考研数学专项练习之不等式证明内附详解.docx

1、考研数学专项练习之不等式证明内附详解说句实话，这倒证明题的难度倒不是很大，不过希望通过这道证明题，让我们学习到更多的方法和思路，这才是最终目的。好了，下面开始对这道题目进行分析解剖。看见这样一道题目，不知道大家的第一反应是什么？！我提一个问题，如果你作为一个出书的人，你会把这道题目放到高等数学的哪个版块？比较准确的答案应该是泰勒公式！如果你能成功的想到泰勒公式，那么很好，这道题目你有了方向有了目标，你已经成功了一半！那么，这道题目又该如何去做呢？考虑泰勒公式，不难发现，其实这道题目相当于让我们把tanx在0点展开。于是，这道题基本来说就没有难度了。于是，我们华丽的把公式一摆，然后算tanx在x

2、=0处的1,2,3,4,5阶导数，最后往公式里面一代，搞定！下面就是这种方法1：做完这道题目，不知道大家会不会有一种感觉，很累很累！还有一种感觉，到底我算对没有啊，计算好复杂啊？！没错，如果直接用泰勒公式进行求导运算，不但运算量很大，而且还极可能在某一步算错。一旦算错，后面的全错。这是多么可怕的事情啊！即使算出来了，自己心里面也没有个底，如果这是考试的话，对你的影响也不小。所以，既然是平时训练，就应该寻求更简洁，更可靠的方法。于是，为了解决这个问题，产生了下面的一种解法。相对上面的方法简单不少！这种解法好就好在它没有直接利用函数的表达式，而是利用抽象函数的求导和复合函数的关系进行运算的，大大减

3、小了运算量和出错率。而且，能够想到这种方法，更重要的一点是我们最后需要的是tanx在0点的15阶导数值，而不是具体的表达式，因此，利用这种抽象函数的导数，可以建立递推关系，从而得出各阶导数的值。同时，这也是在向我们暗示，如果以后遇见要求某个具体函数在某点的K阶导数值，可以先建立微分方程，然后利用抽象函数求导来做，这样可以简化计算！上面的方法比较容易想到，因为都是直接利用泰勒展开式的公式做。下面就来一些比较有技巧的方法，虽然说是技巧，但是也不是毫无章法的，而是有规律可循！这种方法是利用求极限来确定待定的系数。注意第一步的判断tanx的奇偶性，这是非常重要的，因为这一步又减少了不必要的运算，而且更

4、深刻的刻画出了tanx在x-=0点的展开式的形式。说到这里，根据这道题目的开头，我们知道，上面的两种解法貌似都可以简化了！不过由于求导是一阶一阶往下面做的，所以还是得一点一点求。也就是说，计算量还是无法减少，不过，你可以作为验证每个导数在0点值是否正确的筹码了。一旦出现错误，你也可以意识到，这样也能及时修补。所以，能够宏观把握一个函数的性质（奇偶性，对称性，周期性），对你简化计算或者是验证过程的正误都是帮助很大的。最后说说这种方法的思想吧。我们应该都记得sinx的泰勒展开吧。老师也应该说过，看见sinx的泰勒展开式，我们就应该明白为啥x0的时候，sinxx，sinx-x-1/6x3了。因为这个

5、时候，他们对应成为了同阶无穷小（此时是等价无穷小）。于是立即联想到同阶无穷小的定义所以，我们现在要求的不正是这个表达式中的K么？于是上述方法油然而生！下面两种方法相对比较稀有，但是很适合开拓视野，并且也是有一定的规律包含其中！方法4看了这个解法，也许很多人都一头雾水了。因为表达式复杂，运算感觉也很复杂，我在这里做几点补充说明。前面两步大家应该都没有任何问题，就是切化弦，然后分别泰勒展开。可能对于第三步，就不太理解了。确实，第三步是本方法的难点，也是最关键的一点。利用的知识点很简单，就是1/(x+1)的幂级数展开式，如下图然后把红颜色的看成一个整体，利用蓝色公式展开。注意，展开的时候不要什么都不

