最小二乘法计量经济学docx.docx

1、最小二乘法计量经济学docx3.2最小二乘法L多元线性回归模型的参数估计最小二乘（O 法的原理是求残差（观测值与拟和值之间的误差） 平方和最小即：QF 匹仗-汀订仕-A -AA-BkX,要使0最小的充分必要条件是:求解上述方程组，即可得到参数的估计值7 = 02山若用矩阵形武表达为:Y 二 Xp - XY = XX(3 - 0 二XXf X%出于简化计算的考虑,把上式表示成离差的形式:八P = （xS） J xA ,可以证明两者结果相等。33最小二乘估计量的特性/X在满足基本假设的情况下,其结构参数0的普通最小二乘估计具有:1-线性（最小二乘估计量0是被解释变量的观测值X的线性函数）/3 Xf

2、XYxr AY ( A =(x,xyix,)2.无偏性B =(xfxyxx7 = ixxf XG0+/)= (xxyxxfi + (xxyxt= 0 + (XX)X劲对上式两边取期望”得Ae(0)二 +E(xfxy xXjli = fi(xfxyxfXE = p3.最小方差性（有效性） 思路：（1）先求皿）（2 ）然后求任一其他线性无偏估计量歹的方差，并证明Varp Var高斯一马尔可夫定理：若前述假定条件成立，则最小二乘估计量#是 0的最优线性无偏估计量。也就是说在P的所有线性无偏估计量中, B具有最小方差特性。3.4可决系数与一元线性回归模型相同，我们要定量判断样本观测值与回归方程的 拟和

3、的程度,而这种定量的判断指标就是可决系数。75S = RSS + ESStss = z (i;-y)2=x v72总离差平方和ESS二工仗- )2二工 残差平方和I ESS=1 TSS可决系数人2的性质:归方程解o2 临界值fa，则否定原假设比，认为解释变量/对 被解释变量y存在显著的影响； 若0 v临界值匚 / 2,(n-k-l) 则不否定原假设刃0，认为解释变量X, 对被解释变量y不存在显著的影响。嘶系沁信区间，旷緖推出：a/2,(n-k-) X (3/ ) Pi + a/2,() X (E )即为回归系八数A的置信区间1.稳定性检验（Chow检验）对于多元线性回归模型：X =几+ 叽 +

4、 叽 + /3kXki + “用第一组容量为耳的样本估计的回归方程为:X =0（）+0/“ +02宾 +十久Xki其残差平方和记为ESS;用第一组容量为“2的样本估计的回归方程为:检验：日。：00 =厂0,01 = 71，A = Yk把这两组样本合并（容量为 + 2 ）,估计方程，得:ESS入 _ ss 合(笳$1+3$2)/恢 + 1)可以证明：统计 B F (ess + ESS?)/ + “2 _ 2(k +1) 幷+1“+2-2(力十 1) ( 3.69 )判断方法：根据公武（3.69 ）计算出F值r给出显著水平况，从F分布表中查临界值F匕和、+”2一2（+1） 若尸 仇+1+”2-2（

5、21），则否定原假设，即认为这两个回归模型 系数存在显著区别,样本观测值不能合并;若F V坯屮+计2（阳），则不否定原假设,即认为这两个回归模 型系数不存在显著区别,样本观测值可以合并;例习题：（Chow检验）对于多元线性回归模型:Y =仇+0N + /32X2 +/?3兀+卩kqXg +炕_狞1兀_什1 + +炕兀+/(3.6.2 )检验Ho :炕_狞1 =氏=0y = 00 + 0/1 + P2X2 + P3X3 + + Pk-q Xk-q + “ ( 3.63 )对立假设:H,:至少有一个0丿(j = k_q + ,k)不为零。(3.62 )式包含k个解释变量称之为无约束回归模型，相应地

6、z(3.63 )式包含k-q个解释变量，称之为约束回归模型。无约束回归模型的残差平方和记为ESS(加)；约束回归模型的残差 平方和记为ess(r)。可以证明：当乩成立时，) - ESS(UR) q 厂（3.64）统计量2赢仏判断方法：根据公式（3.65 ）计算出F值,给出显著水平& ,从F分布表中查临界值归系数若尸 化（少-1）,则否走原假设，即认为q个0”，炕中至少有一个不等于零;卩”，0k都为零都对被解释变量丫没有显著的影响；所谓的回归系数线性约束的检验,即检验模型的回归系数是否满足一 左的约束条件。例:柯布一道格拉斯生产函数模型:Y = AKaLpe1检验：Hq : cc七P = 无约束

