上从到的一段弧； (2).抛物线上从到的一段弧； (3).有向折线，这里、依次是点，. 解： (1). 的方程为：，于是 (2). 的方程为：，于是 (3). ，；，, 于是 注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以相同. 例4.计算，其中是从点到点的直线段 解：直线段 ，化为常数方程得，于是 第三节 格林公式及其应用 引入：在一元函数积分学中，我们知道牛顿莱布尼兹公式 分和原函数(不定积分)联系起来，这节课我们来学习联系二元函数分的公式格林公式，通过它可以把平面有界闭区域D上的二重积分和区域D的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、格林

10、公式 1.单连通区域：若平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都属于，则称D 区域，否则称为复连通区域 注：单连通区域就是不含洞或点洞的区域，复连通区域就是含洞或点洞的区域. 2.闭曲线的正向：若观察者沿平面区域的边界曲线的某一方向行走时， 区域D在他近处的那部分总在他左侧，则称这一方向为曲线的正向. 3.格林公式： 定理：设闭区域D由分段光滑的曲线围成，若函数及在D 偏导数，则有，其中是的取正向的边界曲线 注： 1.对于复连通区域，格林公式右端曲线积分应为沿区域的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向 2.若，则有平面闭区域D的面积公式 .这是因为 3.若取负向，则有. 例1.求椭

11、圆所围成图形的面积. 解：由格林公式有 . 例2.设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明 证明：令 ，于是 例3.计算，其中是以，为顶点的三角形闭区域 解：令 ，于是 . 例4. 计算 ，其中是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， 方向为逆时针方向 解：记闭曲线所围成的区域为D，当时，有 ， . (1).当时，由格林公式得 (2).当时，以原点为心、以适当小的作位于D内的圆周.记和所围成的闭区域为 对复连通区域应用格林公式，有从而有 ，即 ,其中的方向为逆时针方向. 设的参数方程为，参数从到，于是 . 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 定理2.若函数、在单连通区域 互等价： (1).沿

12、区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点 . 注：已知，则可按如下公式求出： 或 推导：由于 与路径无关， 取，有 取，有 例5 在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数. 解：令， 有 ，从而 是某一函数的全微分，且曲线积分 与路径无关.取积分路径如图，则 . 例6.验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数. 解：令， 有 ，从而在整个平面内 是某一函数的全微分 求法(一)：由于曲线积分与路径无关.取积分路径如图，则 . 求法(二)：因为满足 ，

13、从而有，其中是的待 ，又已知面，故，即，于是， . 第四节 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的相关概念 1.引例：曲面形构件的质量 假设曲面形构件在空间所处的位置是一张有界光滑曲面上，其上任一点的面密度为，求这曲面形构件的质量 (1). 大化小：将曲面片任意分成个小曲面块，第个小曲面块 ，则 (2). 常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取一点，则有 ， (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小曲面块的长度的最大值，有 抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对面积的曲面积分 2.光滑曲面：若曲面上各点处都有切平面，且当点在曲面上连续移动时， 动，则称为光滑曲面 3.

14、对面积的曲面积分的定义：设函数在空间光滑曲面上有界，把任意分成块小曲面，也记是第块小曲面块的面积，在上任取一点，作乘积，有和式，记为 限总存在，则称此极限值为函数在曲面 或第一类曲面积分，记作，其中 叫做积分曲面 注： 1.若在光滑曲面上连续，则曲面积分存在 2.对面积的曲面积分与积分曲面的方向无关，因为总为正数. 3.对面积的曲面积分的物理意义：物质曲面的质量 二、对面积的曲面积分的性质 1.线性性质：设为常数，则 . 2.积分曲面的可加性：若分片光滑曲面分成两片光滑曲面和，则 . 三、对面积的曲面积分的计算 定理：设光滑曲面：在面上的投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续