6、想就一口气往下弄，要思考下，题目要求几阶，我们展开到几阶就可以了！因为红色的是一个整体，所以平方后，出现的最低次数都是4了，在乘以外面的最低次数1，也是5。因此对更高阶我们可以直接用O6表示了（O6是指6阶及以上）。后面的运算看似复杂并且莫测，实际上很简单，只需要利用我之前说的，想想你的目的是什么？展开到最高阶为5。所以，一旦出现6阶以上的，都可以用O6表示，这样就大大简化了运算的难度。最后化简得答案！方法5看过了上面的那种解法，很多人觉得这种解法不如上面的直接。不过，正因为这种方法别扭一些，使得它适用范围更广一些。因为有些相除的式子没有对应的简单展开式，所以只能利用这种方法。这种方法在一些泰

7、勒展开中起着相当大的作用！以上是我能够提供的5种方法了，大家也可以自己看看还有没有其他方法来做。最后我们对这道题打一个总结。通过这道题，我们学到了什么？！法1法2对比，我们知道在求某个定点的高阶导数，往往不会利用其一般函数式（能利用函数表达式求高阶导数的只有书上给出的那几种以及其变式），而是采用间接的方法来求。如求arctanx的n阶导数。法3不计算不太难，并且思路也不是特别古怪，算是把极限和泰勒联系在一起了的好方法。通过这道题目，我们也可以看出，如果以后再出求极限题并且含有tanx，可以考虑使用这道题目的结论了（这也就是我说的记忆一些小结论）如题如果直接洛必达非常复杂，但是泰勒一下就出来了。

8、法4法5学会了多项式相除的处理方法，通法是法5，法4技巧性稍强一些。最后，总的来说，要想学好证明题，对每道题目的分析要足够透彻。今天选的题目确实难度不算大，但是里面包含的东西却不少。如果真正掌握每一个部分，我觉得证明水平就提升了一步！2今天来看看第二题吧。题目本身不算难题，不过由于涉及的内容对考研的帮助特别大，又是典型中的典型，所以选出来说。希望今天通过这道题目，能够让大家掌握如何思考这类题目！这道题目的条件很明显，闭区间上连续，开区间上可导，第一反应应该就是中值定理了中值定理有三个，那么该用哪个呢？回一下就可以发现，三个中值定理都只会出现一个参数，但是题目中却出现了两个参数，。那么怎么办？这

9、个时候就应该知道仅仅一个中值定理是解决不了此题的，所以考虑使用两个中值定理来做！那么，到底该使用哪两个中值定理呢？一般来说，中值定理的混用有3种，两个拉格朗日，一个拉格朗日一个柯西，两个柯西。具体问题就要具体分析了。所以对这道题目，我们有必要对式子进行变形，从中发现线索！不知道大家看出来我变形的目标没有-就是将同一个参数集中在一堆，然后f放在分子，具体函数（在这道题中就是cosx与sinx）放在分母。从这种形式，我们很容易看出来，这应该是柯西中值定理的应用左边f()/sin就可以看做柯西中值定理的右边部分，这样一来，我们只需要把分子分母的原函数找出来，然后用柯西中值定理处理就可以出现我们结论中

10、的东西了。同理，右边的f()/cos也可以再用一个柯西中值定理处理。注意，这里左边就应该取端点值a,b，因为表达式里面还含有a,b。至于那个tan（(a+b)/2)可以暂时不管，先分别用柯西中值定理处理后然后再看看是否能够出现那个式子，如果出现不了的话才考虑其他的，能够出现，命题基本上可以说是得证了！于是下面就是解答过程看来，只要将用两个柯西中值定理想出来了，后面的就是水道渠成了。那个tan（(a+b)/2)也是自然而然就出现了。最后总结一下这道题。从这道题我们能够学到哪些东西？首先，通过条件的分析，知道很可能使用中值定理，这是整体把握此题，让自己有个大致的方向。然后就是对题目的分析了。处理一