7、模型:logy 二 Y + alogK + 01og厶+ “ 有约束模型：logY = 7 + *logK + (l a)log厶 + “，即：log K - log Z = / + a(log K _ logL) + p其检验原理同关于若干个回归系数是否为零的检验判断方法：根据公式（3.70 ）计算出F值,给出显著水平Q从F 分布表中査临界值代（?心-1）1若尸 代（么”*1）,则否走原假设；2若F v代（么”-i）,则不否定原假设；3.7预测 1.点预测J关于yfi勺条件期望疋厲/血）的区间预测2-区间预测j关于旳勺个别值丫。的区间预测必的预测区间：忆-/ a/2,n-k-l X S。）,

8、 Yq + af2,n-k-1 * （o ）” 其中,S（e.）=1 +沪血（疋厂疋(1)研究经济变量之间的关系要剔除物价变动因素。以上图为例,按当年价格计算z我国1992年的GDP是1980年的5.9倍,而按图中还可看出,1980-1992期间按名义价格计算的GDP曲线一直 是上升的,而按不变价格(1980年价格)计算的GDP曲线在1989年出现一次下降。可见研究经济变量应该剔除物价变动因素。(2 )当引用现成数据时#要注意数据的定义是否与所选定的变 量定义相符。例如，农业人口要注意区别所用数据指的是直接从事农业 生产劳动的人口还是我国户籍管理体制下相对于城镇人口的农 业人口”。否则就会给数

9、据带来测量误差。又如z 2002年起我国将执行新的规定划分三次产业。即将农、林.牧、畐L渔服翁业从原第三产业划归第一产业。走义的改变会给 产业的统计数据带来变化。(3 )通过散点图，相关系数确是解释变量与被解释变量的具体函数关系(线性.非线性、无关系1对一个实际研究的问题如果事先不知道变量之间的具体关系, 可通过散点图，相关系数初步确左它们的函数关系。如是线性关系、 非线性关系或无关系等。 (4 )改变变量的测量单位可能会引起回归系数值的改变，但不(5)对多元回归模型首先应该进行F检验。F检验是对模型整体回归显著性的检验。如检验结果是接受Ho，则检验到此为止。重 新寻找解释变量。如检验结果是拒

10、绝，那么接下来应逬行f检验。若回归系数未通过r检验则相应解释变量应从模型中剔除。剔除该 解釋变量后应重新回归。按经济理论选择的变量剔出时要慎重。对于 一元回归模型z尸检验与检验的结果是等价的。(6 )对于多元回归模型,当解释变量的量纲不相同时#不能在估计的回归系数之间比较大小。若要在多元回归模型中比较解釋变量的相对重要性,应该对回归系数作如下变换八其中貞&)和分别表示疋和必的样李标准差0丿是在解释变 量的量纲不相同条件下得到的估计值。；是无量纲量，可以直接比 较大小。实际上力;是对变量进行标准化处理后的佶计结果。以二元模型为例,标准化的回归模型表示如下(标准化后不存在截距项):两侧同乘孔闯r得

11、既是(10.1)式。(7 )利用回归模型预测时，解釋变量的值最好不要禽开样本范圉太远。原因是根据预测公式离样本平均值越远预测误差越大(见3.9);有时,样本以外变量的关系不清楚。当样本外变量的关系与样本内变量的关系完全不同时，在样本外预测就会发生错误。图3.10给出青铜硬度与锡含量的关系曲线。若以锡含量为0%16%为样本,求得的关系近似是线性的。当把预测点选在锡含量为16%之外时，显然这种预测会发生严重错误。因为锡含量超过16%之后z 青铜的硬度急剧下降，不再遵从锡含量为0% 16%时的关系。(8 )残差项应非自相关(用DW检验1否则说明仍有重要解 释变量被遗漏在模型之外；选用的模型形式不妥。

12、(见第6章)； 当模型的误差项存在异方差时，通过对变量取对数可以减弱或消除异 方差(见第5章)；模型中的解释变量应避免存在多重共线性(见第 7章I(9 )模型应具有高度概括性。若模型的各种检验及预测能力大 致相同f应选择解释变量较少、模型形式较简单的一个，而不是把模 型做得趣复杂越好。(10 )世界是不断变化的，所以模型形武及参数也不是永远不变的。应该随着时间的推移用新的数据及时修改模型。第四章非线性回归模型的线性化4-1变量之间的非线性关系在现实的社会经济活动中经济变量之间的数量关系依存关系类 型复杂,形式纷繁。前面讨论的多元线性回归模型: 丫 = 0。+队X、+笃兀+ 0 a + “其结构