15、，则对面积的曲面积分 且 注：若的方程为，则 若的方程为，则 例1.计算 ，其中是球面被平面截出的顶部. 解：的方程为，在面上的投影区域Dxy为 圆域：，又 ，于是 ， 设，则Dxy：，故 . 例2.计算，其中是由平面及 界曲面 解：设，则，于是 ， 由于在、以及上被积函数，故 面上的投影区域为： ，在的方程为： ，于是 且 . 第五节 对坐标的曲面积分 一、有向曲面的相关概念 1.双侧曲面：在光滑曲面上任取一点，过点的法线有两个方向，选定一个方向为正向，当动点在曲面上连续变动时，法线也连续变动.若动点从出发沿着曲面上任意一条不越过曲面边界的封闭曲线又回到时，法线的正向与出发时的正向相同，则称

16、为双侧曲面，否则称为单侧曲面 注：单侧曲面的典型例子：莫比乌斯带 2.有向曲面：称曲面的法向量指向的一侧为曲面取定的侧，称取定侧的曲面为有向曲面. 3.方向不同的曲面在坐标面上的投影面积 在有向曲面上任取一小块曲面，在面上的投影区域的面积为 上各点处的法向量与z轴的方向余弦不变号.规定在面上的投影 注：规定曲面的上侧、前侧、右侧为正侧. 二、 对坐标的曲面积分的相关概念 1.引例: 稳定流体通过曲面一侧的流量 设稳定流动且不可压缩的流体(假定密度为1)的流速场为 ， 求在单位时是流速场中的一片曲面. 函数、以及在上连续，间内流向指定侧的流体的质量，即流量 (1).简单情形：是以平面区域，面积为

17、，流体在上各点的流速为常向量 设为的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为、斜高为的斜柱体 当时，斜柱体的体积为，从而通过流向 流量为 当时，显然通过流向所指一侧的流量为，即 当时，有，仍称之为流体通过流向 它是流体通过闭区域流向所指一侧的流量 因此，无论为何值，流体通过流向所指一侧的流量均为 (2). 一般情形：流体在空间光滑曲面上各点的流速是变化的. 大化小：将曲面片任意分成个小曲面块， 也记第个小曲面块的面积为 常代变：记小曲面块的面积为，在小曲面块上任取 一点，用该点处的流速 代替上其它各点处的流速，以曲面在该点处的单位法向 代替上其它各点处的单位法向量，从而得到

18、通过流向指定侧的流量为 (3). 近似和： (4). 取极限：令为个小曲面块的直径的最大值，有 抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲面积分 2. 对坐标的曲面积分的定义：设函数、以及在有向光滑曲面上有界，把任意分成个块小曲面块，也记第个小曲面块的面积为. 在面上的投影为；在面上的投影为；在面上的投影为 在小曲面块上任取一点，作乘积、 ，有和式、 当个块小曲面块的直径最大值时， (1). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面 标、z的曲面积分，记作 (2). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面 标z、的曲面积分，记作 (3). 若极限总存在，则称此极限值为在有向曲面

19、标、的曲面积分，记作 其中、以及叫做被积函数，叫做积分曲面. 以上三个积分也称为第二类曲面积分，有时也写成 ， 注： 1.若、以及在有向光滑曲面上连续，则曲面积分 、 都存在 2. 对坐标的曲面积分的物理意义：流过有向曲面的流体的流量： 三、对坐标的曲面积分的性质 1.对积分曲面的可加性：若有向光滑曲面可以分成两片光滑的有向曲线弧和，则 2.积分曲面的方向性：记表示的反向曲面，则 . 四、对坐标的曲面积分的计算：化曲线积分为定积分 定理：设有向光滑曲面：在面上投影区域为，且函数在上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则对坐标的曲面积分 在，且，其中由曲面的正侧外法线与z 向余弦的符号决定，时取

