控制原理CHAPTER4.pps

1、第四章 第四章 根轨迹法根轨迹法 4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-2 4-2 根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法4-3 4-3 其它形式的根轨迹其它形式的根轨迹其它形式的根轨迹其它形式的根轨迹4-4 4-4 增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环零极点对根轨迹的影响增加开环零极点对根轨迹的影响4-5 4-5 闭环零极点分布与系统性能指标闭环零极点分布与系统性能指标闭环零极点分布与系统性能指标闭环零极点分布与系统性能指标4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹

2、的基本概念根轨迹法根轨迹法：在已知系统开环传递函数的极点、零点分布的基础上，研究某个或某些参数变化对系统闭环特征根分布的影响的一种图解方法。特点：是一种图解方法；利用开环极点和开环零点确定闭环极点。1.开环零点、极点及根迹增益开环零点、极点及根迹增益)1).(1()1).(1()()(11sTsTssKsHsGnm开环传函开环传函控制系统方框图一般为：控制系统方框图一般为：)1).(1()1).(1(.1111nmnmTsTsssTTK)()()()(11nmpspszszskK 为系统的开环增益为系统的开环增益k 为系统开环根迹增益为系统开环根迹增益mizii,2,1,1称为开环零点njTp

3、jj,2,1,1称为开环极点2.闭环根与开环传递函数的关系闭环根与开环传递函数的关系0)()(1sHsG 闭环特征方程为：闭环特征方程为：整理，得整理，得0)()()()(11mnzszskpsps0)()()()(111nmpspszszsk也即也即,nm所以：所以：闭环特征方程 闭环特征方程=开环传函分母 开环传函分母+开环传函开环传函分子 分子=0上式的解就是闭环根，上式的解就是闭环根，闭环根也叫闭环极点闭环根也叫闭环极点。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:kssksRsC)1()()(系统特征方程为系统特征方程为:02kss解方程得闭环特征根解方程得闭环特征根:ksks4121

4、21412121213.根轨迹绘制举例（解析法）根轨迹绘制举例（解析法）系统结构如图系统结构如图：k1/4，为一对共轭复根。为一对共轭复根。k k取不同值对应的闭环根取不同值对应的闭环根 s1,s2-0.5-j -0.5-j0.5-0.5-0.854-1S2-0.5+j -0.5+j0.5-0.5-0.146 0S1 1/2 1/4 1/8 0kk=0k=0 k=0.25k=0.5k=0.5k=1.25k=1.25根轨迹：根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从 0 到+变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S 平面）上描绘的一些轨迹。4-2 4-2 根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法

5、根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法一、根轨迹方程一、根轨迹方程其特征方程为其特征方程为:0)()(1SHSG1)()(SHSG向量形式表示为向量形式表示为:1)()()()(SHSGSHSG,.)2,1,0()12(1801)()(llsHsG幅角条件：幅角条件：设系统结构如图：设系统结构如图：11)()(sHsG幅值条件幅值条件：规定：幅角以逆时针方向为正。规定：幅角以逆时针方向为正。幅角条件及幅值条件又可写成幅角条件及幅值条件又可写成：kpspszszsnm1.11)12(180)()()()(11lpspszszsnm幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。用幅值条

6、件确定相应的 用幅值条件确定相应的 k 值。值。说明：说明：例例 4-1 设系统的开环传函为设系统的开环传函为:1)利用幅角条件利用幅角条件-P1-P3-Z1-P2S126O79O45O18026-79-120-45 )()()()(31211111pspspszs120O解解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以所以)6.6)(2()4()()(sssssHsGk检验点检验点 s1=1.5+j2.5 是否是否在根轨迹上在根轨迹上;并确定与其相对应的 并确定与其相对应的 k 值。值。2)由幅值条件求由幅值条件求 s1相对应相对应的 的 k 值值15.126.3

7、8.56.29.246.621111ssssk =12.15k二、根轨迹的绘制规则二、根轨迹的绘制规则 结论结论:根轨迹的起点为系统的开环极点，根轨迹的起点为系统的开环极点，终终点点 是开环零点。若是开环零点。若 m n，则有则有n-m 条根轨条根轨 迹终止于无穷远处。迹终止于无穷远处。1.根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 当当 k=0 时时,).2,1(njpsj).2,1(mizsi当当 k 时时,j起点起点终点终点规定：根轨迹起始于规定：根轨迹起始于 k=0 的点的点，终止于终止于 k 的的点。点。由幅值条件由幅值条件kpspszszsnm1.11开环极点开环极点开环零点开环零点2.

