平面图形中地解三角形.docx

1、平面图形中地解三角形利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面图形问题1如图 , D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点 , AC 3DC （I ）若 DAC 30 , 求角 B 的大小；（II ）若 BD 2DC , 且 AD 2 2 , 求 DC 的长2如图，在平面四边形 ABCD 中，AB AD ，AB 1 ，AC 7 ， 2ABC ，3ACD . 3（）求 sin BAC ；（）求 DC 的长.3如图，在四边形 ABCD 中， AB 3, BC 7 3, CD 14,BD 7, BAD 120 （1）求 AD 边的长；（2）求 ABC 的面积4如图，在 ABC中，BC边上的中线 AD长为 3

2、，且 cosB108，cosADC 14.(1) 求 sin BAD的值；(2) 求 AC边的长5如图所示，在平面四边形 ABCD 中， AB AD ， 2 ADC ， E 为 AD 边上一3点， CE 7 ， DE 1 ， AE 2 ，BEC .3试卷第 1 页，总 3 页（1）求 sin CED 的值；（2）求 BE 的长.6 如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD BC ， AC 5 3 ， CD 5 ,BD 2AD .（）求 AD 的长；（）求 ABC 的面积7 设 锐 角 ABC 的 三 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b, c 向 量 m(1, si

3、n A 3cos A) ， n3(sin A, )2，已知 m与 n共线.（1）求角 A 的大小；（2）若 a 2， c 4 3sin B ，且 ABC 的面积小于 3，求角 B 的取值范围 .8 在 ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 对 应 的 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知12 2c a cos B b a b 2（1）求角 A ；（2）若 a 3, 求 b c 的取值范围9（2012?东至县一模）在 ABC中，内角 A、B、C 对边长分别是 a，b，c，已知 c=2，C=（）若 ABC的面积等于 ；（）若 sinC+sin （BA）=2sin2A ，求 AB

4、C的面积10已知 m cos x 3sin x,1 , n 2cos x, y 满足 m n 0（1）将 y 表示为 x的函数 f x ，并求 f x 的单调递增区间；A（2）已知 ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 f 3，且 a 2，求2ABC 面积的最大值试卷第 2 页，总 3 页11 如图，在 ABC 中， AB=12， AC =3 6 ， BC =5 6 ，点 D 在边 BC 上，且ADC 60 （1）求 cosC ；（2）求线段 AD 的长试卷第 3 页，总 3 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1 （I ） B 60；（II

5、）2.【解析】试题分析：（） 由正弦定理求出 sin 3 ADC , 可得 ADC 120；（II ）设 DC x ,2在 ABD 中, 由余弦定理整理出关于 x 的方程 , 解方程求出 DC 2.,AC DC试题解析：（）在 ABC中, 根据正弦定理 , 有 .sin ADC sin DAC又 ADC B BAD B 60 60所以 ADC 120 .于是 C 180 120 30 30 , 所以 B 60 .（）设 DC x , 则 BD 2x , BC 3x , AC 3x.于是sin BACBC33,cos6B , AB 6x.3在 ABD 中, 由余弦定理 , 得2 2 2 2 co

6、sAD AB BD AB BD B ,即2 2 2 6 2(2 2) 6x 4x 2 6x 2x 2x , 得 x 2 .3故 DC 2.考点：正弦定理、余弦定理 .2（）217; （）4 75.【解析】试题分析：（）利用余弦定理，求出 BC 的值，再利用正弦定理即可求 sin ABC ；（）由 AB AD 及（1）可求得 CAD 的余弦值与正弦值，得用三角形内角和定理及两角和与差的正弦公式可求出 sin D ，再利用正弦定理即可求 DC 的长.试题解析： （）在 ABC 中，由余弦定理得：2 2 2 2 cosAC BC BA BC BA B ，即2BC BC 6 0 ，解得： BC 2 ，

7、或 BC 3 （舍），由正弦定理得：BC AC BC sin B 21 sin BAC .sin BAC sin B AC 7（）由（）有：21cos CAD sin BAC ，7 3 2 7sin CAD 1 ， 7 7所以2 7 1 21 3 5 7sin sin ,D CAD3 7 2 7 2 14答案第 1 页，总 8 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。由正弦定理得： 2 77DC AC AC CADsin 7 4 7DCsin CAD sin D sin D 5 5 714.考点： 1. 正弦定理与余弦定理； 2. 三角恒等变换； 3. 三角形内角和定理 .3（1

8、） AD 5；（2） 33 34【解析】试题分析：（1）在 ABD 中，由余弦定理列出方程，即可求解 AD 边的长；（2）在 ABD中，由余弦定理，得求解三角形的面积cos11ABD ，进而得14sin11ABC ，利用三角形的面积公式，14试题解析： （1）在 ABD 中，由余弦定理，得2 2 2 2 cos120BD AB AD AB AD ，即2 2 17 3 2 3AD AD ，解之得 AD 5或 AD 8（舍去），所以 AD 5 ；2（2）由已知，2 2 2BC BD CD ，所以 CBD 90 ，在 ABD 中，由余弦定理，得 ，所以11sin ABC sin ABD 90 cos

