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1、数学建模论文参赛密码 （由组委会填写）全第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛学 校上海工程技术大学参赛队号队员姓名1.2.3.参赛密码 （由组委会填写） 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题 目 摘 要：摘要 社会保障是所有现代国家最重要的经济社会政策之一。在社会保障体制改革中，最先启动，涉及面最广的是养老保险改革，相应的，他的问题和矛盾也暴露得最为集中。我国城镇养老保险制度发展到今天，日渐出现了收支不平衡问题。养老保险基金是养老保险制度运行的物质基础，养老保险基金的收支平衡是保证养老保险制度可持续性的关键。因此，对养老保险基金收支问题的分析具有重要的现实意义。 本模型的研究核心：基于社会系统动

2、力学的研究方法及其原理，构建城乡养老保险基金收支系统指标体系，利用Vensim仿真软件平台，进行软件设计。分别从养老保险资金的收缴，支付两个方面，构建系统动力学因果图和数据流图，并且用SPSS软件分析各影响因素之间的关系，进而分析和预测未来的养老金收支情况。关键词：系统动力学 养老保险收支 Vensim仿真 SPSS拟合回归AbstructSocial security is one of the most important of all modern countrys economic and social policies.In the social security system, t

3、he first to start, it is the most extensive pension by reformed , accordingly, the problems and contradictions by exposed was the most concentrated. As far ,Chinas urban pension system , there has been growing imbalance problem. Pension funds are material foundation of the pension system running, en

4、dowment insurance fund balance is the key to ensure the sustainability of the pension system .Therefore, the pension insurance fund balance of payments problem analysis has important practical significance.The model of the core: Based on the dynamics of social systems research methods and their prin

5、ciples, to build urban and rural pension insurance fund payments system index system, to use Vensim simulation software platform for software design.Respectively, from the pension insurance funds collected to pay two aspects, build system dynamics causal diagrams and data flow diagrams, and use SPSS

6、 software to analyze the relationship between the various factors, and then analyze and predict future pension income and expenditure.Keywords: system dynamics simulation SPSS pension payments Vensim fitted regression1 问题重述 一 、问题的提出 中国共产党第十八次全国代表大会政治报告中提出了“统筹推进城乡社会保障体系建设”的任务：“社会保障是保障人民生活、调节社会分配的一项基本

7、制度。要坚持全覆盖、保基本、多层次、可持续方针，以增强公平性、适应流动性、保证可持续性为重点，全面建成覆盖城乡居民的社会保障体系”。近年来，我国城镇职工养老保险金制度基本建立，参保覆盖面日益扩大，退休人员待遇逐年提高，养老保险基金规模不断上升，在制度层面上提前完成了城市和农村居民社会保障全覆盖，成为我们社会保障事业发展的重要里程碑。然而也面临巨大的挑战。我国的养老保险体系建设远远滞后于社会发展水平。一方面资金规模相对较少，保障能力有限，地区差距、城乡差距明显；另一方面资金管理分散，运营效率不高，保值增值的压力很大。进一步完善养老保险保障体系仍将是中国政府未来最重要的任务之一。全国人大常委会法工

8、委信春鹰副主任是社会保险法的制定者，她指出中国养老制度“最大的问题就是可持续”，“我们看当下的欧洲，我们看现在出现财政危机的那些国家，他们的养老保险无一不遇到了极大的挑战和问题。和其他国家相比，中国有特殊的问题，像前面几位专家讲的，我们比人家穷，比人家人口多，未富先老。从制度上来说，我们的制度本身就有很多的缺陷，本身就很青涩，它是对现实妥协的一个产物。但是同时，这个制度一经产生就遇到了人口结构快速变化，社会尚未准备好，这些大的问题都出现了，对我们这个制度是非常大的挑战。”由于中国养老保险缴纳与支付同时开始，中国保监会副主席陈文辉在陆家嘴论坛上承认“中国养老金缺口确实非常大”。社会科学院世界社保

