正弦函数余弦函数的性质.docx

1、正弦函数余弦函数的性质三角函数正弦函数、余弦函数的性质教案 教学目标1掌握正弦函数、余弦函数的性质2通过学习正弦函数、余弦函数的性质，培养学生类比的学习方法和数形结合的思想教学重点与难点难点是函数的周期性重点是正弦函数的性质教学过程设计一、复习函数的性质以前我们对函数性质的研究主要有以下几个方面：函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等这里我们重点复习奇偶性、增减性及上节课讲的周期性（教师可打出投影片复习奇函数、偶函数的定义，函数单调性的定义及周期的定义）奇函数、偶函数的定义：若对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数；若对于函数定义域内任

2、意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）叫做偶函数函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数；如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数周期性的定义：对于函数y=f（x），T为不等于0的常数，若f（xT）=f（x）对于定义域内一切x都成立，则y=f（x）叫周期函数T为此函数的周期下面看几个例子例1 讨论y=ax2bxc（a0）的性质首先画出函数图象的示意图由图象

3、看出：定义域 xR无最大值奇偶性 b0时，是非奇非偶函数b0时，是偶函数大而减小例3 讨论ylogax（0a1）的性质画出函数图象示意图2，可看出：定义域 x0值域 yR最值 既无最大值，也无最小值奇偶性 是非奇非偶函数增减性 是减函数对称性 不具备对称性以上两个例子都是我们较为熟悉的函数，下面我们用这种方法研究我们刚刚学过的正弦函数和余弦函数的性质二、正弦函数的性质由上述两个例子不难看出在讨论函数性质时要注意观察函数图象，所以在研究正弦函数的性质前，先画出ysinx的图象（画此图象时，为了观察准确，应多画几个周期）从图象上可以观察出：1定义域：xR2值域：y-1，13周期性：正弦函数y=si

4、nx是周期函数2是它的最小正周期，2k（kZ，k0）都是它的周期4增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间引导学生从图象上先标出一个增区间，5最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一例取到最小值函数值取最值而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释6奇偶性：正弦函数的图象关于原点中心对称，从中可以看出正弦函数是奇函数这点可以用代数方法证明如下：设f（x）=sinx因为sin（-x）=-sinx，即f（-x）=-f（x），由奇函数定义知正弦函数是奇函数7对称性：从前面的讨论已经知道正

5、弦函数的图象是中心对称图形，但除原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢？（引导学生将y轴左移或右移7个单位，2个单位，3个单位，即平移k个单位）正弦函数图象的对称中心也可以是点（0，0），点（，0），点（2，0），即点（k，0），kZ再引导学生仔细观的，这是由它的周期性而来的在较为详细地研究了正弦函数的性质后，可以引导学生用类比的方法，写出余弦函数的性质，然后由教师给予订正二、余弦函数的性质画出ycosx图象1定义域：xR2值域：y-1，13周期性：余弦函数ycosx是周期函数，最小正周期为2T=2k（k0，kZ）都是它的周期4增减性：从余弦函数图象上可以看出，余弦函数在整个实数域上不具备

6、单调性但具有无数个单调区间，当x2k，2k（kZ）时，y随x的增大而减小；当x2k，22k（kZ）时，y随x的增大而增大5最值：当x=2k（kZ）时，y取最大值1；当x2k（kZ）时，y取最小值-1，即当xk（kZ）时，y取得最值6奇偶性：余弦函数图象关于y轴对称，从中可以看出余弦函数为偶函数，这可通过cos（-x）=cosx来证明（kZ）都是对称中心；又是轴对称图形，所有直线x=k，kZ都是对称轴至此，我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解下面换个角度进行思考当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的

7、曲线，如图5所以它们的定义域相同，都为R值域也相同，都是-1，1最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同它们的周期相同，最小正周期都是2它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同也使奇偶性发生了改变由此可见，图象的平移变换对函数的性质会产生影响三、课堂练习例1 说出y=sinx（xR+）的性质解

8、 先画出函数图象，再根据图象进行分析（注意此函数的定义域对图象的影响）由图象可知，定义域：xR+值域：y-1，1奇偶性：从图象上可以看出它非奇非偶另外，定义域的不对称性也决定了它既非奇也非偶周期性：它是周期函数，T=2k（kN）是它的周期，最小正周期为2对称性：ysinx的图象是轴对称图形，它有无数条对称轴，对称中心，对称中心是（k，0），kN通过这道例题，对正弦函数性质进行了的复习，从中可以看出定义域对函数性质的影响例2由图象去分析函数性质定义域：xR值域：y0，1kZ时，y取最大值1奇偶性：是非奇非偶函数（图象既不关于y轴对称，又不关于原点呈中心对称）周期性：最小正周期为2的增大而减小从此

9、题可以让学生初步看到纵伸缩，纵向平移变换不改变对称性，定义域，增减区间等，但函数的某些性质发生了变化需要强调的是在分析函数的性质时，若能较为准确地画出图象，最好利用图象去做，有些函数性质也可以从代数变换中得到，一般较为繁杂例如此题的函数值域可以用不等式变形来做：再比如奇偶性的讨论：奇非偶函数.函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明，所以熟记基本的正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象，并利用它们作出有关的三角函数图象是分析函数性质的关键四、小结这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几

10、方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法学习了函数性质，使我们对过去所学的知识有了新的认识例如sin（2）sin这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性还使我们能够处理一些新问题，例如：解在本节课的最后一个例题中出现了图象变换对函数性质的影响有关这个问题在下节课还要详细分析总之，学习了函数的性质，特别是学习正弦函数、余弦函数独特的性质周期性后，使我们对它们的其它性质有了进一步的认识，也使我们对两个函数有了较为全面的了解作业：课本P177练习第2，3，4题课堂教学设计说明本节课的主要教学思路可概

11、括为：1复习函数的性质2研究正弦函数的性质3类比正弦函数的性质，请学生写出余弦函数的性质4两个函数的性质比较5课堂练习6课堂小结这节课既是对上节课函数图象的巩固复习，又为下节课讲正弦型曲线打下了基础，是一节承上启下的课函数的性质，从初中就开始学习，到高中讲幂、指数、对数函数后有了较深的认识，但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟在讲完正弦函数性质的基础上，引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，可以加深他们对两个函数的区别与联系的认识在本节课的最后一个例题中提出函数的某些性质既可用代数方法也可用几何方法思考，是想突出这种思考方式较好地利用图象解决问题是数形结合思想的体现，是本节课主要强调的数学思想在本节课最后小结时，可把正弦函数、余弦函数的性质以表格形式写成投影片上打出，使学生在最后能更进一步加深印象