数学建模钢管订购和运输.docx

1、数学建模钢管订购和运输钢管的订购和运输优化模型摘要本文建立的多元非线性优化模型。 问题一在保证天然气管道铺设可以顺利实 施的情况下， 给出了钢管的订购与运输总费用最小的方案。 在求钢管由钢厂运输 到站点的费用和铺设钢管时产生的运输费， 根据图一，我们通过深度优先遍历的 方法对整个图一进行路径搜索， 然后根据每条搜索到的路径上的铁路和公路上的 不同权重， 找到了各个钢厂到各个天然气管道上的站点的最佳路径。 对于整个优 化过程我们给出了相关的算法，并用 matlab 软件编程，经过一系列计算之后， 得出了最优的订购与运输方案。 对于问题 1 ，我们求得的最优解为 （具体方案见 表五）：总费用800

2、80010000119011810对于问题 2 我们经过计算比较得出： S6钢管销价的变化对购运计划和总费用影响最大。 S1 的生产上限的变化购运计划和总费用影响最大对于问题 3 ，当天然气管道呈现的是一个树状图的时候，我们得到的最优解 为（具体方案见表六） :总费用80080010000145018530关键字：非线性优化 深度优先遍历 最佳路径 一、问题重述要铺设一条 A1 A2 A15的输送天然气的主管道 , 如图一所示 （ 见下页） 。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有 S1,S2, S7 。图中粗线表示铁 路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道 （ 假设沿管道或者原来有公路，

3、 或者建有施工公路 ） ，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字 表示里程 （ 单位 km）。为方便计， 1km主管道钢管称为 1 单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500个单位。钢厂 Si在指定 期限内能生产该钢管的最大数量为 si个单位，钢管出厂销价 1 单位钢管为 pi 万元，如下表：1234567800800100020002000200030001601551551601551501601 单位钢管的铁路运价如下表：里程 (km)300301350351400401450451500运价（万 元）2023262932里程 (km)50160060170

4、07018008019009011000运价（万 元）37445055601000km以上每增加 1 至 100km运价增加 5 万元。公路运输费用为 1 单位钢管每公里 0.1 万元（不足整公里部分按整公里计 算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点 A1,A2, , A15 ，而是管道 全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费 用）。（2）请就（ 1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费 用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最 大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图

5、，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（ 1）的要求给出模型和结果。290A3301 A2A1二、模型假设1、假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路；2、运费只按铁路、公路里程收取，即不考虑火车、汽车由于停靠站等其他 一切外因带来的费用；3、钢管在铺设过程中以 1km 为单位进行铺设；4、钢管可由铁路、公路运往铺设路线任一地点；5、所有钢管在指定期限内都能按时生产并运送指定地点；6、钢管铺设过程中由站点向左右两边进行铺设。三、符号说明Si ：第 i 个厂 i 1,2 7 ；Aj ：第 j 个站点 j 1,2 15 ；mij : Si向 A j运送的钢管

6、量 单位（ km）；max i : Si 在指定期限内的最大生产量 单位（ km）；Rj : A j向右铺设的钢管量 单位（ km）；L j :A j向左铺设的钢管量 单位（ km）；Dj : Aj到Aj 1间的距离1,2 14 单位（ km）；D0 : 管道全线总长 单位（ km）；Pi : Si钢管出厂销价 i 1,2 7 单位（万元 /单位）；Tij : Si向Aj运送一单位钢管所需的铁路费 单位（万元 /单位）；Dij : Si向Aj运送一单位钢管所需的公路费 单位（万元 /单位）；M ：购买钢管所花的总费用；Y : 由厂到站点所需运输总费；Y0 ：由站点到铺设地点所需运输总费；W :

7、 订购和运输钢管所需总费用 单位（万元）。四、问题分析问题一是在一定约束条件下的非线性优化问题， 由题意知， 拟建立以总费用 为目标函数来寻求最优解。总费用 W 由钢管的购买费、厂到站点的运输费以及 站点到铺设地点的运输费三部分组成。 一、钢管的购买费可由在每个厂的购买 量与每个厂的出厂销价的线性运算得到 。在每个厂购买的钢管量必须大于 500km ，否则则不在该厂购买。可以构造一个 1 7的矩阵 S，那么当 Si为 0时， 表示不在第 i 个钢厂购买，否则则在第 i 个钢厂购买大于 500km的钢量。二、要 求得每个钢厂到站点的运输费需先知道每个厂到各个站点的钢管输送量， 以及所 选择的路线

