初中锐角三角函数知识点总结.docx

1、初中锐角三角函数知识点总结锐角三角函数及其应用 榆林第六中学 高启鹏 一、锐角三角函数中考考点归纳 考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在 RtABC中， C为直角，则 A为 ABC中的一锐角，2、特殊角的三角函数值1）图表记忆法三角 角函数 角 三角 值 函数300045600sina123222cosa321222tana3313（2）规律记忆法： 30、45、 60角的正弦值的分母都是 2， 子依次为 1、 2 、 3 ；30、45、60角余弦值恰好是 60、45 30角的正弦值。（3）口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比 二，切比三，分子根号不

2、能删”前三句中的 1，2， 3；3， 2，1；3，9，27，分别是 30， 45， 60角的正弦、余弦、正切值中分 子根号内的值弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为 2，正切的分母为 3最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能 丢掉如 tan60 = 27 3，tan45 = 9 1这种方法有趣、简单、 33易记考点二、解直角三角形 1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程， 叫做解直角三角形。2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点三、锐角三角函数的实际应用（ 高频考点 ）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方 的角叫仰角

3、，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度 h和水平宽度 l 的比叫坡度（坡比），用字 母i 表示；坡面与水平线的夹角 叫坡角，i tan h l方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90的锐角叫做方向角注意：东北方向指北偏东 45方向，东南方向指南偏 东 45方向，西北方向指北偏西 45方向，西南方向指南 偏西 45方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右 东二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现 .例 1、（2016? 陕西）已知抛物线 y=x22x+3与 x 轴交于 A、 B两点，将这 条抛物线的顶点记为 C，连接 AC、BC，则 t

4、an CAB的值为（ ）A B C D2【考点】 抛物线与 x 轴的交点； 锐角三角函数的定义 【解析】先求出 A、B、C坐标，作 CDAB于 D，根据 tan ACD= 即可计算【解答】解：令 y=0，则x22x+3=0，解得 x=3或 1，不妨设 A（ 3，0）， B（1，0），22y=x22x+3=（ x+1）2+4，顶点 C（ 1，4），如图所示，作 CD AB于 D在 RTACD中， tan CAD= = =2，故答案为 D（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现 .例 2、（ 2016? 陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一 题计分A一个多边形的一个外角为 45，则

5、这个正多边形的边数是 8 B运用科学计算器计算： 3 sin73 52 11.9 （结果精确到 0.1 ） 【考点】 计算器三角函数 ；近似数和有效数字；计算器数的开方；多边 形内角与外角【解析】 （1）根据多边形内角和为 360进行计算即可；（ 2）先分别求得3 和 sin73 52的近似值，再相乘求得计算结果【解答】 解：（ 1）正多边形的外角和为 360 这个正多边形的边数为： 360 45=8（2）3 sin73 5212.3690.961 11.9故答案为： 8， 11.9例 3、（ 2015? 陕西）如图，有一滑梯 AB，其水平宽度 AC为 5.3 米，铅直高 度 BC为 2.8

6、米，则 A的度数约为 27.8 （用科学计算器计算，结果精 确到 0.1 ）【考点】 解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题 【解析】 直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可【解答】 解： tan A= = 0.5283 ， A=27.8， 故答案为： 27.8 【点评】本题考查了坡度坡角的知识， 解题时注意坡角的正切值 等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大例 4、（2014? 陕西） 用科学计算器计算： +3tan56 10.02 （结果精确到 0.01 ）考点】 分析】 解答】计算器三角函数；计算器数的开方 先用计算器求出 、 tan56的值，再计算加减运解： 5.5678 ， tan56

7、1.4826，则 +3tan56 5.5678+31.482610.02 故答案是： 10.02 【点评】 本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到0.01例 5、（2014? 陕西）如图，在正方形 ABCD中， AD=1，将 ABD 绕点 B顺时针旋转 45得到 ABD，此时 AD与 CD交于点 E，则 DE的长度为2【考点】 旋转的性质【分析】 利用正方形和旋转的性质得出 AD=A E，进而利用 勾股定理得出 BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出 DE的长 即可【解答】 解：由题意可得出： BDC=45 ， DA E=90， DEA =45，AD=AE，在正方形 ABCD中， AD=1