9、 ABD ，14所以1 1 11 33 3S AB BC sin ABC 3 7 3 ABC2 2 14 4考点：正弦定理与余弦定理的应用4(1)64; (2) AC 4 .【解析】试题分析： (1) 根据同角三角函数关系式由cos10B ,8cos1ADC 可求得 sin B ,4sin ADC 的值 . 因为 BAD ADC B, 可由正弦的两角差公式求得 sin BAD 的值. (2) 在 ABD 中可由正弦定理求得 BD 的长, 即 DC 的长 , 然后再在 ADC 中用余弦定理求得 AC 的长.试题解析：解： (1) 因为cos10B ，所以8sin 3 6B . 8又cos1ADC

10、 ，所以4sin15ADC ，4所以 sin BAD sin ADC B答案第 2 页，总 8 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。sin ADC cos B cos ADC sin B15 10 1 3 6 64 8 4 8 4(2) 在 ABD 中，由AD BDsin B sin BAD得3 BD3 6 68 4，解得 BD 2 .故 DC 2 ，从 而 在 A D 中 ， 由2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC2 2 13 2 2 3 2 164，得 AC 4 .考点： 1 两角和差公式 ;2 正弦定理 , 余弦定理 .【易错点晴】本题主要考查的是

11、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差公式，属于中档题解题时一定要注意角的范围，三角形内角的正弦值均为正 , 否则很容易失分 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题， 期中关键是三角变换， 而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式5（1）217；（2）4 7 【解析】试题分析：（1）在CDE 中，由余弦定理求解 CD ，再利用正弦定理求出 sin 21 CED ；7（2）利用三角函数的诱导公式与和角公式求出 cos AEB 的值，再在 Rt ABE 中，BE 4 7 试题解析：(

12、 ) 在CDE 中，由余弦定理得：2 2 2 2 cosCE CD DE CD DE CDE ，整理得：2 6 0CD CD 即 CD 2 ，又由正弦定理得CD CEsin CED sin CDE，即2 7sin sinCED23，所以sin 21CED 7( ) 因为 0,CED ，所以3cos2 7CED ，又72AEB CED ，3答案第 3 页，总 8 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。所以2cos AEB cos CED 32 2cos cos CED sin sin CED3 31 2 7 3 212 7 2 7714所以在 Rt ABE 中， 2 4 7BEc

13、os AEB考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用6（） 5 ；（）【解析】75 34.试题分析： ( ) 设 AD x x 0 ，则 BD 2x 因为 CD BC ，CD 5 ， BD 2x ，所以cos CDBCDBD52x， 由 余 弦 定 理 得cos ADC2 2 2 2 52 (5 3) 2AD CD AC x2 AD CD 2 x 5因为 cos ADC cos CDB ，即2 52 (5 3) 2 5x2 x 5 2x解得 x 5 所以 AD 的长为 5 ；（）由( ) AB 3x 15 ，所以1S AB BC sin CBA 可得正确答案 .ABC2试题

14、解析： ( ) 在 ABC 中，因为 BD 2AD ，设 AD x x 0 ，则 BD 2x 在 BCD 中，因为 CD BC ， CD 5 ， BD 2x ，所以 cosCDBCDBD52x在 ACD 中，因为 AD x ，CD 5 ， AC 5 3，由 余 弦 定 理 得2 2 2 5 2 ( 25 3 ) 2A D C D A C xc o As D C 因 为2 A D C D 2 5xCDB ADC ，所以 cos ADC cos CDB ，即2 52 (5 3) 2 5x2 x 5 2x解得 x 5 所以 AD 的长为 5 .（） 由（） 求得 AB 3x 15 ，2BC 4x 2

15、5 5 3 所以cos CBDBCBD32，答案第 4 页，总 8 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。从而sin1CBD , 所以21S AB BC sin CBAABC21 1 75 3 15 5 32 2 4考点：余弦定理及三角形面积公式 .A7（1） 3（2） 0,6【解析】试题分析：（）利用向量平行，得到关于 A 的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角 A的大小；（）通过 a 2，c 4 3sin B ，且 ABC的面积小于 3，得到 B 的余弦值的范围，然后求角 B 的取值范围试题解析：（1）因为 m与 n共线，则sin A(sin A 3 cos

16、 A)32即2 3sin A 3 sin A cos A2所以1 cos 2A 3 3 sin 2A2 2 2即sin 2 1A6A 为锐角，则2A6 2A，所以 3（2）因为 a 2， c 4 3sin B，则1S ac sin BABC21222 4 3 sin B24 3sin B4 31 cos 2B22 3 2 3cos2 B .cos 2B12由已知， 2 3 2 3cos2 B 3 ，即.0 2B 0 B3 6 因为 B 是锐角，所以，即，故角 B 的取值范围是 0,6考点： 1. 三角函数的恒等变换及化简求值； 2. 解三角形【答案】（1）；（2） 3,2 3 .3答案第 5