8、根轨迹的分支数根轨迹的分支数 4.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根轨迹的分支数等于开根轨迹的分支数等于开环极点数，也等于闭环特征根的个环极点数，也等于闭环特征根的个数数 n。试探点试探点 S1满足幅角条件，是根轨满足幅角条件，是根轨迹上的点；迹上的点；jjS13.根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。)12(180)()(11lpszsnjjmii由幅角条件由幅角条件：结论：实轴上属于根轨迹的部分，结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边零、极点个数为奇数。其右边零、极点个数为奇数。S2S2点不满足幅角条件，所在的线点

9、不满足幅角条件，所在的线段不是根轨迹的部分。段不是根轨迹的部分。复数极、零点对实轴上复数极、零点对实轴上的根轨迹没有影响的根轨迹没有影响 5.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线),2,1,0()12(180lmnlmnzpmiinjj11)()(结论：如果结论：如果 mn，则当则当 k 时，伸向无穷远处根时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线在实轴上共交于一点，其坐标是轨迹的渐近线在实轴上共交于一点，其坐标是:j60ojS1123)12(180321l3)12(180l当 s 时，321交角为：交角为：j会合点会合点Converging pointj分离点分离点Breakaway point(1)重根法重根

10、法0)()(dssHsGd(2)用幅角条件用幅角条件minjjipz11011一般情况下一般情况下,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点两个极点间的根轨迹上必有一个分离点,两个零点间的根轨迹上必有两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。一个会合点。一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点，特殊情况下两者同时存在。，特殊情况下两者同时存在。计算方法：计算方法：6.根轨迹的分离点及会合点 根轨迹的分离点及会合点 3.3.根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。5.渐近线渐近线6.分离点和会合点分离点和会合点4.实轴上的根轨迹分布实轴上的根轨迹分布解 按照绘制根

11、轨迹的基本规则解 按照绘制根轨迹的基本规则,有 有 1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图.-1-2-32.根轨迹有两条分支根轨迹有两条分支。画极点画极点画零点18012)12(180l0123)21(11mnzpnjmiij分离点会合点23aaaa211131例例 4-2 已知一系统的开环传递函数为已知一系统的开环传递函数为:试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。)2)(1()3()()(sssksHsG321aaak =0.172k =5.818k7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点(1)(1)用用 s=js=j代入求代入求0)14()510(32jk 例例 4-36)2)(1()()

12、(2sssHsGk系统的特征方程为系统的特征方程为 06)2)(1(1)()(12ssksHsG以以 s=j 代入代入 06)2)(1(2kss6074.314kj-j3.74j3.74=0=0因此因此,与虚轴交点的坐标为与虚轴交点的坐标为 j3.74(2)(2)用劳斯判据求 用劳斯判据求 将系统特征方程展开为将系统特征方程展开为:0)10(14523Ksss=0 K=60 07052s74.32,1js10+K 劳斯阵列表为劳斯阵列表为:3s1 14 2s5 1s5)10(70K0s10+K 例例 4-4 若一控制系统的开环传递函数为若一控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹求该系统的

13、闭环根轨迹。)2)(1()()(sssKsHsG解:1.1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图-1-22.实轴上的根轨迹分布。实轴上的根轨迹分布。3.渐近线和实轴的交点渐近线和实轴的交点。103210180,6003)12(180l4.分离点和会合点分离点和会合点。舍去）故可得(58.142.002630)()(212ssssdssHsGd-0.425.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。kskskssksssksss01232336321023)2)(1(=0k=60632sj1.414k=6k=6-j1.414414.122,1jjs8.复数极零点的出射角和入射角 复数极零点

14、的出射角和入射角)()12(180zipjplj1p2p1z)()12(180jipzzlpzj1z(1)出射角出射角The angle of locus departure from a pole(2)入射角入射角The angle of locus awival at complex zeros33.5o63.5o135o90o180)12()5.3390135(5.63ljipz37515)5.3390135(5.63180或例例 4-5 已已知知4)2)(5()3()()(2ssssKsHsG，试求出射角，试求出射角。)22)(22)(5()3()()(jsjssssKsHsG解：系统

15、满足系统满足 n m2 时，闭环极点之积可表示为时，闭环极点之积可表示为：系统满足系统满足 n m2 时时系统闭环极点之和等于开环极点之和。系统闭环极点之和等于开环极点之和。9.闭环极点之和 闭环极点之和 10.闭环极点之积闭环极点之积 )()(11njjnjjps即：miinjjnjjzkps111若有极点在原点，则若有极点在原点，则miinjjzks11若没有开环零点，则若没有开环零点，则11miiz三、根轨迹绘制举例三、根轨迹绘制举例例例 4-6 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环传递函数为，试绘制根轨迹图。，试绘制根轨迹图。)50)(20)(5()125.0()()

16、(2sssssksHsG5.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:=8.16,k=8.65104。2.实轴上根轨迹分布。实轴上根轨迹分布。4.分离点和会合点分离点和会合点。1.1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图3.渐近线渐近线:-18.7,45，135（1）略去远离原点的极点）略去远离原点的极点：分离点分离点 0 ；会合点；会合点-0.25（2）求远离原点的分离点：）求远离原点的分离点：-2.26,-40.32)125.0()()(ssksHsG)50)(20)(5()()(ssssksHsG14111111mnzpnjmiij135454)12(180或l1.1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图2.根轨迹有四条分支。根轨迹有四条分支。3.根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。例例 4-7 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环传递函数为解解:-13110101230)181)(181()1(3,21232jsssssdsjsjssd解上式得得由分分离离点点ksksksskskssss190144484191404041924101940244012