1、初中阶段数学重点知识点资料数学重点知识点一、数与代数:1.无限不循环的小数叫做无理数. 常见无理数有三类: (1) (2)开方开不尽的数.如, (3)无限不循环有规律的数,如1.0200200022.有效数字: 一个数,从左边第一个不是零的数字起到所精确的数位止,其中所有的数都是有效数字.如0.02080的有效数字有四个: 2, 0,8,0 3一元一次方程的标准形式: ax+b=0(a0) 4一元二次方程的标准形式: ax2+bx+c=0(a0)5一元二次方程的四种基本解法: (1)直接开平方法(2)因式分解法.(3)配方法.(4)公式法.6. 一元二次方程根的的判别式:一元二次方程ax2bx
2、c0(a0)中, =b24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式.根的判别式可以直接判断一元二次方程根的情况:当 0 时,方程有两个不相等的实数根;当 =0 时, 方程有两个相等的实数根;当 0 时, 方程没有实数根.当 0 时,方程有两个实数根. 7. 一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式: .8. 解一元二次方程的基本思路是: 将二次方程转化为一次方程, 通过降次求解. 我们要根据一元二次方程的具体特点, 灵活地运用上述四种方法, 使解题过程简易, 避免大量的运算. 配方法和公式法适用于所有的一元二次方程.9. 分母中 含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程有
3、可能产生 增根 是分式方程的一个特点, 因为在利用“去分母”把分式方程转化为整式方程时, 方程两边都乘以含有未知数的整式, 而这个整式的值有可能是零, 这种变形不满足方程的两边不能乘以零, 所以就产生了不满足原方程的根, 称为“增根”. 检验出增根要舍去.10. 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”. 它的一般解法 是: 去分母, 方程两边都乘以 最简公分母 ; 解所得的 整式方程 ; 检验 , 将所得的根代入最简公分母, 若等于零, 就是增根, 应该舍去; 若不等于零, 就是原方程的根.11. 二元一次方程组的解集必须用“”12. “不大于”是指“”. “不小于”是指“”.13
4、.一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况, 如图所示: xa 如图1所示: xa 如图2所示: 图1图2 xa 如图3所示: xa 如图4所示: 图3 图414.注意不等式基本性质3: 不等式两边都乘以(或除以) 同一个负数 ,不等号的方向改变. 即如果ab,并且c0,那 acbc ,.15. 一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用 数轴 求出这些不等式的解集的公共部分, 即这个不等式组的解集. 求不等式组公共解的一般规律: 同大取大, 同小取小, 大小小大中间找, 大大小小解不了.(3)注意有时解不等式或不等式组求特殊解的情况,如求正整数解等.
5、(4)注意不等式组的解集在数轴上表示时包含此点用实心,不含用空心.16.实际应用题注意检验解的合理性.17.数轴上的点与 实数 是一一对应的;坐标平面上的点与 有序实数对 是一一对应的。18.所有一次函数的图象都是一条 直线 。一次函数的图象是经过点 (0,b) 和(,0) 的直线;正比例函数的图象是经过点 (1,k)和(0,0) 的直线。19.反比例函数中比例系数的几何意义如图,过反比例函数图象上任一点P作轴、轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。即过双曲线上任一点作轴、轴的垂线,所得的矩形面积是20.二次函数的图象是一条关于 对称轴 对称的抛物线,抛物线的几个主要特
6、征: (1)有开口方向;(2)有对称轴;(3)有顶点。 画二次函数的图象通常采用描点法五点法。二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:(是常数); (2)顶点式:是常数) (3)交点式: (a0,x1 ,x2是图象与x轴交点横坐标)21.二次函数的最值: (1)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最值,即当时,最值=(2)如果自变量的取值范围是,那么当在此范围内时,最值=;当不在此范围内时,则需考虑函数在内的增减性,来确定最值二、空间与图形:1位置关系:(1)点和直线的位置关系: 点在直线上; 点在直线外 .(2)点和圆的位置关系:点在圆上; 点在圆内; 点在圆外 .(3)