13、具有两个特点: 被解释变量Y是解释变量的线性函数 被解释变量Y也是系数的线性函数 称之为标准的线性模型 的。一般的非线性回归模型表示如下:按照形式的不同,非线性回归模型可分为以下三类:I 非标准线性回归模型虽然被解释变量y与解释变量八兀，兀之间不存在线性关系，但是与系数0。几A之间存在线性关系）心仇+0（/,兀,兀）+02/2区,兀,兀）+ 00（八兀,兀）+“例如：根据平均成本与产量之间存在U型曲线关系因此，总成本C可以用产量X的三次多项式来近似表示，得到下列形式的总成本函数模型:（虽然被解释变量Y与解释变量冷乂, 和系数0。，沟似之间都存在线性关系，但是可以通过适当的函数变换将其化为标准的

14、线性回归函数） 例如：柯布道格拉斯生产函数f其理论形式为:Y = AKaLpefl其中 Y表示产出量r K表示资金投入量#厶表示劳动投入量A表示效率系数，/ 0分别为K和上的产出弹性。两边取对数:LogY = Log A + aLogL + pLogK + /m 不可线性化的非线性回归模型（不但被解释变量Y与解释变量心心和系数几/,pk 之间不存在线性关系，而且也不能通过适当的函数变换转化为标 例如：y二 +&兀 +&2&兀 + “解决方法42线性化方法I 非标准线性回归模型解决方法：适当的变量替换Z=/】(A，K，耳) z2=/2(x15x2,-,)Z厂厶乂 Jy 二 0+0Z+0z+ 0”

15、+“，兀)+ 0p/p(X,X2,几种常见的非标准线性回归模型的变化方法: 多项式函数模型 =0。+ 时 + 02 盂 + + /3X + Az.=x1, z2j=x；，m ,则原方程可化为标准的线性回归模型Z =00 +021Z +02乙7 + + 02侶 +“z可利用多元线性回归分析方法逬行处理双曲函数模型=a + 0 Y XI令厂则可将原模型化为标准的线性回归模型:对数函数模型对数函数模型的一般形式为:Yj = a + pLogX j + 已 令 x： =LogX则可将原模型化为标准的线性回归模型:Y； =a七卩X；七卩S 型曲线模型S 型曲线模型的一般形式为Y = +儿7 a + pe

16、Xi则可将原模型化为标准的线性回归模型:Y； + 卩X： i口可线性化的非线性回归模型几种常见的可线性化的非线性回归模型的变化方法:指数函数模型 指数函数模型的一般形式为Y =Aex7两边取对数,得:LogYj = LogA + 陆 + 山*令乙二厶# a = LogA则可将原模型化为标准的线性回归模型:厂=理+酬+“專函数模型 幕函数模型的一般形式为 乙=AXgX帯.赵帥两边取对数,得：Log* = LogA + p.LogX h + (J.LogX 2?. + + (3kLogX ki + “ 令 厂=LogYt , A = LogA , X： =LogXv , . , X； = LogX

17、kt则原方程可化为标准的线性回归模型 厂=0。+0/； +02芯十+ 0少；+他4.2线性化方法2.不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法般形武:Y = / (X,尢,，耳;01,02 ,)1-可线性化的非线性回归模型的线性方法+ 卩 (4.16 ) 由于/是一个一般的非线性函数 很难根据线形估计求解A。特殊方法：(1)直接搜索法将模型的每一个参数都选择一组数值，然后将所有可能的参数组合代 入(4.16 )式中使残差平方和。大到最小化的那组参数值组合就作为未知参数的估计值。缺点：如果非线性模型的未知数较多r计算量很大；例：104 = 10000 适用范圉:未知参数只有一个或两个时。(2)直

18、接优化法根据残差平方和极小化的必要条件,即根据求解出未知参数估计量屁缺点：计算难度很大，很少被采用(3)迭代线性化法首先通过泰勒级数展开式将非线性函数在某一组初始参数估计值附 近线性化，然后对这一线性化的函数应用普通最小二乘法，得到一自 新的参数估计值。接着星使非线性函数在新的参数附近线性化，对新 的线性化的模型应用普通最小二乘法，又得到一组新的参数估计值。不断重复上述过程，直至参数估计值收敛为止。优点：计算效率比较高；(如果被估计的非线性函数很接近线性函数,则只需几次迭代就可以得到满意的结果)；由于每一次迭代都 各种统计检验。迭代法的具体步骤：第一步，根据经济理论和历史统计资料，选定（01,

