全等三角形精讲精练.docx

1、全等三角形精讲精练文件 sxcbk0035.doc科目 数学关键词 全等三角形/教法建议标题 全等三角形内容全等三角形一、 教法建议【抛砖引玉】全等三角形这一单元的引入,应从学生实验入手,一让学生拿同一张底片冲洗出来的两张照片,放在一起,能发现什么呢?二用自己使用一块三角板按在硬纸上,画下图形,照图形裁下来的硬纸和三角板一样.把裁下来的硬纸和三角板放在一起又发现什么呢？大家可发现，两种试验，两个图形都能完全重合，然后便可适时引入全等形和全等三角形概念等.由此引出：“全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.”结合图形，讲清楚“对应”这个概念，进一步讲清楚对应边，对应角.以便教会学生找对应

2、边，对应角的方法.对课本P24六种全等变换对学生可介绍.进一步巩固找对应边对应角的关系.对于公理1，教学时，可以直接告诉学生怎样画图，即已知一个三角形，画一个三角形有两条边及其夹角与已知三角形的两边及夹角对应相等的步骤.让学生自己动手画，画完以后，再动手剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件？这里想通了，对学习后面几个公理有好处，由于学生亲自参与画图，剪量等实验的全过程，对来源于实践的公理1确信无疑，印象深刻，才能应用公理进行证明.为了让学生熟悉公理，学会用公理证明两个三角形全等，特别是学会把证明过程正确地写出来.一定要学习例题的书写格式，严格按例题的书写格式书写

3、，养成习惯.在应用公理1证明有关问题时，要注意图形的各种变化（如平移，旋转，对称等），注意引导学生观察分析图形，熟悉这些简单变化的图形，可以为后面观察分析复杂图形打下基础.在教学时，始终遵循理论与实践相结合.应用学得知识为生产服务，如P29、例5.对公理2，公理3及直角三角形的判定公理都要从画图实验引入，让学生亲自参与，切入主题.通过练习，发现问题，及时纠正，防患未然.不论学生情况怎样，训练或练习都要围绕掌握三角形全等的判定方法这个中心.使学生在这一阶段，把这项任务完成.在研究全等形的基础上,通过教学,使学生掌握角平分线性质定理和它的逆定理,能利用它们证明两角相等或两条线段相等,了解原命题和逆

4、命题的关系,能说出题设和结论都很简单的逆命题,通过实例使学生认识原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.【指点迷津】找对应边，对应角对学生来说有一定困难.我们结合实例，针对两个三角形不同位置关系，总结出寻找对应边，对应角的规律：（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最小边（或最小的角）是对应边（或角）等.对于证（解）题思路分析，应该让学生懂得，在探索证明方法的过程中，常会遇到走不通的情况，这时不要畏缩不前，要再认真研究图形与已知条件，联想定理，将问题转

5、化，另找办法.对于证明书写格式一定从严要求，并要注意对应关系，这对以后学习打下良好基础.通过全等三角形学习，向学生指出：研究线段相等，两角相等，两直线平行，两直线垂直等通常转化为证明两三角形全等，没有条件，可添设辅助线，创造条件，构造全等三角形，达到目的.总之，认真学好三角形全等问题，可为以后学习打下坚实基础.二、学海导航【思维基础】 1能够完全 的两个三角形叫做全等三角形， 的顶点叫对应顶点， 的边叫对应边，互相重合的角叫 . 2全等三角形的 相等, 相等. 3判定一般三角形全等的方法有 ， ， ， .判定直角三角形全等的方法还有 . 4全等三角形的对应角 ，对应线段（边、高、中线、角平分线

6、） . 5在角的平分线上的点到这个角的两边的距离 .到一个角两边距离相等的点，在这个角的 .角的平分线是到角的两边距离 的所有点的集合. 6如果第一个命题的 是第二个命题的 ，而第一个命题 又是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫 那么另一个叫做它的 . 如果一个定理的 经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做 定理，其中一个叫做另一个的 .【学法指要】 例1如图，已知ABCD，ADBC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E.交BC于N,求证:AE=CN. 思路分析:欲证AE=CN.看它们在哪两个三角形中,设法证这两个三角形全等即可.结合

7、图形可发现AMEFCN可证. 题设告知AM=CF,ADBC,ABCD.由两平行条件,可找两对角相等. ADBC(已知) 1=E(两直线平行,内错角相等) 3=D(两直线平行,同位角相等)1=2(对顶角相等)2=E(等量代换)ABCD(已知)4=D(两直线平行,同位角相等)3=4(等量代换).至此,两三角形全等条件完全具备.在AME与CNF中 3=4 (已证) 2=E (已证) CF=AM (已知)AMECNF (A.A.S)AE=CN (全等三角形的对应边相等)例2.ABC中，ACB=90，AC=BC，过C的一条直线CEAE于E，BDCE的延长线于D，求证：AE=BD+DE.思路分析：从本例的