8、，AB=AB=1， BD= ，AD= 1，在 RtDAE 中，DE= =2 故答案为： 2 点评】 此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出 AD的长是解题关键（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例 6、（12 分）（2015? 陕西）如图，在每一个四边形 ABCD中，均有 ADBC，CDBC， ABC=60， AD=8，BC=12（1）如图，点 M是四边形 ABCD边 AD上的一点，则 BMC的面积为 24 ； （ 2）如图，点 N是四边形 ABCD边 AD上的任意一点，请你求出 BNC周长 的最小值；（ 3）如图，在四边形 ABCD的边 AD上，是否

9、存在一点 P，使得 cosBPC的【考点】 四边形综合题 .【专题】 综合题【解析】（ 1）如图，过 A 作 AEBC，可得出四边形 AECF为矩形，得到 EC=A，D BE=BC EC，在直角三角形 ABE中，求出 AE的长，即为三角形 BMC的高，求 出三角形 BMC面积即可；（2）如图，作点 C关于直线 AD的对称点 C，连接 CN，C D，CB 交 AD于点 N，连接 CN，则 BN+NC=BN+NC BC=BN+CN，可得出 BNC 周长的最小值为 BN C的周长=BN+CN+BC=BC +BC，求出即可； （ 3）如图所示，存在点 P，使得 cos BPC的值最小，作 BC的中垂线

10、 PQ 交 BC于点 Q，交 AD于点 P，连接 BP，CP，作 BPC的外接圆 O，圆 O与直线PQ交于点 N，则 PB=PC，圆心 O在 PN上，根据 AD与 BC平行，得到圆 O与 AD 相切，根据 PQ=D，C判断得到 PQ大于 BQ，可得出圆心 O在BC上方，在 AD上 任取一点 P，连接 PB，PC，PB交圆 O于点 M，连接 MC，可得 BPC= BMC BPC，即 BPC最小， cosBPC的值最小，连接 OB，求出即可 【解答】解：（ 1）如图，过 A作 AEBC，四边形 AECD为矩形， EC=AD=，8 BE=BC EC=128=4，在 RtABE中， ABE=60， B

11、E=4， AB=2BE=，8 AE= =4 ，则 S BMC= BC? AE=24 ；故答案为： 24 ；（2）如图，作点 C关于直线 AD的对称点 C，连接 CN，C D，CB 交 AD于点 N，连接 CN，则 BN+NC=BN+NC BC=BN+CN， BNC周长的最小值为 BNC的周长=BN+CN+BC=BC +BC， ADBC，AEBC， ABC=60，过点 A 作 AEBC，则 CE=AD=，8 BE=4，AE=BE? tan60 =4 ， CC=2CD=2AE=8 ，BC=12， BC= =4 ， BNC周长的最小值为 4 +12；（ 3）如图所示，存在点 P，使得 cos BPC

12、的值最小，作 BC的中垂线 PQ交 BC于点 Q，交 AD于点 P，连接 BP，CP，作 BPC的外接圆 O，圆 O与直线 PQ交于点 N，则 PB=PC，圆心 O 在 PN上， ADBC，圆 O与 AD相切于点 P， PQ=DC=4 6，PQBQ， BPC90，圆心 O在弦 BC的上方，在 AD上任取一点 P，连接 PB，PC，PB 交圆 O于点 M，连接 MC， BPC= BMC BPC，BPC最大， cosBPC的值最小， 连接 OB，则 BON=2 BPN=BPC， OB=OP=4 OQ，在 Rt BOQ中，根据勾股定理得： OQ2+62=（4 OQ）2， 解得： OQ= ， OB=