8、即铁路总长和公路总长， 所以需要首先计算出各个钢厂到每个站点的 最佳运输路径， 使得平均单位公里的运输费用最小。 但是由于铁路每公里的运输 费用不是线性变化， 而是变化不均匀的分段函数。 在这里， 我们利用深度优先遍 历，找到某个厂到达各个站点的所有路径， 然后根据每条路径的铁路和公路里程 数计算出平均每公里运输费用最小的一条。 以此类推， 计算出所有钢厂到所有站 点的最佳路径。 三、在站点到铺设地点的运输费问题上，如果我们认为车边向 前走边进行铺设，即边走边将钢管放下，那么就需要通过积分来计算。但是，尽 管用积分算下来结果会很精确， 但在实际中不可能这样实施。 另外，这也与题目 中不足整公里

9、的按整公里计算相矛盾。所以，我们假设以 1km为单位进行铺设， 即铺设中车每向前开 1km便将 1km的钢管放下。 由于铺设管道是线型的， 除了两 个端点外，每个站点需要往两边进行铺设管道。所以，假设第 j 个站点往左、右 边铺设管道为 Rj和Lj 公里，则由站点到铺设地点的运输费就可以通过等差数列 求和得到。 问题二即为对问题一中模型的灵敏度分析， 在讨论各厂的钢管销价和生产上 限对购运计划和总费用的影响时，只让其中一个量变化，其他一切条件皆不变，即逐个变量单独分析问题三即为问题一中模型的推广， 在问题一的基础上将站点向左右两边铺设 变为向三个方向铺设，按问题一处理即可。五、模型建立（问题一

10、） 总费用 W 由钢管的购买费 M 、厂到站点的运输费 Y 以及站点到铺设地点的 运输费 Y0三部分组成，则在第i个厂的购买费应为 15个站点在第 i 个厂的购买总量与该厂销价的乘积 15总和，即 M ij Pj ，则总购买费j1第i个厂向第 j个站点的运输费为运送量 mij 与运送1单位所需铁路费和公路15费的和的乘积， 第i 个厂向各个站点运送钢管的总运费即为 mij Tij Gij ，则各j1厂到站点的运输费 要算出钢管由站点运送到铺设地点的费用 Y0 需知道钢管按何种方式进行铺 设的。在问题分析里一讨论边走边铺与实际不符， 且有违题目条件， 所以我们假 设钢管在铺设过程中以 1km 为

11、单位进行铺设，且由站点向两边进行铺设， 则Y0可 由等差数列求和公式得到，即由于一个钢厂如果承担制造这种钢管， 至少需要生产 500 个单位，且各厂在 指定期限内有生产上线，则在第 i 个厂的购买总量需满足15 15500 mij max i 或 mij 0j 1 j 1钢管由站点向左右两边进行铺设， 则第 j 个站点向右铺设部分与第 j 1 个站 点向左铺设部分之和应为两站点之间的管道长度， 且第一个站点向左铺设部分与 最后一站点向右铺设部分都为 0，即第 j 站点向左铺设部分与向右铺设部分之和应为七个厂向第 j 站点输送钢管总量，即综合考虑钢管的购买费 M 、厂到站点的运输费 Y 以及站点

12、到铺设地点的运 输费 Y0 ，钢管的订购和运输优化模型建立如下：目标函数mij max i 或 mij 01 j 1、公路相互交错，无法直接选出钢厂到站点的费用最小路线，所 深度优先遍历方法。 首先建立一个 39 维数组，将图一中 39 个交 路、 公路连接的用具体路线长写入数组， 且铁路用负数表示， 公 而没有路线连接的用无穷大代替，最后换算成到各站点的铁路、。六、模型求解由于铁路 以此处我们采用 点两两之间有铁 路用正数表示， 公路总费。全过程通过 matlab 编程完成（程序见附录 ），表一 Si到 Ai的最小费用（单位：万元 /单位）170.7215.7230.7260.7255.72