17、页，总 8 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【解析】试 题 分 析 ：（ 1 ） 由 余 弦 定 理 得cos1A , 所 以2A ；（ 2 ） 利 用 正 弦 定 理 得3b c 2sin B 2sin C , 利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围 .试题解析：（1）12 2c a cos B b a b , 由余弦定理2得2 2 2 2 2 2 2a c b bc a b ,2 2 2a b c bc2 2 2 2 cosa b c bc A , cos A12 A 0, A3a b c（2）由余弦定理得 2sin A sin B sin C, b 2sin

18、B , c 2sin C b c 2sin B 2sin C 2sin B 2sin A B2sin B 2sin A cosB 2cos A sin B3 12sin B 2 cos B 2 sin B2 23sin B 3 cos B 2 3 sin B ；62B 0, , 3 5B , ,6 6 6 1sin B ,1 6 2所以 b c 3, 2 3考点：正弦定理、余弦定理、三角变换 .9（） a=2，b=2；（） S= 【解析】2试题分析：（）由 C的度数求出 sinC 和 cosC 的值，利用余弦定理表示出 c ，把 c 和 cosC的值代入得到一个关于 a 与 b 的关系式， 再

19、由 sinC 的值及三角形的面积等于 ，利用面积公式列出 a 与 b 的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出 a 与 b 的值；（） 由三角形的内角和定理得到 C=（A+B），进而利用诱导公式得到 sinC=sin （A+B），代入已知的等式中， 左边利用和差化积公式变形， 右边利用二倍角的正弦函数公式变形， 分两种情况考虑：若 cosA 为 0，得到 A 和 B 的度数，进而根据直角三角形的性质求出 a 与 b的值；若cosA 不为 0，等式两边除以 cosA，得到 sinB=2sinA ，再利用正弦定理化简得到 b=2a，与第一问中余弦定理得到的 a 与 b 的关系式联立，求出 a 与

20、 b 的值，综上，由求出的 a 与 b答案第 6 页，总 8 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。的值得到 ab 的值，再由 sinC 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC的面积解：（） c=2，C=60 ，2=a2+b 2+b2 2由余弦定理 c 2abcosC 得：a ab=4，根据三角形的面积 S= ，可得 ab=4，联立方程组 ，解得 a=2，b=2；（）由题意sin （B+A）+sin （BA）=4sinAcosA ，即 sinBcosA=2sinAcosA ，；当 cosA0 时，得 sinB=2sinA ，由正弦定理得 b=2a，联立方程组解得 a=

21、 所以 ABC的面积 S= 考点：余弦定理；正弦定理10（1） x k , k ,( k Z ) 即为 f (x) 的单调递增区间； （2） ABC 面积的最3 6大值为 3.【解析】试题分析：（1）根据数量积的坐标表示建立关于 x, y 的等式关系， 再借助两角和与差的正余A弦公式化简可得 f x 的表达式； （2）先求 ( ) 3 f , 确定出角 A 的大小，再根据 a 2,2利用余弦定理可知2 2 2 2 cos 2 2 2a b c bc A b c bc bc bc bc , 从而求出 bc 的最大值，进而得到面积的最大值试 题 解 析 ： 解 ：（ 1 ）2m n 2cos x

22、2 3sin x cosx y 3sin 2x cos2x 1 y2sin 2 1 0 f x x ，x y ，所以 2sin 2 16 6令 2x 2k ,2 k ，得 , ,x k k k Z 6 2 2 3 6答案第 7 页，总 8 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。f x 的单调递增区间是 k ,k , k Z 3 6A（2） f 2sin A 1 3， sin 1 A ，2 6 6又7A , ，6 6 6A ，6 2A 3在 ABC 中由余弦定理有，2 2 2 2 cos 2 2 2a b c bc A b c bc bc bc bc可知 bc 4 （当且仅当 b

23、 c 时取等号），1 1 3S bc sin A 4 3 ，即 ABC 面积的最大值为 3 ABC2 2 2考点： 1三角恒等变换； 2余弦定理； 3三角函数的性质11（1）【解析】13；（2） AD 8试题分析：（1）利用余弦定理的变式； （2）在 ACD 中利用正弦定理即可求解试题解析：（1）根据余弦定理：cos C2 2 2AC BC AB2AC BC2 2 2(3 6) (5 6) 12 12 3 6 5 6 3；（2）因为 0 C，所以 sin C 0，2 1 2 2 2sin C 1 cos C 1 ( )3 3，根 据 正弦 定理 得 ：AD ACsin sinC ADC ，ADAC sin Csin ADC8 考点：正余弦定理解三角形答案第 8 页，总 8 页