11、个变量的中值定理的证明题，一般都是利用分析法，也就是通过条件倒推，最后看出需要构造什么样的辅助函数。而处理两个变量及以上也是分析法，不过往往是对结构的分析了。一般步骤就是先将同一个变量放在一起，然后看看那个中值定理的形式和此相同，即可决定使用那个中值定理了。也就是说，这种多变量的中值定理证明题的突破口就在变量上面，做适当变形，分析出条件的使用。至于那些常数（比如这道题里面的tan（(a+b)/2)）完全可以不管，因为往往你将变量的来源分析清楚了，做一下处理，就可以得到这些常数了！为了帮大家熟悉一下这类题型，我又找了几道题，大家自己练习下，如果哪道题不会的，跟帖提出来。我可以帮你分析下思路。三道

12、题的难度是递增的，希望大家多多思考！3题目3是一道积分不等式的证明，是李永乐或者陈文灯书上都可以找到的题目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是证明题中常用的，所以我把这道题弄出来进行剖析，将自己的思路展现给大家看看。拿到这道题目，大家可能都有点傻眼了。怎么表达式这么复杂？！而且绝对值，积分号，求导号让人眼花缭乱，感觉根本不知道从何下手。我们不妨先从三个独立的表达式分析起走。第一个表达式首先要明白这个式子说的是什么东西。读懂表达式，是你做证明题的根本！不难看出，这个式子说的就是|f(x)|的在区间a,b的最大值。写的这么高深，弄得大家心里发慌，其实根本就是一只纸老虎嘛！我们并不关心最大值在哪一点

13、取得，所以我们可以把取得最大值的这一点设为，则这个式子可以化成|f()|.你看，这样一简化，是不是显得更加简洁和舒服，让自己的信心也增加了不少。第二个表达式这个式子对积分熟悉一点的看见了就应该有一种很强烈的反应，就是积分中值定理！所以这个式子我们也可以简化一下成|f()|.这样一来，不但大大简化了表达式，而且成功的与第一个表达式联系了起来！这样对题目的认知也就在简化中一点一点的清晰化了！第三个表达式这个表达式相对于前面两个来说要复杂一些，因为它没有很好的化简方式。所以我们只有暂且不管这个表达式，把它作为一个常量，摆在那里，考虑去处理表达式1,2，使得能够得到表达式3！为此，我们将表达式1和表达

14、式2放在一起，于是移项，得到下面不等式，也就是我们需要证明的！注意到左边两个式子|f()| -|f()|，看见这个，然后考虑到这是一道不等式的题目，并且，都是未知的一个数，我们应该立即联想到放缩，用什么放缩？绝对值不等式！|x|-|y|=|x-y|，然后逻辑方向（也就是不等式的方向）也是正确的，所以放心大胆的做吧！如此一来，我们便可以一口气做下去了。于是得到下面的解答！|最后需要再多说两句的就是放缩的后期有一步非常经典注意到没有，第一步的那个等号是这道题里面最难也是最精华的部分。反用牛顿-莱布尼茨公式。成功将积分和导数联系在了一起，破解了这个看似超级复杂的证明题！后面的就是定积分的基本性质虽然

15、这个式子平时看起来觉得再熟悉简单不过了，可是真正使用的时候还是不简单的。最后对这个题目打一个小结，这道题到底让我们学到了哪些知识和思想方法。知识1：积分中值定理，在某些时候可以简化表达式知识2：绝对值不等式以及定积分里面的绝对值不等式知识3：牛顿-莱布尼茨公式的逆用考察的知识不难，关键如何将这些知识串联起来，这是需要不断训练的，当然，通过平时练习多总结多思考，就是提高的最快路径了！思想方法1：对证明的式子需要有个宏观把握，能简化的要简化，这样便于你看清楚整个题目间的关系。思想方法2：不等式证明中间肯定有放缩，这个时候需要找出一定放缩的方法，而且更重要的是判断放缩的方向是否正确，如果正确才可继续

16、往下做。思想方法3：对公式的逆用。有些时候我们做题做多了，往往对有些公式只会顺着用，反过来如何用未曾或者很少想过。其实，像这种难度较大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通过这道题目，我们也学习到了牛顿莱布尼茨公式逆用的威力。可以联系积分与导数！总而言之，这道题目难度不小，不过也不是天马行空的，仔细琢磨，会发现里面有很多思想是值得学习借鉴的！最后选了一道题目，供大家练习4这道题看上去就比较容易入手。因为题目有两个问题，一般来说，第一问是为第二问做铺垫的，往往第二问可以用到第一问的结论，就算用不到，第一问也会给第二问带来很明确的方向。还是条件入手，分析条件，从正向边界，平面区域，不难得出此题是

