完整版概率论与数理统计知识点总结.docx

1、完整版概率论与数理统计知识点总结第1章随机事件及其概率(1)随如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果机试验不止 个，但在进行 次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则和随机称这种试验为随机试验。事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行 次试验，必须发生且只能发生这 组中的 个事件；(2 )基任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。本事这样 组事件中的每 个事件称为基本事件，用 来表示。件、样基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。本空间一个事件就是由 中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大

2、和事件写字母A , B, C ,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率为 1，而概率为1的事件也不一 定是必然事件。关系：（3 ）事如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B件的关发生）：A B系与运如果同时有A B , B A，则称事件A与事件B等价，或称A等于算B: A=B。A、B中至少有一个发生的事件： A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为 A-B，也可表示为A-AB或者ab，它表示A发生而B不发生的事件。A、B冋时发生：

3、A B，或者AB。A B= ?，则表示A与B不可能 同时发生，称事件 A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) n(B U C) (A U B) AC=(AC) U (BC)Ai 入德摩根率：i 1 i 1 A B A B , A B A B(4 )概 率的公 理化定 义设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A), 若满足下列三个条件：1 0 WP(A)

4、 0，则称罟导为事件A发生P(A)条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A) 学字。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q/B)=1 P(B/A)=1 -P(B/A)(10)乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，对事件 A1 , A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有P(A1A2 An) P(A1)P(A21 A1)P(A3| A1A2) P(An | A1A2 An 1)(11 )独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(AB

5、) P(A)P(B)P(B| A) 二人、 D A P(B)P(A) P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互 独立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(12)全概公式设事件Bl，B2，Bn满足1 B1,B2, , Bn两两互不相容，P) 0(1 1,2, ,n)，nA Bi2 i1 ，则

6、有P(A) P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2) P(Bn)P(A| Bn)。全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题， 全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；(13)贝叶斯公式设事件B1 , B2，Bn及A满足1 B1 , B2，Bn两两互不相容，P(Bi)0 , i 1 , 2，n ,nA Bi2 i 1 P(A) 0J 5 5则P(Bi/A) nP(Bi)P(A/Bi) , i=1 , 2，n。P(Bj)P(A/Bj)j 1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi) , ( i 1 , 2 ,，n ),通常叫先验概率。P(Bi/A) ,

7、( i 1 , 2， n ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律， 并作出了“由 在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率， 就用贝叶斯公式我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；(14)伯努利概型每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发 生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1 p q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率，Pn(k) C：Pkqnk k 0,1,2, ,n

8、5第二章随机变量及其分布 (1) 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=X k)的概率为P(X=x k)=p k, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 X的概率分布或分布律。有时也用分 布列的形式给出：X | x1,x2, , xk,P(X xk) p1, p2, , pk,。显然分布律应满足下列条件：pk 1(1 )宀 0 , k 1,2, , ( 2 ) k1 (2 ) 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 f(x)，对任意实数X，有XF(x) f (x)dx则称X为连续型随机变量。f(X)称为X的概率密度函数或密度函数， 简称概率

9、密度。密度函数具有下面4个性质：分布仁 f(x) 03、P(Xi X X2) F(X2)F(xJ f (x)dxXi4、P(x=a)=O,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0(3 )设X为随机变量，x是任意实数，则函数分布F(x)P(X x)函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aX b) F(b) F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(- , X内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 F(x) 1, x ；2 F(x)是单调不减的函数，即 刃X2时，有F(x1) F(x2);3 F( ) lim F(x) 0, F( )

10、lim F(x) 1 -X 7 X 74 F(x 0) F(x)，即F(x)是右连续的；5 P(X x) F(x) F(x 0)。对于离散型随机变量，F(x) Pk ；Xk XX对于连续型随机变量， F(x) f(x)dx。(4 )0-1分P(X=1)=p, P(X=0)=q六大布分布二项分在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生布的次数是随机变量，设为 X，则X可能取值为0,1,2, ,n。P(X k) Pn(k) C：pkqnk , 其中 q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n ,则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布。记为X B(n, p)。当 n 1 时，P