13、， cosBPC=cosBOQ= = ， 则此时 cos BPC的值为 【点评】 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与 性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及 锐角三角函数定义 ，熟练掌握定理及性质是解本题的关键例 7、（10分）（2014 年陕西省）已知抛物线 C：y=x2+bx+c经过 A（ 3，0）和 B（ 0， 3）两点，将这条抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记 为 N（ 1）求抛物线 C的表达式；（ 2）求点 M的坐标；（3）将抛物线 C平移到 C，抛物线 C的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴 的交点记为 N如果以点 M、 N、M、 N为

14、顶点的四边形是面积为 16 的平 行四边形，那么应将抛物线 C怎样平移？为什么？新 课 标 xk b1. c om 【考点】 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】 （1）直接把 A（3，0）和 B（0，3）两点代入抛物线 y=x2+bx+c， 求出 b，c 的值即可；（ 2）根据（ 1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示需 要分类讨论解答】 解：（ 1）抛物线 y=x2+bx+c经过 A（3，0）和 B（ 0，3）两点，故此抛物线的解析式为： y=x2 2x+3

15、；（ 2）由（ 1）知抛物线的解析式为： y=x 2x+3，当 x= = =1 时， y=4，xKb 1.C omM（ 1，4）（3）由题意，以点 M、N、M、 N为顶点的平行四边形的边 MN的对边只能 是 M N， MNMN且 MN=MN MN? NN =16，NN=4例 8、（12 分） （2014 ? 陕西）问题探究（1）如图，在矩形 ABCD中，AB=3，BC=4，如果 BC边上存在点 P，使 APD 为等腰三角形， 那么请画出满足条件的一个等腰三角形 APD，并求出此时 BP 的长；（2）如图，在 ABC中， ABC=60， BC=12，AD是 BC边上的高， E、F 分 别为边 A

16、B、AC的中点，当 AD=6时，BC边上存在一点 Q，使 EQF=90，求 此时 BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形 ABCD，E 山庄保卫人员想在线 段 CD上选一点 M安装监控装置，用来监视边 AB，现只要使 AMB大约为 60 就可以让监控装置的效果达到最佳，已知 A=E=D=90， AB=270m， AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段 CD上是否存在点 M，使 AMB=60 ？【考点】 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股 定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的 位置关系；特殊角的三角函数值

17、菁优网版权所有【专题】 压轴题；存在型【分析】 （1）由于 PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用 三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题（2）以 EF为直径作 O，易证 O与 BC相切，从而得到符合条件的点 Q唯一 然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出 BQ长（ 3）要满足 AMB=60 ，可构造以 AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与 线段 CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的 三角函数值等知识，就可算出符合条件的 DM长【解答】 解：（ 1）作 AD的垂直平分线交 BC于点 P，如图， 则 PA=PDPAD

18、是等腰三角形四边形 ABCD是矩形， AB=DC， B= C=90PA=PD，AB=DC， RtABPRtDCP（HL）BP=CPBC=4，BP=CP=2以点 D 为圆心， AD为半径画弧，交 BC于点 P，如图， 则 DA=DPPAD是等腰三角形 四边形 ABCD是矩形， AD=BC，AB=DC， C=90AB=3，BC=4，DC=3，DP=4 CP= = BP=4 点 A为圆心， AD为半径画弧，交 BC于点 P，如图，则 AD=APPAD是等腰三角形 同理可得： BP = 综上所述：在等腰三角形 ADP中，若 PA=PD，则 BP=2；若 DP=DA，则 BP=4 ；若 AP=AD，则

19、BP= （2） E、F分别为边 AB、AC的中点， EFBC， EF= BCBC=12，EF=6以 EF为直径作 O，过点 O作 OQ BC，垂足为 Q，连接 EQ、FQ，如图 ADBC，AD=6， EF与 BC之间的距离为 3 OQ=3OQ=OE=3 O与 BC相切，切点为 Q EF为 O的直径， EQF=90过点 E 作 EGBC，垂足为 G，如图 EGBC，OQBC，EGOQEOGQ，EGOQ，EGQ=90 ， OE=O，Q 四边形 OEGQ是正方形GQ=EO=，3EG=OQ=3 B=60， EGB=90 ， EG=3， BG= BQ=GQ+BG=3+当 EQF=90 时， BQ的长为