13、65.7275.7160.3205.3220.3250.3245.3255.3265.3140.2190.2200.2235.2225.2235.2245.298.6171.6181.6216.6206.6216.6226.63811112115614615616620.564.6105.5139.6130.5140.5150.53.1869613112113114121.271.286.2116.2111.2121.2131.264.2114.248.284.279.284.299.29214282625762769614686513351661061569661514556121.2171

14、.2111.276.271.226.238.212817811883731126142192132978728215 15因为 matlab 无法直接对约束条件 500 mij maxi 或 mij 0进行处理，j 1 j 1s.t Rj Lj 1 D j j 1,2 14 通过 matlab 编程（程序见附录）计算结果见表二表二 各厂的生产量及总费用（生产量可小于 500）（单位：单位 、万元）总费用800800100001190.51135.5245由表二可知， S4、 S7的生产量小于 500单位。由于 S4的生产量等于 0，所以不用考虑，直接取为 0；而在 S7 的生产量问题上，有两种

15、处理方式：（1）S7 的生产量为 0；（2）S7 的生产量大于 500单位两种处理方式计算结果见表三表三 各厂的生产量及总费用（单位：单位 、万元）总费用=0800800100001190.51180.50500800800100001185.5885.5500通过以上两种方式的比较，购买和运输最小总费用 min W=1.2786 106 （万元）具体的订购和运输方案见表四。表四 问题一订购和运输方案（不足 1km的按整数计）（单位：单位 、万元）订购量80080010000119011810000000001790000001371410230001497479016600186110116

16、0203002000000002650000000300000000066400000000176176000004150000000860000003330000006210000001650订购总量5171总费用六灵敏度分析（问题二）由于本案例中对模型结果产生影响的因素有很多， 所以我们在此取个关键的 参数进行了灵敏度分析。 模型对这些参数的敏感性反映了各种因素影响结果的显 着性程度。通过对模型参数的敏感性分析， 又可以反映和检验模型的实际合理性。由灵敏度的定义知， 灵敏度是指系统中的参数或外扰的微小摄动对系统某特 性的影响程度，其计算公式如下：参数变化引起系统特性 变化的百分数灵敏度 =

17、参数变化的百分数（1） 对钢厂钢管销价的灵敏度分析 钢厂钢管的销价是此问题的一个重要因素， 钢铁价格的高低可以说直接影响 着总费用和够运计划。 现在对价格做灵敏度分析， 其他一切条件不变， 且在讨论 Si 的销价变化带来的影响时其余各厂的销价不变。我们分别使各钢厂的价格单 独增加 5 万元/单位和减少 5万元/单位，并分别带入上述模型计算，得到此时的 总费用，再利用灵敏度公式计算各种情况的影响程度。结果如下表：表四 各钢厂销价变化产生的影响（单位： 106万元 ）+5 万 元/单 位总费用1.28261.28261.28361.27861.28351.28461.2786灵敏度0.100110

18、.096980.1212200.118800.140780-5 万 元/单 位总费用1.27461.27461.27361.27861.27171.27071.2786灵敏度0.10010.096980.1212200.167290.185350由以上数据可知， S6 钢管销价的变化对购运计划和总费用影响最大。2）对钢厂钢管产量上限的灵敏度分析钢管的供给量也是一个重要的因素，供给量上限的大小将间接影响着总费用和够运计划。在问题一中模型的基础上，由于只有 S1、S2 、 S3的钢管购运量 达到了生产上限， 其余各厂的购运量都离生产上限较远， 因此能够对总费用和购 运计划产生影响的只有 S1、S2

19、 、 S3三个钢厂。我们分别单独给 S1、 S2 、 S3三钢 厂的上限增加 50 个单位和减少 50个单位，同时保持其他两个钢厂生产上限和其 他一切条件不变。 将各种情况带入问题一的模型中计算， 再分别求出各自的灵敏 度。结果见下表：表五 钢厂生产上限的变化带来的影响（单位： 106 万元 ）+50 单位总费用1.27351.27691.2774灵敏度0.06410.02150.0191-50 单位总费用1.28381.28041.2799灵敏度0.06480.02230.0200由上表知， S1 的生产上限的变化购运计划和总费用影响最大七模型的评价与推广（问题三）本模型经过合理的分析，精确