9、研究中心主任郑秉文给出的数字是2011年城镇基本养老保险个人账户“空账”已经超过2.2万亿，较2010年增加约5000亿。世界银行的研究机构在研究我国的养老金问题研究报告中，认为到2013年，中国养老基金缺口达到18.3万亿元。在当前养老制度不变情况下，以后的年份缺口逐年放大。假设2013年后中国GDP的年增长率为6%，到2033年时养老金缺口将为惊人的68.2万亿元，占当年GDP的38.7%。另据中国社科院财贸所学者高培勇和汪德华最近的一项研究指出，在现有社保制度框架下，要确保2020年中国每个退休者都能领取养老金，以替代率52.4%计算，养老金支付缺口都会持续增加。最早在2015年，中国城

10、镇职工养老保险就会出现支付缺口。两位学者预计，如果现在不能未雨绸缪，及时调整政策，到2050年，养老金缺口累积将达到该年GDP的95%。这样巨大的资金缺口，必将使国家财政不堪重负。而现有官方公布的数据却有明显差别。2012年6月4日，中国人力资源与社会保障部向社会公布了2011年度人力资源和社会保障事业发展统计公报。此公报是透视中国人力资源与社会保障工作成绩的重要窗口，也是解析社会保险最权威的数据来源。统计公报显示，截至2011年末，全国基本养老保险基金累计结余1.9497万亿元，全年城镇基本养老保险基金总收入1.6895万亿元，比上年增长25.9，全年基金总支出1.2765万亿元，比上年增长

11、20.9。和2009年、2010年相比，城镇职工基本养老保险基金当期结余资金规模进一步扩大，已由2010年当期结余的2865亿元增加到4130亿元，增幅较大，这有利于缓解部分省市养老金支付压力。但有分析认为：基金征缴收入增长较快是其中一个重要原因。上述观点分别反映中国养老金现状的不同侧面和未来趋势的不确定性。二、现实的情况中国在20世纪90年代确立了城镇职工基本养老保险“统账结合”制度，基本养老保险是由社会统筹和个人账户两部分组成。社会统筹部分由单位负担缴费，为单位职工工资总额的20%，个人账户则由职工个人缴费，为个人工资的8%。前者“现收现付”，用于支付已退休人员的养老金，后者实行长期封闭积

12、累，产权个人所有的“完全积累”制，原则上不能调剂借用的方式。由于在现行养老保险制度确立之前，企业员工基本无需缴纳养老保险费用，所以现有的养老保险基金中没有这部分职工的个人账户部分。在养老保险制度设立之后，这部分职工退休后却要从养老保险基金中领取养老金，这是我国社会保险制度必须承担的转轨成本的一部分。仅靠统筹账户不足以应对当期发放，加之各地财政实力不同，多数地区不得不在实际上采用了“现收现付制”的方法，即挪用个人账户的资金，用正在工作人合计缴纳的28%的月工资来支付现有退休人员的退休金，现在工作人账户仅仅用来记账，上述2.5万亿的记账额由此形成。为解决这一问题，中国从2000年开始了“做实”个人

13、账户试点。截至到2011年底，参与试点的辽宁、江苏和山东等13个省份共积累个人账户基金达到2703亿元，但其与记账额之间的差额，仍达到2.23万亿元，此“空账”被舆论定义成了养老保险“缺口”概念而广为传播。三、需要解决的问题面临人口老龄化以及经济结构性减速、财政收入增长速度下降，社会保障体系可持续问题亟待解决，必须进行前瞻性研究，否则将形成社会问题。我们应该承认历史、立足现实、尊重规律、借鉴国外、留有余地，既量力而行，又尽力而为地完善我国的养老保险体系。本题要求运用数学模型方法研究、解决该问题。为此，请你们团队做好以下几项工作。（请研究生注意：可以引用有关参考文献的结论和数学模型，更鼓励创新，