11、(X k) pkq1k , k 0.1，这就是(0-1 )分布，所以(0-1 )分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X k) e , 0 , k 0,1,2 ,k!则称随机变量X服从参数为 的泊松分布，记为X ()或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n fg)。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f(x)在a ,ib上为常数一，即b a1 a x w bf(x) 0： 其他,则称随机变量X在a , b上服从均匀分布，记为 XU(a ,b) o分布函数为0, xa,x aJ b a abo当a WX1VX2 wb时，X落在区间(x1，x2)

12、内的概率为x2 x1P(X1 X X2)1 ob a指数分布x4 e , x 0f(x) 门L 0, x 0,其中 0，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。正态分布设随机变量X的密度函数为(x )2f(x)i-e 2 , x ,J2其中、0为常数，则称随机变量 X服从参数为 、 的、一 八， 、. 、夕 M / 2止态分布或咼斯(Gauss)分布，记为 XN(，丿。f(x)具有如下性质：1 f(x)的图形是关于X 对称的；2 当x时，f()为最大值；2 2若 X N(,)亠X的分布函数为F(x) 21x e(吃 2)2 dt参数0、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为x N(0，1)1，其

13、x密度函数记为(x)-尹 x分布函数为x ,2(x)近e 2 dt o(X)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-X)=1-(x)且(0) = - o如果xX 2N( , 2),则 N(0,1) oP(x1 X、 X2 X1X2) o(6 )下分位表：P(x)=；分位上分位表：P(x)=o数(7 )离散型已知X的分布列为XX1, X2, , Xn,函数P(XXi) P1, P2, , Pn, Y g(X)的分布列(yi g(Xi)互不相等)如卜：的分Yg(x1), g(x2), , g(xn),布函p(y yi)若有某些! g(Xi)相等，则应将对应的Pi相加作为g(Xi)的概率。

14、数连续型先利用X的概率密度 fx(x)写出Y的分布函数 FY(y)=P(g(x)=Cv)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y) o第三章二维随机变量及其分布（1 ）联离散型合分布如果二维随机向量 （X, Y）的所有可能取值为至多可 列个有序对（x,y ），则称 为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为（人）（门1,2,），且事 件 = （Xi,yj） 的概率为 pij,称P（X,Y） （Xi,yj） Pj（i,j 1,2,）为=（X，Y）的分布律或称为 X和Y的联合分布律。 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：yyyjX1P11P 12P1jX2P21P22P2jXipi1P

15、j这里pij具有下面两个性质:连续型对于二维随机向量 (X,Y),如果存在非负函数f(x,y)( x , y ),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D ， 即 D=(X, Y)|a0;(2 ) f(x,y)dxdy 1.2联合设(X, Y)为一维随机变量，对于任意实数 x,y, 一元函数分布函F(x, y) PX x,Y y数称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量 X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)| X( 1)x, Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)0 F(x, y)

16、1；(2)F( x,y )分别对x和y是非减的，即当 X2X 1 时，有 F( X2,y) F(x1,y);当 y2y 1 时，有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x, y) F(x 0,y), F(x, y) F(x, y 0)；(4) F( , ) F( , y) F(x, ) 0,F( , ) 1.(5) 对于 花 X2, y1 y2,P(x 1x x2,y 1 ih r “ 、匚 y 、 k z. _ / . “ 、 r , _” .八 z x与记号 XY相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分别记为XX与YY。相关系数对于随机变量X与Y,如果D (X) 0, D(Y)0 ，则称XYe(x)/D(Y)为X与Y的相关系数，记作 XY (有时可简记为 )。| | 1，当| 1=1时，称X与Y完全相关：P(X aY b) 1宀厶炯辛 正相关，当 1时 0)，完全相关负相关，当1时(a 0),而当 0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：1XY 0;2cov(X, Y)