8、结论知是求线段和的问题，由此入手，很难找到突破口.此时可迅速调整思维角度,可仔细观察图形,正确的图形是证题的“向导”,由此可发现ACE与CBD好像(猜测)全等.那么AE=CD=CE+DE.又BD=CE.那么,此时已水落石出.证明: ACB=90(已知) 2+3=ACB=90 AECE，BDCE（已知） 1+2=90（直角三角形两锐角互余） 1=3（等角的余角相等） AEC=CDB=90（垂直定义） 在ACE与CBD中 AC=BC （已知） 1=3 （已证） AEC=CDB（已证） ACECBD（AAS） BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等） AE=CE=CE+DE AE=BD+DE

9、（等量代换） 例3如图，AD是ABC的中线，DE，DF分别平分ADB和ADC，连接EF，求证：EFBE+CF. 思路分析:由结论EFBE+CF很容易与定理“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中，必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角的平分线这一线索,可将BDE沿角平分线翻转180,即B点落在AD的点B上(如图)(也就是在DA上截取DB=BD),连结EB,BF,此时BDE与BDE完全重合,所以BDEBDE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=BE(全等三角形的对应边相等).AD为ABC的

10、中线(已知)BD=CD(中线性质)BD=BD(已证) CD=BD(等量代换)在CDF与BDF中 CD=BD (已证) CDF=BDF (已知) DF=DF (公用边)CDFBDF (SAS)BF=CF (全等三角形的对应边相等)在EFB中,EFBE+BF(三角形的两边之和大于第三边).EFEF (三角形的两边之和大于第三边).即EFBE+FC(等量代换)对照结论,只要再证EF=EF 便达目的.由FBDFCD(已证)DF=DF（全等三角形对应边相等）EDA= ADB, FDA= ADC (已知)EDA+FDA= (ADB+ADC)ABD+ADC=180 (平角定义)EDA+FDA=90EDF=E

11、DA+FDAEDF=90EDF+EDF=180 (平角定义)EDF=90在EDF和EDF中 ED=ED (公用边) EDF=EDF (已证) DF=DF (已证)EDFEDF (SAS)EF=EF (全等三角形对应边相等)EFBE+CF (等量代换)由例1,例2我们可以发现,要证结论成立,必须知道需要什么条件,即要找什么?此时便可由题设,再结合准确的图形便可找到需要条件,使思路打通.再一步步写出找到的条件和依据(即依据的定义,定理,已知,已证等),就可写出完整的证明过程,请同学们在具体的实践过程中慢慢就熟悉证明的方法了.当条件分散或者直接找不到题设与结论的关系时,此时便可添设辅助线.但添设辅助

12、线不能盲目,要有“的”放“矢”.一要有利于架设结论与题设的关系;二要有利于充分利用已知条件;三要把分散条件集中一块,有利于沟通关系.把握这几个原则.添设辅助线便可心中有数.架起“桥梁”铺平道路.思路自然顺畅.从例3就向同学们指示了这一规律.望同学们要养成这种添设辅助线的好习惯!在证明几何问题的道路上会越走越宽,越走越好.【思维体操】 例已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,求证:BF=CF. 揭示思路:本例要证BF=CF,要看BF与CF在哪两个三角形中,即将问题转化为证明全等三角形问题,结合图形可发现BF与CF在ABF与ACF或BDF与CDF中,只要证ABFACF或BD

13、FCDF,由两条思路吸引同学们去探索.结合题设,发现这两组三角形都不具备全等条件,使问题搁浅.但结合题设与图形可发现ABD与ACD却具备全等条件AB=AC(已知),BD=DC(已知),AD=AD(公用边),给证题提供了有利因素.由它们全等可得BAF=CAF,这时证ABFACF(SAS)便没有阻力.同时由ADB=ADC可证BDF=CDF(等角的补角相等),那么BDFCDF(SAS)也很顺利了,两种思路,残途同归. 扩散一:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,且B,F,C在一条直线上,求证:F是BC的中点. 揭示思路:欲证F是BC的中点,即证BF=CF,与原例所证结论相同,仿

14、原例思路能行通吗?当然是可以的.请同学们写出证明过程.待学完等腰三角形,还有更简捷的证法,那时你们再探索吧!扩散二:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:BF=CF.揭示思路:F点由AD的延长线上移动至AD上,要证的结论不变,那么证题的思路沿“老路”走还能走通吗？两种“老路”亦然可行.请同学们写出证明过程.扩散三:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,求证:BF=CF.揭示思路:F点由AD的延长线上移动至AD的反向延长线上,要证的结论亦然不变.那么证题思路仍重蹈旧辙,是否是轻车熟路呢?仍然是一路春风.请同学们完成证明过程.扩散四:已知:AB=AC,D

15、B=DC,F是直线AD上一动点(即点F在直线AD上运动),点F在AD上不停的运动.你发现什么规律?请说出,并进行证明. (1) (2) (3) (4) (5) (6)揭示思路:因为动点F在直线AD上运动.可出现图(1)(6)六种情况(其中图(3)可看作图(4)的特例).当点F与点D或点A重合时,FB=FC.显然成立,当点F运动至图(3)图(6)的位置时,FB=FC,证明可仿原例证明,请同学们写出证明过程.由此可知,点F在AD上不停动,始终保持FB=FC这一规律,证明略.扩散五:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD延长线上一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.揭示思路:欲证点F到AB,