14、独立提出新模型。若引用他人的模型与结论，必须注明出处，否则视情节轻重，直至作为抄袭处理）1，分别建立合乎国情、适应国力的中国城乡居民（含新农保）养老金收入、支出的宏观模型，至少包括替代率（基本养老保险人均养老金占城镇单位在岗职工平均工资比率）、缴费率（基本养老保险人均缴费占城镇单位在岗职工平均工资比率）、人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、财政补贴、工 资水平或物价指数、投资效益等主要因素，要做到模型结合现实，分多个层次（含企业基金等），体现“多缴多得，长缴多得”（不考虑分省、分地区模型）。如果使用国家统计局公布和题目提供数据以外的数据，必须指明出处并向竞赛网站申请张贴于“资料下载”处，首先公

15、布者可适当加分。 2，根据你们的数学模型、对养老金缺口的理解和对未来有关情况的合理估计，估计从今年至2035年我国养老金缺口，并说明你们对养老金缺口分析的合理性。如果全部情况维持不变，按照你们的数学模型我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的情况发生在什么时间，严重程度如何？考虑到党的十八大提出的收入倍增计划，你们的数学模型哪些部分需要调整？3，养老保险制度也是调节社会分配，请你们分析各国养老保险的不同模式，取其精华，去其糟粕，根据你们建立的数学模型和中国的实际情况，利用仿真手段寻找替代率和缴费率的合理区间以保证我国养老保险体系的可持续性（因为人口结构、分年龄段死亡率、经济增速、投资效益等主要因素

16、几乎无法人为较大幅度改动）；在步入良性循环之前，在矛盾最尖锐到来前的过渡期内应该采取哪些政策措施实现平稳过渡并仿真预测相关政策的效果。四尝试建立第三问增加可调节变量的数学模型。2 问题假设1、假设21世纪中叶我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。2、假设职工缴纳的养老保险基金过程不会中断，直到该职工退休。3、假设所有的职工都是从每年的1月份开始缴费，每年缴足12个月，而退休后也是从每年的1月份开始领取养老金。4、假设社会经济发展过程中无经济危机产生，国民经济增长稳定，并忽略老龄化影响。3 问题分析3.1 背景分析养老金也称退休金，退休费，是一种最主要的养老保险待遇。1997年国务院发布的国

17、务院关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定和2005年12月3日国务院发布的国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定等国家有关文件规定，在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所做的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。我国的基本养老保险基金是随着基本养老保险制度的改革不断发展起来的，他能让每一位在职职工老有所养，所以基本养老保险基金被认为是千千万万中国老百姓年老之后的“养命钱”、“救命草”。基本养老保险基金也为政府的经济体制改革起到支撑、保证作用，是维系社会稳定的“安全网”的一部分。基本养老保险基金

18、是基本养老保险制度顺利实施的物质基础，基本养老保险基金的收支状况对基本养老保险制度的发展具有重要意义，它关系到基本养老保险制度的可持续性，这也是我国可持续发展战略的一部分。由于养老保险对受保人所提供的物质帮助是以货币形式实现的，所以毫无疑问，基本养老保险基金的收支状况是基本养老保险事业的核心问题。20世纪90年代，在人口老龄化的影响下，全球建立在现收现付基础上的养老保险制度普遍出现财务危机，各国纷纷对本国的养老保险制度进行改革。我国也在1991年到2000年将近十年的时间里对我国的基本养老保险制度进行了3次大的调整。在改革过程中，我国的基本养老保险遇到了不少问题，其中最突出的就是资金缺口问题，

19、也就是基本养老保险基金的收支不平衡问题。基本养老保险基金的收支平衡是基本养老保险制度可持续发展的条件，是社会保障制度正常运行的物质基础。如果基本养老保险基金收支不平衡的状况长期持续下去，势必会影响基本养老保险制度的稳定运行，最终将影响社会的稳定和经济的发展。因此，对我国基本养老保险基金收支问题进行分析，尤其是通过定量分析来寻求解决问题的对策无疑是有意义的。3.2 问题一分析3.3 问题二分析3.4 问题三分析3.5 问题四分析4模型的建立与求解4.1 问题一4.1.1 系统动力学模型4.1.1.1 系统动力学概述系统动力学（SystemDynamics）以系统思考为理论基础，但更进一步，融进了