17、二重积分和曲线积分的转换问题，应该使用格林公式来做。于是分别对第一问左右两边用格林公式，转换成二重积分。对比二重积分的被积表达式，发现其实并不完全一样。所以这个时候我们又得考虑一下，是不是哪个条件没有用上。仔细观察下给的条件，发现积分区域没用上，这个区域有个特点，就是很对称，不过不关于x轴也不关于y轴对称，而是关于y=x对称。于是OK了。利用这种对称性，成功的证明两个二重积分是相等的了！第二问是一个不等式问题，如果没有第一问的铺垫，也算是比较难的了，不过有了第一问，那么就相对简单些了。先做一些处理这一步也算是得力于第一问了。就是利用y=x对称的这个性质！这样一来，我们将多变量转换成了单变量，这

18、也是做题的一种策略！可是即使做到这一步，我们也无法直接得出结论，并且esinx这种函数是无法积分（准确说无法找出初等原函数），加上题目本身也不是让你准确积出来，而是证明不等式，所以联想到放缩！于是下一步考察ex+e（-x）这个函数的性质为了能够积分容易，泰勒公式是一个不错的选择，它将各种函数都弄成了幂函数的形式，而幂函数正是很容易积分的形式。于是，将ex+e（-x）在x=0点展开。一放缩，本题就得出答案了，具体过程如下。最后总结一下这道题目题目分析过程不算特别难，主要就是格林公式的应用和二重积分的对称性，以及最后的泰勒公式展开。但是有两个地方值得挖掘（1） 题目可以一般化！方法与上面一模一样，

19、这里不赘述。不过需要注意的是，第二问就无法证明大于等于5/22,只能证明大于等于22（2） 对于本题的第二问，我们可以从解答中看出，还可以继续不断的进行更强的放缩得到的结果也更加强！这一种方法给我们的启示就是：对于那种无法积出具体分的积分不等式，我们可以利用泰勒展开来做。适当放缩就可以得到答案！下面就这个方法，给一道习题此题左边比较容易，右边稍微有点难，可以尝试一下！5看见这道证明题，首先第一步是对比一下两边的差异。仔细观察积分限，被积函数，发现只有抽象函数f里面的表达式变了，而且变的很有规律！可以说，相当于用一个变量去替换了x2，所以此时此刻，我们很容易想到积分换元，于是可是，这个时候麻烦又

20、出现了。原因有两点（1）积分下限没改变但是上限变了（2）多了个系数2这个时候，我们得想办法处理，如何才能将这个东西向已知结论靠拢呢？考虑到积分区间的可加性，我们不妨将这个积分的区间分开成两段，其分界点为a。也许有人会问，你为什么想到要在a点取分界点，我个人认为原因有两点。原因1：我们要证明的式子最后的积分上限就是a,所以我主动构造出来一个，后面那个看能不能用什么方法处理使得也变成结论形式原因2注意到我给的这个式子，a对于抽象函数而言，相当于是一个比例中项，也就是平衡位置。所以，选取这一点，对后面的问题处理也有一定帮助！（不过这个理由有点抽象，需要一定的数学基础才能比较好的认知）不过理由1是很明

21、确的，是证明题的要素之一：朝着目标转化！接下来就是对这个表达式的处理了还是同样的思想，我们应该朝着目标转化，也就是说，积分限需要变成1，a！那么我们需要找到一个适当的变化，使得能够满足条件。其次，在这种变换下，我们不允许f内的自变量形式发生任何变化，一旦变化，由于是抽象函数，所以根本无法处理。在这两种条件的限制下，我们考虑下述变换。这种变换的优势体现在两点：一是f内部函数形式没变，二是积分限出现了a,1，也就是目标！因此，我们有理由相信，这种方法是可以行得通。PS：其实，在找出这种方法为正确的变换之前，我也尝试了一些其他的变化所以，证明不是一步就能看出来的，而需要不断去修正，去尝试。具体解答如

