中考数学复习第16讲三角形的基本知识及全等三角形.docx

1、中考数学复习第16讲三角形的基本知识及全等三角形第16讲 三角形的基本知识及全等三角形考点1 三角形的概念及其分类考点2 与三角形有关的线段高 三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于 ；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.中线三角形的三条中线相交于 ，每一条中线都将三角形分成面积 的两部分.角平分线三角形的三条角平分线相交于 ，这个点是三角形的 ，这个点到三边的距离 .三边关系三角形的两边之和 第三边，三角形的两边之差 第三边.稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.三角形的中位线定义连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线.性质三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的

2、 .考点3 与三角形有关的角定理三角形三个内角的和等于 .推论直角三角形的两个锐角 .三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 .考点4 全等三角形的性质与判定性质全等三角形的对应边 ，对应角 .判定判定1：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)；判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)；判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”);判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)；判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“

3、HL”).【易错提示】“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等. 1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可. 2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.命题点1 三角形中的线段例1 不一定在三角形内部的线段是( ) A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.三角形的中位线【思路点拨】不管是哪种类型的三角形，三角形的角平分线、中线和中位线都在三角形内部，但是锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的一条高在三角形内部

4、，其余两条高与直角边重合，钝角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部.方法归纳：解答本题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线和中线的画法.1.(2013温州)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( ) A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,112.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.53.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是( ) A.中线 B.角平分线 C.高 D.中位线命题点2 三角形中

5、的角例2 (2013海南改编)如图，ABCD，AEAF，CE交AB于点F，C110，求A的度数.【思路点拨】根据“两直线平行，同位角相等”求出EFB的度数，进而求出AFE，根据“等边对等角”求出E的度数，根据三角形内角和定理求出A的度数.【解答】方法归纳：当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其他角；当该角是一个三角形的外角或内角时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行计算.1.(2013龙岩)如图，ABCD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点.若B65，MDN135，则AMB .2.(2014邵阳)如图，在ABC中，B46，C54,AD平分BAC，交BC于D，DEA

6、B，交AC于E，则ADE的大小是( ) A.45 B.54 C.40 D.503.(2014威海)如图，在ABC中，ABC50，ACB60，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BC与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( ) A.BAC70 B.DOC90 C.BDC35 D.DAC55命题点3 三角形的中位线例3 (2014湘潭)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=( ) A.7.5米 B.15米 C.22.5米 D.30米【思路点拨】因为DE是ABC的中位线，利用中位线定义求AB的长.

7、方法归纳：解答本题的关键是要依据题目条件，活用中位线定理的结论.1.(2014泸州)如图，等边ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则DEC的度数为( ) A.30 B.60 C.120 D.1502.如图，D是ABC内一点，BDCD,AD=6,BD=4,CD=3.E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是( ) A.7 B.9 C.10 D.113.如图，在ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若ABC的周长为12 cm，则DEF的周长是 cm.命题点4 全等三角形的性质与判定例4 (2014福州)如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=

8、DC，B=C.求证：A=D.【思路点拨】A与D分别在ABF和DEC中，直接证明ABF和DCE全等即可.【解答】方法归纳：证明两条边或两个角相等时，若两条边或两个角分别在两个三角形当中，通常证明这两条边或两个角所在的三角形全等.1.(2014南充)如图，AD、BC相交于O，OA=OC,OBD=ODB.求证：AB=CD.2.(2014宜宾)如图，已知：在AFD和CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，B=D，ADBC.求证：AD=BC.3.(2014泸州)如图正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AEBF，垂足为G，求证：AE=BF.1.小华在电话中问小明：“已知一个三角形

9、三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )2.(2013襄阳)如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，B40，ACD120，则A等于( ) A.60 B.70 C.80 D.903.(2014枣庄)如图，ABCD，AE交CD于C，A=34，DEC=90，则D的度数为( ) A.17 B.34 C.56 D.1244.(2013河池)一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( ) A.6 cm B.12 cm C.18 cm D.36 cm5.(2014益阳)如图，平

10、行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使ABECDF，则添加的条件不能是( ) A.AE=CF B.BE=FD C.BF=DE D.1=26.(2014广州)ABC中，已知A=60,B=80,则C的外角的度数 .7.(2014长沙)如图，点B，E，C，F在一条直线上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= .8.(2014温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若ABCD，1=45，2=35，则3= 度.9.(2013娄底)如图，AB=AC，要使ABEACD，应添加的条件是 .(添加一个条件即可)10.(2014连云港)如图，ABCD，1=62，FG平分E

