中国剩余定理.docx

1、中国剩余定理古代数学的光辉业绩中国剩余定理 我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。 如何求符合上述条件的正整数N呢？孙子算经给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。”过了一千多年，到了十六世纪，数学

2、家程大位在他所著的算法统宗里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。 歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：370521715105 三组数的共同特征是：70除以3余1，除以5、7余0；21除以5余1，除以3、7余0；15除以7余1，除以3、5余0。 首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。 270满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。 321满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。 215满足原题第三个余数条件，且

3、被3、5整除。 统统相加得和：N=270+321+215=233。 N必然满足原题所有三个余数条件。但N不一定是最小的。歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。这个23就是问题的最小解。这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。 中国古代数学有一个传统，总是以具体的数量关系表示一般的规律。把中国剩余定理译成数论术语就是： 设m1、m2、m3是两两互质的正整数，对任意给定的整数a1、a2、a3，必存在整数，满足xa1(modm1)，xa2(modm2)，xa3(modm3)。 并且满足上列方程组的解

4、x(modm1m2m3)是存在唯一的。 上面定理的表述是为方便或为忠于孙子算经，我们只写出含三个余数的情形，其实，这个定理对n个余数是通用的。 这个算法，给出了这类问题的非常简捷的一般解法。这个算法，具有非凡的数学思想，并对数论、代数产生了重要影响，中国称此算法为“孙子定理”，国际上称此为“中国剩余定理”。这是中国数学对世界数学最重要的贡献之一。中国剩余定理除本身的重要性之外，它还提示人们，要解决较复杂的问题，最好把它分解为几个易解的子问题；把问题各不相同的条件化成标准的条件，然后用标准的、统一的方法去处理。这是两种重要的数学思想。 南宋数学家秦九韶在他的数书九章中推广了“物不知数”问题，提出

5、了计算“乘率”的方法“大衍求一术”，使解决一次同余式问题的方法形成系统化的数学理论。 在西方，直到十八世纪，瑞士的欧拉与法国的拉格朗日才对同余式问题进行系统的研究。十九世纪的第一年，德国的高斯在算术探究一书中，才提出解决这类问题的方法剩余定理，并给出了严格证明，被后人称为“高斯定理”。1852年英国基督教士伟烈亚力在字林西报上发表了中国科学的记述，介绍孙子算经中的“物不知数”题，并第一次解释了“大衍求一术”，并指出它实质上和高斯定理是一致的。当时，德国著名数学家康托尔称赞秦九韶是“最幸运的天才”，秦九韶推广了“中国的剩余定理”，为我国和世界数学史增添了光彩。中国剩余定理的补充资料已知m1、m2

6、、m3是两两互质的正整数，求最小正整数x，使它被m1、m2、m3除所得余数分别为C1、C2、C3。孙子定理的思想便是先分别找出被其中数mi除余1而被另二数整除的数Mi(i=1，2，3)，则所求的数之一便是 C1M1+C2M2+C3M3；若欲求的是最小的符合要求的数，则将上面的得数减去m1、m2、m3的整数倍(0，1，2，)即可.在古算题中，m1=3，m2=5，m3=7；C1=2，C2=3，C3=2；M1=70，M2=21，M3=15.其中：M1=70=323+1=572；M2=21=54+1=371；M3=15=72+1=351；而C1M1+C2M2+C3M3=270+321+215=2332

7、332357=2105，故所求最小数为 233-2105=23孙子定理可以推广到对任意n个数mi的情形，n2，nN，国外称此定理为“中国剩余定理”。民间传说着一则故事“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上

8、向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.有一

9、个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23.它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，.除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，.它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，.一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是512整数，整数可以取0，1，2，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是

10、满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.孙子算经提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，.这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是815整数，列出这一串数是8，23，38，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已

11、把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是10510+23=1073人定理得内容：若某数x分别被d1、d2、dn除得的余数为r1、r2、rn，则x可表示为下式：x=R1r1+R2r2+Rnrn+RD其中R1是d2、d3、dn的公倍数；而且被d1除，余数为1；、Rn是d1、d2、dn-1的公倍数；而且被dn除，余数为1；D是d1、d2、dn的最小公倍数；R是任意整数，可根据实际需要决定，且d1、d2、dn必须互质，以保证每个Ri（I=1，2，n）都能求得。一、剩余问题在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数

12、，从而要求出适合条件的这个被除数的问题，叫做剩余问题。二、两个定理定理1：几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和，就不能被数a整除。如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5整除。定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。如：22731（224）71214（4）（要余2即222762）（229）72819-7（2）（想余5则2257155）三、读解中国剩余定理中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书孙子算经中，有这样一个问