20、号，时取号 注：若的方程为，则 若的方程为，则 五、两类曲面积分之间的联系： 设有向光滑曲面：在面上投影区域为Dxy，且函数在Dxy上具有一阶连续偏导数，若函数在上连续，则两类曲面积分之间的联系为： ， 同理也有， 其中、为有向曲面上点处法向量的方向余弦，因此两类曲面积分之间的联系为： . 推导：由对坐标的曲面积分的计算公式，有 曲面的法向量的方向有向为 ， ， 由第一类曲面积分的计算公式，有 ， 从而 同理可证 ， 于是 例1.计算曲面积分，其中是长方体 . 解：把有向曲面分为如下六部分： 的上侧；的下侧； 的前侧；的后侧； 的右侧；的左侧 先计算：除了、在面上的投影为外， 在面上的投影为零

21、，因此 ， 同理可得，于是 . 例2.计算曲面积分，其中是球面外侧在的部分 解：把分成两部分和两部分，其中 的上侧； 的下侧 且和在面上的投影区域都是 从而 ， 设，则 ，于是 ， 令，则，当时，；时， 从而 例3.计算曲面积分，其中是旋转抛物面： 及之间的部分的下侧 解：由两类曲面积分之间的联系，有 . 在曲面上，有，故 又由于在面上的投影区域为，于是 ， 设，则，于是 . 第六节 高斯公式 引入：前面我们学习了格林公式，知道通过格林公式可以将平面有界闭区域上的二重积分与其边界上的曲线积分联系起来，作为格林公式得推广，下面介绍高斯公式(也叫奥高公式，全称奥斯特洛夫斯基高斯公式)，通过高斯公式

22、，可以将空间有界闭区域上的三重积分与其边界闭曲面上的曲面积分联系起来. 一、高斯公式 、定理：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，若函数 在上具有一阶连续偏导数，则有， 或 其中是的外侧曲面，是上点处的法向量的方向余弦. 注：若，则闭曲面所围成的闭区域的体积 . 例1.利用高斯公式计算曲面积分，其中为柱面 面、所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧. 解：由， ，由高斯公式得 ， ， 设，则，于是 . 例2. 利用高斯公式计算曲面积 ，其中为锥面 介于平面、之间部分的下侧，是上点处的法向量的方向余弦 解：设为平面的上侧，则和一起构成一个封闭曲面，围成区域. ，其中，有 ，. ， 由高斯公式，

23、 .在面上的投影区 域为，从而有 ， 由于 ，再设，则. . 而 ， 于是 二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1.空间二维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲面所围成的区域全属于，则称为空间二维单连通域 空间一维单连通区域 :若空间区域内任一闭曲线总可以张成一片全属于的曲面， 为空间一维单连通域 注：球面所围区域既是一维也是二维单连通区域 ； 环面所围区域是二维但不是一维单连通区域； 两个同心球之间的区域是一维但不是二维单连通区域. 2.闭曲面积分为零的充要条件 定理：在空间二维单连通区域由分片光滑的闭曲面所围成，设函数、 在空间二位单连通区域内具有一阶连续偏导数，为 积分 在内恒成立. 第

24、七节 斯托克斯公式 引入：斯托克斯公式是格林公式另一推广，通过斯托克斯公式，可以将曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线上的曲线积分联系起来. 一、斯托克斯公式 定理：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的正侧符合右手规则.若函数、在连同上具有一阶连续偏导数，则有 ， . 或 也有 ， . 其中是上点处的法向量的方向余弦 例1.利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中为平面 标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解：由， ,，,， 设由曲线所围成的曲面为，由斯托克斯公式得 ， 其中、以及Dxy分别为在、以及坐标面上的投影区域 例

25、2. 利用斯托克斯公式计算曲线积分，其中 用平面 截立方体的表面所得的截痕，若从 轴的正向看去，取逆时针方向 的上侧被所围成的部分，的单位法向量为， 解：取为平面 即 ，由，由斯托克斯公式，有 ，其在面上的投影为Dxy，其面积为，且 又的方程为 ，于是 . 二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理：若函数、以及在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题相互等价： (1).沿区域内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有 (2).曲线积分与路径无关，只与位于内的起点和终点有关 (3).在内存在一个函数,它的全微分为，即. (4).对内任意一点 ，. 例3. 验证曲线积分与路径无关，并求出函数 解： ， 所以曲线积分与路径无关，因此