20、计算机仿真模型。系统动力学研究起源于美国麻省理工学院JayW.Forrester教授的名著工业动力学。由于初期它主要应用于工业企业管理，故称为“工业动力学；后来，随着该学科的发展，其应用范围日益扩大，遍及经济社会等各类系统，故改称为系统动力学。系统动力学是研究分析有关复杂信息反馈系统动态趋势的学科。系统动力学以控制论、控制工程、系统工程、信息处理和计算机仿真技术为基础研究复杂系统随时间推移而产生的行为模式。系统动力学把系统的行为模式看成是由系统内部的信息反馈机制决定的。通过建立系统动力学模型，利用DYNAMO仿真语言在计算机上实现对真实系统的仿真，可以研究系统的结构、功能和行为之间的动态关系，

21、以便寻求较优的系统结构和功能。4.1.1.2 模型的构建1、建立养老金收支的因果关系图系统由相互依存，相互作用的因素构成。若一个因素引起另一个因素的变化，则两者之间存在因果关系。在基本的因果关系图中，包括若干个正反馈，负反馈基本反馈环，他们定性的描述系统结构内部和系统的整体性，是系统动力学建立模型的基础。 根据分析，此模型包括参保职工人数、离退休人数、国内生产总值、职工工资水平、缴费率、养老金收支，以及、企业和个人缴费分别占养老金收入的比例等因素。因果关系如图4-1所示，图中箭头表示因果关系，箭头指示方向代表原因作用于结果的方向，箭头旁的“+”和“一”表示由于原因因素增大导致结果因素的增大或减

22、小。养老基金结余是一个很重要的变量，养老金收入和支出是研究的关键所在，因此，研究中，把养老金的收入和支出作为引起养老基金结余变化的关键因素进行分析。 图4-1养老金结余因果关系图在图4-2中，养老金收入主要来自财政补贴、企业与个人缴费以及养老基金投资收益，他们之间以及各自的关系确定如下:图4-2 养老金收入因果关系图（1）养老金收入与财政补贴、企业与个人缴费和投资收益的关系确定养老金的收入主要来自财政补贴、企业与个人缴费以及投资收益，养老金收入与这四者之间存在正向关系，当这四者增大时，养老金收入也相应增大。（2）企业缴费和个人缴费与职工平均工资和参保职工人数的关系确定 当缴费率一定时，企业缴费

23、和个人缴费与职工平均工资和参保职工人数之间呈正向关系，职工平均工资越高、参保职工人数越多，则企业缴费和个人缴费就越多。（3）参保职工数与总人口数的关系确定 总人口数与参保职工数之间是正向关系，总人口数越多，参保职工人数越多。（4）人均财政补贴与人均GDP的关系确定人均GDP越大，政府越有足够的财力支持养老保险，用于养老的财政补贴也就越多。（5）投资收益与养老金收入之间的关系确定投资收益越高，养老金收入越高，投资收益跟养老金收入之间是正向相关关系。 在图4-3中，养老金支出主要用于参保退休人员的养老金待遇，参保退休人员的养老金待遇水平受到职工平均工资、养老金替代率的影响。他们之间以及各自的关系确

24、定如下:图4-3 养老金支出因果关系图（1）平均工资与人均消费水平的关系确定平均工资越高，人均消费水平越高，平均工资跟人均消费水平是正向相关关系。（3）人均消费水平与人均GDP增长量的关系确定人均消费水平越高，人均GDP增长量越高，人均消费水平跟人均GDP增长量是正向相关关系。（4）参保人数和在职参保人数之间的关系确定 参保人数越多，在职参保人数越多，参保人数跟在职参保人数是正向相关关系。（5）养老金替代率与养老金支出的关系确定 养老金替代率越高，养老金支出越多，养老金替代率跟养老金支出是正向相关关系。（6）总人口数和人口出生率，人口死亡率的关系确定人口出生率越高，人口死亡率越低，总人口数越多