11、FD，则2= .11.(2013威海)将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D,已知A=EDF=90,AB=AC,E=30,BCE=40,则CDF= .12.(2014威海)如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC6，AB10，ACB90，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 .13.(2014十堰)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE.求证：B=C.14.(2014武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证：DCAB.15.(2014宜昌)如图，在RtABC中，ACB=90,B=30,AD平分CAB.(1)

12、求CAD的度数；(2)延长AC至E，使CE=AC,求证:DA=DE.16.(2014杭州)在ABC中，AB=AC，点E,F分别在AB,AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，求证：PB=PC，并请直接写出图中其他相等的线段.17.(2014泰安)如图，ACB=90，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD,过点B作BFDE，与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.1018.(2013达州改编)如图，在ABC中，A=m，ABC和ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC和A1CD的平分线交于点A2，得A2；A2 014BC和A2 014CD的

13、平分线交于点A2 015，则A2 015= 度.19.(2014苏州)如图，在RtABC中，ACB=90,点D，F分别在AB，AC上，CF=CB.连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE，连接EF.(1)求证：BCDFCE;(2)若EFCD，求BDC的度数.20.(2013佛山)课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；(2)证明推论AAS.要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据.21.(2014内江)如图，点M、N分别是

14、正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BMCN，AM交BN于点P.(1)求证：ABMBCN；(2)求APN的度数.参考答案考点解读首尾顺次 锐 直 钝 等边 锐角 直角顶点 一点 相等一点 内心 相等 大于 小于 中点 平行 一半 180互余 和 相等 相等各个击破例1 C题组训练 1.C 2.C 3.A例2 ABCD，EFBC110，AFE180-11070.又AEAF，EAFE70，A180-E-AFE180-27040.题组训练 1.70 2.C 3.B例3 D题组训练 1.C 2.D 3.6例4 证明：BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在ABF和DCE中， ABFD

15、CE，A=D.题组训练 1.证明：OBD=ODB，OB=OD.在AOB和COD中， AOBCOD(SAS)，AB=CD.2.证明：AE=CF，AF=CE.ADBC，A=C.在AFD和CEB中，AFDCEB(AAS),AD=BC.3.证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=BCF=90，BAE+AEB=90.又AEBF，垂足为G，CBF+AEB=90,BAE=CBF.在ABE与BCF中，ABEBCF(ASA)，AE=BF.整合集训1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.140 7.6 8.809.C=B或AEB=ADC或CEB=BDC或AE=AD或CE=BE10.31 11.25

16、12.1813.证明：在ABE和ACD中，ABEACD(SAS)，B=C.14.证明：在ODC和OBA中，ODCOBA(SAS)，C=A(或者D=B)(全等三角形对应角相等)，DCAB(内错角相等，两直线平行).15.(1)ACB=90,CAB+B=90.又B=30，CAB=60.AD平分CAB,CAD=CAB,CAD=30.(2)证明：ACB=90,DCAE.又CE=AC，DC垂直平分AE.DA=DE.16.证明：ABAC，ABCACB.又AEAF，AA，ABFACE，ABFACE，PBCPCB，PBPC.相等的线段还有BFCE，PFPE，BECF.17.C 18. 19.(1)证明：CD绕

17、点C顺时针方向旋转90得CE,CD=CE,DCE=90.ACB=90,BCD=90-ACD=FCE.在BCD和FCE中，BCDFCE.(2)由BCDFCE得BDC=E.EFCD,E=180-DCE=90,BDC=90.20.(1)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(2)已知：在ABC与DEF中，A=D，B=E，BC=EF.求证：ABCDEF.证明：在ABC中，A+B+C=180，C=180-A-B(三角形的内角和等于180).同理：F=180-D-E.又A=D，B=E，C=F(等式的性质).在ABC与DEF中， ABCDEF(ASA).21.(1)证明：五边形ABCDE是正五边形，ABBC，ABMBCN.在ABM和BCN中，ABMBCN(SAS).(2)ABMBCN，MBPBAP.MBPBMPBPM180，BAPBMAMBA180，BPMMBA.BPMAPN，APNMBA108.