7、直线和圆的位置关系: 相离;相交;相切 .(4)圆和圆的位置关系: 外离;外切;相交;内切;内含 .2.角的大小与 角的两边长短 无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关3.角的平分线有下面的定理: (1)角平分线定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。 (2)角平分线定理的逆定理:到 角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。4 连接两点之间的线段的长度 叫做两点间的距离。 直线外一点到直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离。 两条平行线中,一条直线上的任一点到另一条直线的距离 叫做两条平行线间的距离。5(1)平行于 同一条直线 的两直线平行.(2)垂直于 同一条直线 的两直线平行.6三角形
8、的分类:(1)三角形按边的关系分类如下: 三角形 斜 (2)三角形按角的关系分类如下:三角形 7.三角形全等的判定: (1)边角边公理(简写成 SAS ) (2)角边角公理(简写成 ASA ) (3)边边边公理(简写成 SSS )(4)斜边、直角边公理(简写成 HL )8.证明一个三角形是等腰三角形的方法:1 有两边相等的三角形是等腰三角形.2 等角对等边;9.证明一个三角形是等边三角形的方法:1 利用定义证明:证明三条边相等.2 证明三角形三个角相等.3 证明它是等腰三角形并且已有一个角是60.10.等腰三角形的性质定理的推论: 等腰三角形的 顶角平分线 底边中线、底边高线 互相重合.11.
9、多边形内角和公式: 180(n为多边形的边数)12.多边形外角和: 360 .11.平行四边形的性质:(1).平行四边形对边 相等 、 平行 。(2).平行四边形对角 相等 ,邻角 互补 。(3).平行四边形对角线 互相平分 。12.平行四边形的判定: (1) 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形. (2) 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形. (3) 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形. (4) 两组对角分别相等的四边形 是平行四边形. (5) 对角线互相平分的四边形 是平行四边形.13.夹在两条平行线间的 平行线段 相等。14.矩形的性质: (1)矩形的对边 平行且相等 . (
10、2)矩形的四个角都 相等是直角 . (3)矩形的对角线 互相平分且相等 .15.矩形的判定: (1) 三个角是直角的四边形 是矩形. (2) 有一个角是直角的平行四边形 是矩形. (3) 对角线相等的平行四边形 是矩形.16. 菱形的性质: (1)菱形的四边 相等 . (2) 菱形的对角线 互相平分且垂直 . (3) 菱形的面积等于= 底高 = 对角线乘积的一半 .17.菱形的判定:(1) 四条边都相等的四边形 是菱形. (2) 对角线垂直的平行四边形 是菱形. (3) 一组邻边相等的平行四边形 是菱形.18.中点四边形:(1)顺次连接 任意 的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.(2)顺
11、次连接 对角线垂直 的四边形各边中点所得的四边形是矩形.(3)顺次连接 对角线相等 的四边形各边中点所得的四边形是菱形.(4)顺次连接 对角线垂直且相等 的四边形各边中点所得的四边形是正方形. 注意: 以上是用三角形的中位线定理推导出来.19三角形的中位线: 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 . 梯形的中位线: 梯形的中位线平行于上下底并且等于上下底和的一半 .20.(1)常见的轴对称图形:直线, 线段, 射线, 角, 等腰三角形, 等边三角形,等腰梯形,矩形, 菱形,正方形, 正多边形, 圆. (2)常见的中心对称图形:直线, 线段, 平行四边形, 矩形, 菱形, 正方形, 正
12、偶数边形,圆 (3)常见既是轴对称图形又是中心对称图形的是: 直线, 线段, 矩形, 菱形, 正方形, 圆, 正偶数边形.21.垂径定理:(1)定理:垂直于弦的 直径 平分这条弦,并且平分弦所对的 两条弧 . (2)推论:(1) 平分弦(弦不是直径) 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过 圆心 ,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧。22三个量关系(弧、弦、圆心角之间的关系)定理:(1)定义:顶点在 圆心 的角叫做圆心角;(2)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弦 相等,所对的 弧 相等,所对的弦的 弦