25、，人口出生率跟总人口数是正向相关关系，人口死亡率跟总人口数是负向相关关系。（8）缴费年限与养老金替代率的关系缴费年限越高，养老金替代率越高，缴费年限跟养老金替代率是正向相关关系。2、建立养老金收支的流程图 流图确定反馈回路中变量状态发生变化的机制，明确表示系统各元素间的数量关系，反映物质链与信息链的区别，能够反映物质的积累值及积累效应变化快慢的区别。通过因果关系分析，应用系统动力学中变量的特定含义，设置构建系统模型所需的状态变量、决策变量和辅助变量，并通过变量之间的函数关系，并考虑影响变量的各种因素，绘制基本养老保险责任分担机制的系统流图。状态变量L(流位)：描述系统物质流动或信息流动积累效应

26、的变量，表征系统的某种属性，具有累加性的特征，绘制符号为 决策变量R(流率)：描述系统物质流动或信息流动积累效应变化快慢的变量，具有瞬时性的特征，绘制符号为 辅助变量A：从信息源到决策变量之间，起到辅助表达信息决策作用的变量，其类似决策变量，但无直接相关的状态变量，可以简化决策变量的表达。如企业缴费率、个人缴费率等。表函数：辅助方程的一种函数表示，如总人口数表。常数C：系统中不随时间而变化的量，如养老金替代率、投资收益率等。物质流：系统中流动的实体，链接状态变量和决策变量，是不使状态值变化的守恒流，绘制符号为图4-4 养老金收支的流程图 将养老金收支因果图中的各个元素用SPSS进行回归分析得到

27、各个因素之间的函数关系如下：（1）平均工资与人均消费水平的函数关系确定模型汇总和参数估计值（平均工资与人均消费水平）因变量:VAR00005方程模型汇总参数估计值R 方Fdf1df2Sg.常数b1b2b3线性.9964022.625115.0001080.656.258对数.906144.591115.000-35020.3904245.359倒数.71838.223115.0009683.347-48014099.090三次.9994252.148313.0001384.219.229-2.521E-72.354E-11幂.9861092.765115.0003.960.746指数.9704

28、83.638115.0002343.9874.282E-5自变量为 VAR00004。表4-1 平均工资与人均消费水平的模型汇总和参数估计值图4-5平均工资和人均消费水平的拟合曲线图从上面图表中可以看出，平均工资x跟消费水平y之间的关系y=1384.219+0.229x+(-2.521E-7)x2+(2.354E-11)x3F=4252.148 R2=0.999 R2=0.999说明平均工资跟消费水平的拟合度很高，F=4252.148，说明上面公式的整体拟合程度很高。（2）人均GDP和人均财政补贴的函数关系确定模型汇总和参数估计值（人均GDP和人均财政补贴）因变量:VAR00003方程模型汇总

29、参数估计值R 方Fdf1df2Sig.常数b1b2b3线性.9811662.698132.000-224.626.218三次.9973218.648330.00065.608.1006.123E-6-7.002E-11幂.964855.470132.000.317.932指数.857191.167132.000220.997.000自变量为 VAR00002。表4-2 人均GDP和人均财政补贴的模型汇总和参数估计值图4-6 人均GDP和人均财政补贴的拟合曲线图从上面图表中可以看出，人均GDP(x)和人均财政之间的关系y=65.608+0.1x+(6.123E-6)x2+(-7.002E-11)

30、x3F=3218.648 R2=0.997R2=0.997说明人均GDP跟人均财政的拟合度很高，F=3218.648说明上面公式整体的拟合度很高。（3）人均消费水平与人均GDP增长量之间的函数关系确定模型汇总和参数估计值（人均消费水平与人均GDP增长量）因变量:VAR00007方程模型汇总参数估计值R 方Fdf1df2Sig.常数b1b2b3线性.85387.274115.000-793.192.467对数.80059.852115.000-21038.3492686.357倒数.66730.061115.0004531.802-12064216.706三次.85425.314313.000-556.552.3671.067E-5-2.993E-10幂.77652.052115.000.0041.483指数.76147.787115.000331.889.000自变量为 VAR00006。表4-3 人均消费水平与人均GDP增长量的模型汇总和参数估计值图4-7 人均消费水平与人均GDP增长量的拟合曲