22、下总结一下这道题目我们能够学习到的东西。（1） 证明题的根本思想，朝着目标转化！（2） 定积分换元的技巧，考虑结论的形式（3） 对于解题过程中，也需要不断的尝试。失败不可怕，因为失败之中，也可能含有成功的线索！下面两道练习题，大家有兴趣自己试试。两道题都不太难，练习2还有多种方法。6这道题给人的第一感觉就是条件的式子很复杂，不过要证明的结论却很简单。很容易注意到有下面这个关系存在于是为了朝最后的目标迈进，我们需要将结论的式子变形，构造出我们挖掘出来的这个条件，于是利用恒等式：但是，使用了恒等式后，无论怎么变形，后面的那个括号里面的式子就是无法完全和已知条件联系起来。这个时候，我们需要想想，是不

23、是开始的时候，方向有错误。因为我们挖掘出来的条件是u+v+w=e，而结论中并没有e出现，加上现在这样做无法做下去了。所以我们此时需要换个思路去做。再仔细观察条件，给出了u,v,w的表达式，他们除了相加能够得到常数e之外，各自之间是否有联系呢？如果对导数熟悉敏感一点的人就会发现，他们之间有求导后相等的关系！这个时候你可能会很欣慰，因为又找出了一个隐含条件。那么，这个条件该怎么用呢？考虑到结论是证明一个表达式等于常数，我们不妨求导，一来是可以出现导数，而来如果导数等于0的话，那么就可以判断表达式本身就是一个常数了。就这样，大胆的向下做！解答过程回头看看这个题目，到底给了我们多少启示呢？首先，我们有

24、时候需要自己去挖掘隐含条件，特别是条件给的很简单的时候其次，隐含条件可能不止一个，所以尽可能挖，尤其是平时训练，这样有助于拓展视野。不过考试的时候就根据实际情况找到相应的即可。但是，有时候需要多个挖掘的隐含条件一起用才能奏效，这点注意下。然后，这道题也有很朴素的一个方法，就是导函数为0，原函数为常数C。最后，特别说明下，对级数求导后得到新级数如果能够与已知级数发生关系，那么，这个关系往往能够在解题中运用。下面就看一道练习题吧。7这是一个积分等式问题。处理积分等式的方法通常有几种，第一种是利用构造辅助函数来证明，另外一种则是利用分部积分来证明。这道题，我们得仔细观察下形式是怎样的。不难发现，这个

25、形式与泰勒的展开式极其相似。所以我们可以将关注的焦点放在泰勒展开上面。于是，很自然的，考虑构造辅助函数。注：这种构造方法是很常见的，无论是在证明积分不等式还是积分等式！都可以先转换成积分上限函数，通过其性质来证明相关命题！下一步是将这个积分上限函数展开成泰勒展开式。这里又涉及到两个问题：1）到底应该展开成几阶的。这时候，我们应该看看题目要证的命题需要我们展开到几阶。明显，题目里面出现了条件具有二阶导数，所以最多可以展开到二阶，而命题中也有2阶导数，所以，我们需要把这个积分上限函数展开到3阶！2）应该在哪一点展开。从结论中也可以看出，需要在(a+b)/2点展开。于是，展开式如下：这个时候，离最后

26、的证明还差一些，就是怎么在这样的条件下得到需要的式子。令x=b，这个时候可以得到需要的左边的式子。但是右边还差一些这时候可以再令x=a.此时，左边等于0，右边奇数次导数项和上面的式子的奇数次导数项互为相反数，而偶数次导数项相同，一旦相减，就离最后的结论更近了。于是我们得到了如下的解法最后一步利用连续介值定理（条件有说二阶导数连续）来做的，这一步看似简单实际上却是很重要而且很容易被大家忽略的一步。不这样做，容易出现以下的一种错误！这种方法是对知识掌握不牢固的同学容易犯的错误。因为在泰勒公式里面，是一个变量，准确的写法应该是f(x)，也就是说，是关于x的函数，所以上面式子的最后一项的积分是积不出来