13、心距 相等。(3)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角 、两条 弦 、两条弧 中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。23圆周角定理: (1)定义:顶点在 圆上 ,两边与圆 相交 的角叫做圆周角。(2)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半 .(3)推论: 同弧 或 等弧 所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的 圆周角 所对的弧也相等;半圆(或 直径 )所对的圆周角是 直角 ;90的圆周角所对的弦是 直径 ;如果三角形一边的中线等于这边的一半,那么这个三角形是 直角 三角形。24切线的判定和性质定理: (1)切线的判定:经过 切点 并且 垂直于切线 的直线是圆的切线。
14、(2)切线的性质:圆的切线 垂直 于经过 切点 的半径。25. 切线长定理:1定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和 切点 之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 切线长 相等,圆心和这点的连线 平分两条切线的夹角 。26(1)经过一点能做 无数 个圆,经过两点能做 无数 个圆,圆心在以这两个点为端点线段的中垂线上;经过三点能做 一 个圆。(2)不在同一直线上的 三个点 确定一个圆。(3)经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 外接圆 .(4)三角形的 外接圆 的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的 外心 。5锐角三角形的外心在三角形的 内
15、部 ;直角三角形的外心在其 边上 ,是 斜边的中点 ;钝角三角形的外心在三角形的 外部 .6与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 .7三角形的内切圆的圆心是三角形的三条 角平分线的 的交点,它叫做三角形的 内心 .8三角形的三条边分别为a,b,c,面积是S,则其内切圆的半径为r=.9直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,则其内切圆半径为r=.27圆中的有关计算:1弧长公式:n的圆心角所对的弧长的计算公式为=2扇形面积公式: S=3. 圆锥的侧面积公式:S= =rR (R为母线长,r为底面圆半径) 28.平移要注意 平移方向,平移距离 . 旋转要注意 旋转中心,旋转方向(顺时针、
16、逆时针),旋转角度 .三、统计与概率1(1).所要考察对象的 全体 叫做总体。(2)总体中 每个要考察的对象 叫个体。(3)从 总体 中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。(4)样本中 个体的数目 叫做样本容量。例如:为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况,从中抽取了500名学生测体重,就这个问题来说, (1)7000名学生的体重是总体 (2)每个学生的体重是个体 (3)500名学生的体重是所抽取的一个样本 (4)样本容量是5002. 频率=3.能够清楚地表示出每个项目的具体数目的统计图是 条形统计图 ;能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比的统计图是 扇形统计图 ;能清楚地反映事
17、物的变化情况的统计图是 折线统计图 。4.“三数”: 平均数,中位数,众数.(1)在一组数据中, 出现次数最多的数据 叫做这组数据的众数。(2)将一组数据按 从小到大(或从大到小) 依次排列,如果数据的个数为奇数,把处在中间 位置的一个数据叫做中位数;如果数据的个数为偶数, 把处在中间位置两个数的平均数 叫做中位数。(3)在实际问题中求得的平均数、众数和中位数,不要漏写 单位 。6. “三差”: 极差,方差,标准差(1) 一组数据中最大与最小两个数据的 的差叫做极差.(2)方差: (3)标准差: (4)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的仅是这两组数据的个数相等,平均数相等或比较接近时的情况. 方差大 的数据波动较大, 方差小 的数据波动较小.8.画树状图或列表求概率举例:小红家有橘子和苹果两种水果,她和妈妈任意选择其中的一种.请你用列表或画树状图的方法计算以下事件发生的概率. (1) 求两人都选择苹果的概率.(2) 求两人选择同一种水果的概率.
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