20、的数据输入以及准确的 MATLAB编程，把所有 影响总费用的因素结合在一起， 经过优化，找到的最好方案是非常具有可信性的。 只是本模型还是建立在一些基本假设上的， 而在实际生活中， 由于转运费等其他 因素而带来的影响是不可忽略的，因此，本模型还是有待改进的。1. 如果天然气管道铺设的路线不是一条线， 而是各种类型的树形图或者其他 更复杂的形状，或者有 n 个钢厂， n 个火车站， n 个站点，通过本模型的思想， 都是可以解决问题的。如本题中的问题三， 同样通过找到钢厂与各个站点之间的联系， 先确定最优 运输路线，结合各类约束条件，利用 MATLAB编程，就可以得到最小的总费用。 与问题一不同的

21、是此时有的站点可以向三个方向进行铺设所以在问题一模型的 基础上稍作改变即可，在此假设各站点向三方向铺设， D jk代表第 j 站点向第 k方向铺设的钢管量（ k=1，2，3）。则模型建立如下： 目标函数7 21 7 21 min W ( mij Pj ) + mij Tiji 1 j 1 i 1 j 121500 mijj121maxi 或 mij 0j1s.t20Dh D021 21以上模型求解时在 500 mij max i 或 mij 0 的处理上同问题一一样，j 1 j 1通过 matlab 编程（程序见附录）计算求得最小总费用 W=1.4148 106 万元，具 体方案见表六。表六

22、问题三订购和运输方案 （不足 1km的按整数计）（单位：单位 、万元）050000001750000001231380246001507087016100190127700228001950006002650000000300000000066500000000188162000004160000000860000003330000006220000001650004000000000205000000065000000700000002500000001000订购量80080010000145018530订购总量5903总费用2. 本建模的思想不仅可以用于钢管的运输来进行天然气管道的铺设，

23、还可以用于其他领域诸如煤炭的运输来提供电力等。参考文献【1】 陈宝林, 最优化理论与算法 , 清华大学出版社 ,1989【2】 裘宗燕 ,数学软件系统的应用及程序设计 , 北京大学出版社 ,1994【3】 许波，Matlab 工程数学应用，清华大学出版社， 2001附录 1function f=result(t)% 求解问题 1ticx0=zeros(8,15);vlb=zeros(8,15);m=zeros(1,7);s=800 800 1000 2000 2000 2000 3000;s(t)=s(t)-50;N=1 1 1 0 1 1 0;%每公里钢管从 Si到达 Ai站点的最小费用C=

24、330.7 320.3000 300.2000 258.6000 198.0000 180.5000 163.1000181.2000224.2000252.0000256.0000 266.0000281.2000288.0000302.0000;370.7 360.3000 345.2000 326.6000266.0000249.6000241.0000226.2000269.2000297.0000301.0000 311.0000326.2000333.0000347.0000;385.7 375.3000 355.2000 336.6000276.0000260.5000251.0

25、000241.2000203.2000237.0000241.0000 251.0000266.2000273.0000287.0000;420.7 410.3000 395.2000 376.6000316.0000299.6000291.0000276.2000244.2000222.0000211.0000 221.0000236.2000243.0000257.0000;410.7 400.3000 380.2000 361.6000301.0000285.5000276.0000266.2000234.2000212.0000188.0000 206.0000226.2000228.

26、0000415.7405.3000 385.2000 366.6000 306.0000 290.5000 281.0000271.2000234.2000212.0000201.0000 195.0000176.2000161.0000178.0000;435.7 425.3000 405.2000 386.6000326.0000310.5000 301.0000291.2000259.2000236.0000226.0000 216.0000198.2000186.0000162.0000;options=optimset( LargeScale ,off ,Algorithm ,active-set ,MaxFunEvals ,50000); %,Tolx,1.0000e-032);