13、题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？答曰：23术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。”“术”即解法。书中还介绍了上述问题中余数为一的一般解法：凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上，以一百零五减之即得。在明朝程大位著算术统宗一书中，把上述问题的基本解法，用诗句概括为：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。解法1：依定理译成算式解为： 702213152233 233105223这就是享誉中外的中国剩

14、余定理。对此古代剩余问题，时至今日另有解法。解法2：用各除数的“基础数”法解。基础数的条件：（1）此数必须符合除数自身的余数条件；（2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。（一）求各除数的最小公倍数3，5，7105（二）求各除数的基础数（1）3105335353112（2）5105 52121541（当于3）13321363（3）7 105 71515 721（当于2）12215230（三）求各基础数的和35+63+30128（四）求基准数（最小的，只有一个）128-105=23（五）求适合条件的数XX23+105K（K是整数）（注：此法易行，且具有一般性）解法3：用枚举筛选法解按除数3，7同余

15、2，依次逐一枚举；随后用除以5余3，进行筛选，便可获解。摘录条件 3.2（基准数）53同余2 7.2（一）求3和7的最小公倍数3，721（二）进行枚举筛选（1）212=23 23543一般地有：X=基准数+各除数的最小公倍数K（K是整数）四、剩余问题的解法与应用例：韩信点兵，有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；若列成六行纵队，则末行五人；若列成七行纵队，则末行四人；若列成十一行纵队，则末行十人，求兵数至少有多少人？用基础数法解： 5.l基准数（2111）65 7.4 11.10（一）求各除数的最小公倍数5，6，7，112310（二）求各除数的基础数（l）5 23105462 46259222

16、35146231386（2）6 23106385 385664115538551925（3）723107330 330747114433041320（4）11 231011210 2101119111010210102100（三）求各基础数的和 13861925132021006731（四）求最小的基准数 6731231022111（人）（五）求最适合条件的数X X=21112310K（K为整数）答：这队兵至少有2111人。注：各除数应两两互质，可确保命题的真实性。五、推导3、5、8剩余定理）及启用题目：一个数除以3余2；除以5余3；除以8则余1。此数最小是多少？摘录条件 32（基准数）（11

17、3）53 8.1 A、推导定理：只要能确定3、5、8各除数的余数均为1的基础数，便可推导出定理，随后再乘以各对应的余数，即可依此定理解题。（一）3、5、8120（二）求各除数的余数均为1的基础数（1）3120340403131（2）5120524 245444453l24496（3）8120815 1581777861157105由此得出3、5、8剩余定理诗曰：三人同行40多，五树梅花96朵，八仙过海105招，除百二十便解惑。（三）分别乘以各对应的余数再求和而获解 402963105l473（四）求最小的基准数 4731203113 B、启用定理，再解两题（一） 31（79）54 8.7解：4

18、0196410571159 1159120979（二） 32（11）51 8.3解：4029611053491 491120411 C、补充3、4、5剩余定理三人同行40里，四季花开45枝，五朵金花36浪，除去六十便得知。 3.2（53）41 5.3解：402451363233 23360353由此可知，“剩余问题”的“解法定理”，都是可以推得的，都是非常灵验的。通过对“剩余问题”的研讨，使我们进一步认识了其“解法定理”，提高了解题能力，证明其解题方法可行、实用、有趣和灵活多样。3、5、8剩余定理、3、4、5剩余定理a、b、c剩余定理等“解法定理”的推导成功，证明对“剩余问题”完全可以运用“定

19、理解题”。读解中国剩余定理中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书孙子算经中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？答曰：23孙子算经中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”用现代语言说明这个解法就是：首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。所求数被3除余2，

20、则取数702140，140是被5与7整除而被3除余2的数。所求数被5除余3，则取数21363，63是被3与7整除而被5除余3的数。所求数被7除余2，则取数152=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。又，1406330=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过

21、100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。“中国剩余定理”算理及其应用70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析

22、的方法那样进行解答。例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。为了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用123=36。然后，401452364=274，因为，27460，所以，274604=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。为了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=

23、120。使21被8除余1，用215=105；然后，112212041055=1229，因为，1229168，所以，12291687=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。为了使88被5除余1，用882=176；使55被8除余1，用557=385；使40被11除余1，用408=320。然后，176438533202=2499，因为，2499440，所以，24994405=299，就是所求的数。例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7

24、人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，280522511262=1877，因为，1877315，所以，18773155=302，就是所求的数。例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？（泽林老师的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，

25、5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，280622521263=2508，因为，2508315，所以，25083157=303，就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。如：例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7446。下面一步试下46能不能满足第一