19、0，02 0，0卩0 ）作 为未知参数（1，02，J的一组初始估计值。接着将模型（4.16）式在这组初始估计值附近作泰勒级数展开，得 P P d f / + 牙 C/? 仏 一0人0）（0丿一久0）+ + （4.19）保留前两项，舍掉二阶和二阶以上的高阶项，得（4.19 ）式的线性近似：y = /（1,x2,.,；/7k0,0,.,.0）+fM 仏-0,）+1/移项整理后得:令厂二则(4.20 )式就可以写成厂二几乙 +02Z2+- + 0,，的.0)+亍0皿7=1 P3 02,0： 0pO )+ 工 07,0i=l0 1=7 L J(4.20)0 ;分配系数，应满足;替代系数，应满足P1;m

20、 _规模报酬参数，加 1表示规模报酬递増。Kementa于1967年提出的线性化估计方法。首先，对CES生产函数(4.23 )式两边去对数，得LnY = LnA- L)K-p + (1 - 3)1JP ( 4.25 )P设/s)=山冰-j(i-池存将/(Q)在。二0处作泰勒级数展开，并取0阶、1阶、2阶项，得/S) = + (1-3)DiLp + 丄 p2)(l- - D?lY7=-SLnK + (1- 6)hiLp + Q(i _ s dj j (4.26)将（4.26 ）带入（4.25 ）武r得到线性化的CES生产函数则将式（427 ）改写为一个简单的线性回归模型:(4.28 )Z 二 0

21、0 + 卩X + 02% + 03兀 + “f进而得到CES生产函数的结构参数A t 3 t p t m的估计值:/ / / _2 砒+02) P A八= A +久第八章虚拟变量许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需求 量、价格、收入、产量等但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量， 如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害 对GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售 的影响等等。为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化”，这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来 完成的。根据这些因素的属性类型，构造只取“” 或“彳”的人工平量，通常称为虚拟变量(dumm

22、y variables),记为D。例如，反映文程度的虚拟变量可取为:1, 本科学历D= *o, 非本科学历一般地，在虚拟变量的设置中: 基础类型、肯定类型取值为1； 比较类型，否定类型取值为。概念:同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟 变量模型。一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的模型:Yi = 0o + 0 X i + P2d. + /.其中：號为企业职工的薪金，&为工龄，Di=l,若是男性，Di=0,若是女性。二、虚拟变量的引入虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方 式：加法方式和乘法方式。1、加法方式上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引入采 取了加法方式。在该模型中，如果仍

23、假定玖肉）=0,则企业女职工的平均薪金为：E （匕 I X 厂。=0） = /?o + 0X i企业男职工的平均薪金为:E（匕IX,，2 = 1） = （0o + 02）+0|X,几何意义：假定卩门。，则两个函数有相同的斜率，但有不同 的截距。意即，男女职工平均薪金对教龄的变化 率是一样的，但两者的平均薪金水平相差址。可以通过传统的回归检验，对也的统计显著性进 行检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是 否有显著差异。工龄X又例：在横截面数据基础上，考虑个人保健支出 对个人收入和教育水平的回归。教育水平考虑三个层次：高中以下，高中，大学及其以上这时需要引入两个虚拟变量：卩高中 D P 大学及其

24、以上其他 2 10 其他模型可设定如下：Y. = 00 + 卩 X i + PzD + B3D2 + i在E(w)=0的初始假定下，高中以下、高中、大学 及其以上教育水平下个人保健支出的函数： 高中以下： (K I = o,d2 = o)= pq +高中： E(y. i = ,d2 = o)=(Z?o + z?2)+大学及其以上： E(Yi I X, ,D, = 002 =D=(00 + 03)+ 0盘假定卩3卩2,其几何意义：还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定 性”因素的影响。如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟 变量D2：1 本科及以上学历0 本科以下学历职工薪金的回归模型

25、可设计为:Y, 。+ 辱 + /?20 + 恥2+出于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为:女职工本科以下学历的平均薪金：E(Yi I = 0,D2 =O) = /?o + 1Xz男职工本科以下学历的平均薪金：E(Yi Xi,Dl =1,Z)2 =O)=(0o + 02)+QXi女职工本科以上学历的平均薪金：E(Yi Xi,Dl = 0,D2 =1) = (00 + 03)+0儿男职工本科以上学历的平均薪金：E(Yi I X,.,/), = 1,D2 =1)=(/?0 + /?2 + /?3)+/?,.2、乘法方式加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同，许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、截 距同时发生变化。斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来 测度。例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收入水 平Y,但在一个较长的时期，人们的消费倾向会发生 变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年份，消费 倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在 收入的系数中引入虚拟变量来考察。如，设D = P 正常年份 消费模型可建立如下：|0 反常年份这