27、的！最后，对此题进行小结。这道题是典型的将积分（不）等式先构造相应的积分上限函数来做的，其中涉及的知识有泰勒展开和连续性介值定理。题目的条件告诉了我们，一般来说，一道题目是没有无用的条件，如果条件没有用完，那么很可能你的方法是错误的。比如这道题的那种错误的解法！没有用到二阶导数连续！最后练习一道题吧！8初看题目的结论，我们很容易反应出一个思路-单调有界数列必有极限。因为除此之外，我们也没有其他方法来处理。可是看看这个题目的条件，给的并不是递推式，而是一个递推不等式。这该如何处理。我们先不妨把这个题分解成两步来做。第一步先证明其是有界的，题目已经告诉这个数列是正值的，所以每一项都大于0！然后根据

28、不等式lnxn1-1/xn+11可以得出xne，所以这个数列也是有上界的。至此，有界这一部分也成功做出来了，这也是比较容易的一部分！下面来处理比较难的，单调性的处理！首先不得不说，这道题目给的递推不等式，不能再使用递推式的那种方法来证，但是思想方法不变！观察下条件的结构一个是对数函数lnx，另一个是反比例函数1/x，从解方程的角度来看，这算是一个超越方程了，一般是无法解出来具体值的。况且我们也没必要求出具体值。我们不妨先将xn与xn+1的式子分别在不等号两端。9由于自己本人最近在做历年考研题真题，所以选出一些个人觉得比较典型的题目，难度比较大的证明题来分析。虽然证明题的题型丰富，并且涉及的知识

29、也是很广泛的。不过考研毕竟也是一种对所学知识运用型的考试，不是创造性考试，所以考察的知识点也有范围，因此难免与前面的某些知识点重复，这里说明一下。下面进行对题目的分析。第一个小问很简单，是一个送分的小题。只要构造出来辅助函数就解决问题，而辅助函数的构造可以说是套路化的，于是毫不费力的做了出来。注意一定要指明构造的函数也是连续的，否则无法直接利用连续介值定理。这一点是大家很容易忽略的，而这里却分布着得分点。为避免出现不必要失分，平时许多注意。然后看看第二问，里面出现了导数，而变量有两个，看起来与题目2挺相似的，不过仔细一看，却无法像题目2那样构造出原函数。这个时候，我们有两条路需要走。一种是想想

30、有没有其他方法构造出其他的函数，转化成题目2。还有一种就是完全跳出题目2的框子，重新开辟一条新路。注意到证明的结论中与是两个独立变量，所以考虑使用两个中值定理是不二选择！现在问题出来了，中值定理需要选择某些特定的点来进行使用，那么使用哪些点合适呢？我想条件两个f(0)=0,f(1)=1这两点用上是没问题的。关键是还需要至少一个点。到底如何进行选择？！这个时候就要充分利用考研数学给大家铺垫的桥梁了，亦即第一小问的结论！虽然不知道能否行得通，不过我们应该尝试一下，看看使用中值定理之后，得到的结果是否能够证明结论。最后一用就可以知道，行得通。于是解答如下。这个题目如果没有第一问的桥梁，我想是一道非常

31、难的题目。不过有了第一问，我们就应该多向那里靠拢，看看是否能用（一般来说都会用到的）。这个题目的思想方法和技巧都没有太多新颖的地方，希望大家能够对一个题目的若干个问题之间的递进关系引起重视！练习10今天来看看不等式的题目。不等式对于我们来说应该是再熟悉不过的了，初中的时候学过一次二次不等式，高中更是系统学习了不等式，在考研试题里面，也不乏不等式的题目。不等式的题目相对比较灵活，综合性很强，是考察数学能力的一个很好的方式。虽然很活，不过对于考研来说，这些题目也都有一定的方法和思想，是大家可以掌握的。这里就大家比较容易忽略的某些方法说说自己的理解。看到题目应该有一种很相似的感觉。因为不等式的中间部分貌似就是拉格朗日中值定理。于是，有一种冲动，试试这种方法是否可行。尝试了一下，发现左边已经证明出来了。这时应该比较欣慰，因为题目做出了一半。于是心想着，右边应该同理也可以证明吧。不管三七二十一，先试一下。试完以后，悲剧了！居然无法证明出来。怎么办？只有另找一种出路。很多参考书上给的解答都是构造一个辅助函数，这个辅助函数就是将b换成x，成为一个关于x的函数，然后利用导数工具研究这个函数的性质从而得出最终的