20、3+ （3）在线段 CD上存在点 M，使 AMB=60 理由如下：以 AB 为边，在 AB的右侧作等边三角形 ABG，作 GPAB，垂足为 P，作 AK BG，垂足为 K设 GP与 AK交于点 O，以点 O 为圆心， OA为半径作 O， 过点 O作 OH CD，垂足为 H，如图则O是ABG的外接圆， ABG是等边三角形， GPAB，AP=PB=ABAB=270，AP=135ED=285，OH=285135=150 ABG是等边三角形， AKBG， BAK=GAK=30 OP=A?P tan30 =135=45 OA=2OP=90 OH340，DMCD点 M不在线段 CD上，应舍去若点 M在点

21、H的右边，则 DM=DH HM=400 45 30 400 45 30 340， DMCD点 M在线段 CD上综上所述：在线段 CD上存在唯一的点 M，使 AMB=60 ， 此时 DM的长为( 40045 30 )米 X|k | B| 1 . c |O |m【点评】 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、 正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线 定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、 特殊角的三角函数值 等知识， 考查了操作、探究等能力，综合性非常强而构造等边三角形及其外接圆是 解决本题的关键三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，

22、三角函数是学生在初中阶段第一次接 触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数 教学中容易出现的几种“错误”进行分析：1对应关系混淆【 1】如图 9，先进村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水2】如图 10，斜坡 AC的坡度（坡比）为 1: 3 ，AC10米坡 图 10顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B点与 A点有一条彩带 AB相连，AB14 米试求 旗杆 BC的高度 解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点 C作 CEAD于E，CE为铅直距离， AE为水平距离，即 CE：AE=1: 3。 tan CAE 1 3 ， CAE=30，解直角三角形 AEC

23、可得 CE=5（m）, AE= 5 3（m）,在 RtABE中， BE AB2 AE2 11（m）,BC=BE-CE=（6m） 错因分析： 本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别 与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。 四、锐角三角函数教法浅谈学生已经学习了三角形、相似三角形、勾股定理以及函数相关知识，为 学习锐角三角函数奠定基础的同时具备了一定的逻辑思维能力和推理能力 . 在学习过程中学生可能遇到一些困难，下面我将学生可能遇到的困难以及应 对措施叙述如下：困难：本节学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，学生很难想到 在直角三角形中，锐角的度数固定，它的对边

24、与斜边的比值也是固定的 .应对措施：采用由特殊到一般的方法展开讨论：在讨论直角三角形中， 30和 45角的对边与斜边的比为固定值的基础上讨论锐角为任意给定度数 的情形. 这种由特殊到一般的过渡，可以使学生有较多的机会体验：在直角三 角形中，当锐角度数一定时，这个锐角的对边与斜边的比值是一个固定值 . 这 为认识正弦函数的概念铺设了必要的台阶，从而水到渠成地概括给出正弦函 数的概念.困难：对正弦概念的理解 .学生能理解在直角三角形中， 当锐角固定时， 其对边与斜边的比值就固定， 但将这一过程与变化的过程联系起来有一困难，也就是与函数联系起来有一 定困难，因此对正弦概念的理解存在困难 .应对措施：在已有特殊角的经验之上结合几何画板直观演示，让学生从演 示的变化过程中体会：无论直角三角形的大小如何，每固定一个角度，都有唯一的一个比值与之相对应 . 从而建立直角三角形中锐角与比值之间的对应 关系. 在这个过程出巧妙地设计问题引导学生将新知与旧知（函数知识）联系起来，从而更好的理解锐角三角函数中正弦的概念. 欢迎您的光临， Word 文档下载后可修改编辑. 双击可删除页眉页脚 . 谢