16、AC的距离相等,即证FM=FN.由此萌生在角的平分线上一点到这个角的两边距离相等的念头,那么便转化为证明BAF=CAF即可.证明两角相等,通常转化证明两三角形全等.而ABDACD条件具备(AB=AC,BD=DC,AD=AD),则证BAF=CAF垂手可得了.证明如下:证明:在ABD与ACD中 AB=AC (已知) BD=DC (已知) AD=AD (公用边) ABDACD (SSS) BAF=CAF (全等三角形的对应角相等) FMAB, FNAC （已知） FM=FN (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).扩散六:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是AD上的一点,求证:点F到AB

17、,AC的距离相等.揭示思路:F点在AD的延长线上移至AD上,结论仍然成立.可仿扩散五便可一路顺风达到目的.证法留给同学们完成.扩散七:已知:如图,AB=AC,DB=DC,F是DA延长线上的一点,求证:点F到AB,AC的距离相等.揭示思路:当点F在DA的延长线上(如图),结论亦然成立.思路亦然如旧,请同学们自行完成.扩散八:已知:如图,AB=AC,DB=DC,点F在直线AD上运动,那么点F到AB,AC的距离有何关系?请提出你的猜想,并进行证明.揭示思路:本例可仿照扩散四进行探索.请同学们照此完成吧. 由原例扩散,把本单元用一线穿珠的办法连为一体,使所学知识系统化,条理化.使所学知识掌握的更牢固,

18、应用的更灵活.在学习时,一定要掌握这种学习方法,它是提高数学素养非常行之有效的好方法.本例在扩散中,由静到动,栩栩如生.提出猜想,对培养同学们的探索能力恰到好处.不管图形多变化,其规律不变,万变不离其宗.只要抓住万变中的不变,即可一不变应万变,学一例,会一片,诸类旁通,左右逢源.通过以上的学习,对证线段相等,两角相等.两直线平等或垂直等,通常可转化为证明三角形全等,思路便可找到,望同学们在今后学习中不断演练,将会更上一层楼.二、 智能显示【心中有数】 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用.三角形又是多边形的一种,而且是最简单的多边形,在几何里,常常把多边形分割成

19、若干个三角形,利用三角形的性质去研究多边形,实际上对于一些曲线形,也可以利用一系列的三角形逼近它,从而利用三角形的性质去研究它们.另外,全等三角形是证明线段相等或角相等的重要工具,“全等三角形”是本章的重要内容,掌握了判定三角形全等的方法,就为后面的学习做了准备.因此,本章内容是几何中最重要的基础知识.本单元又是本章之首,又是推理入门阶段.一定要学好本单元内容.【动脑动手】1. 如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于D,DFAB,DEAC,求证:DE=DF.2.求证:三角形一边上的中线小于其它两边和的一半.3.如图,在ABC中,AD为A的平分线,E为BC的中点,过E作EFAD交AB于G,交C

20、A的延长线于F,求证:BG=CF.揭示思路:1.(如原题图).ADBC(已知)ABD和ACD为Rt. AB=AC(已知) AD=AD(公用边)RtABDRtACD (H.L)1=2 (全等三角形对应角相等)DFAB,DEAC (已知)AFD=AED在ADF和ADE中 1=2 (已证) AFD=AED (已证) AD=AD (公共边)ADFADE (AAS)DE=DF (全等三角形对应边相等)2.延长AD至E,使DE=AD,连结BE. 则AD= AE. 在ACD和EBD 中 AD=DE (由作图知) 1=2 (对顶角相等) BD=DC (已知) ACDEBD (SAS) BE=AC (全等三角形

21、对应边相等) 在ABE中,AEAB+BE (三角形的两边之和大于第三边) AEAB+AC (等量代换) AE (AB+AC) ADAC,AD是A的平分线,求证:BDDC.揭示思路1.证明:在AC上截取AB=AB,连结PB 在ABP和ABP中 AB=AB (由作图知) 1=2 (已知) AP=AP (公用边) ABPABP (SAS) B=ABP (全等三角形对应角相等,对应边相等) AC=AB+BP (已知) AC=AB+CB (如图) AB=AB(由作图知) PB=BC=PB C=BPC ABP=C+BPC=2C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) B=2C又证:延长AB至C,且使AC=AC.连结PC. 在ACP和ACP中 AC=AC (由作图知) 1=2 (已知) AP=AP (公用边) ACPACP (SAS) C=C (全等三角形的对应角相等) AC=AB+BP (已知) AC=AB+BC (如图) AC=AC (由作图知) BP=BC C=BPC ABP=C+BPC=2C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) ABP=2C. 即B=2C 2、3两个小题证法与此同时相仿，每小题同样可找到两种类似证法，留给同学们研究.