衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷分科综合卷理科数学(三)Word版含答案.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z ( 2 + i )= 3 + i （ i为虚数单位），其共轭复数为z，则z为（） A7 1 - i 5 5B-7 1 - i 5 5C7 1 + i 5 5D-7 1 + i 5 52.已知cos (p-a)=（） A1 p 2，sin +b=（其中，a，b （0, p ） ），则sin (a+b)的值为3 2 34 2- 5 9 -4 2 + 5 9B4 2+ 5 9 -4 2 - 5 9CD23.已知集合A = x

2、 R x - 3x - 4 0，B = x R x a，若A U B = B，则实数a的取值范围为（） A( 4, +) B 4, +) C(-, 4) D(-, 44.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为测试4次，至少有3次通过的概率为（） A4，则连续5512 6252 2B256 625C.64 625D64 1255.已知1 +2 =2 3 5 4 5 9 3 4 7 2 2 3 2 2 2 2，1 + 2 + 3 =，1 + 2 + 3 + 4 =，L，若6 6 612 + 22 + 32 + 42 +L+ n 2 = 385 ( n N * )，则n

3、的值为（）A8 B9 C.10 D116.已知椭圆x2 y 2 += 1( a b 0 )的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若a 2 b2uuuuruuur NM NF =0，则椭圆的离心率为（）A3 2B2 -1 2C.3 -1 2D5 -1 27.将函数f ( x )= sin 2x图像上的所有点向右平移p4个单位长度后得到函数g ( x )的图像，若g ( x )在区间 0, a 上单调递增，则a的最大值为（）Ap8Bp4C.p6Dp28.如图是计算99 1 1 1 1的程序框图，若输出的S的值为，则判+L+ 100 1 2 2 3 3 4 n ( n + 1)断框中应填入的条件是（

4、）A n 98?B n 99?C. n 100?D n 101?9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（） A350升B339升 C.2024升D2124升A6 3+4 3+ 6B6 6+2 3+ 6C.6 2+3

5、 3+2 6D6 4+3 3+2 611.如图所示，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 2，P为边AB的中点，现将DDAP绕直线DP翻转至DDA P处，若M为线段A C的中点，则异面直线BM与PA 所成角的正切值为（）A1 2B2C.1 4D 412.若函数y = f ( x )图像上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点( A, B )为函数，且点对( A, B )与( B, A)可看作同一个“孪生点对”.若函数y = f ( x )的“孪生点对”2, x 0)与抛物线C交于A，B两点. （1）若直线l过焦点F，且与圆x +( y - 1)= 1交于D，E （其中A，D在y轴同侧）两2

6、 2点，求证：AD BE是定值；（2）设抛物线C在点A和点B处的切线交于点P，试问在y轴上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率和点Q的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数f ( x )= a ( x - 1)+ ln x，a R .2（1）当a = 2时，求函数y = f ( x )在点P 1, f (1)处的切线方程；()（2）当a =-1时，令函数g ( x )= f ( x )+ ln x - 2x +1 + m，若函数g ( x )在区间 , e 上有e两个零点，求实数m的取值范围.1 请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

7、一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知点P ( 2+cos a ,sin a)（a为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为r sin q+（1）求点P的轨迹C的方程及直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f ( x )= 5 - x + 1 - x - 2 .p=22. 4（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数y = f ( x )的图像；（2）记函数y = f ( x )的最大值为M，是否存在正数a，b，使2a + b =M，且若存在，求出a

8、，b的值，若不存在，说明理由.1 2 +=3，a b试卷答案一、选择题1-5:CABAC 6-10:DDBDB 11、12：AA二、填空题13.1814. FG =-uuurr 5 uuur 5 uuu AB - AD 12 615. （1, 3 + 116. 1 -1 2 -12n三、解答题17.解：（1）由(sin A - cos A) cos C +( cos A + sin A) sin C =2，可知sin A cos C - cos A cos C + cos A sin C + sin A sin C = 2，即sin ( A + C )- cos ( A + C )=即22 s

9、in B + cos B = 2， 2 2 p sin B + cos B = 2 sin B += 1 . 2 2 4因为在DABC中，B ( 0, p)，所以B +p4=p2B=p4，所以S DBCD =1 1 p 2 BC BD sin B = 2 2 2 sin = 2 2 =2. 2 2 4 2（2）在DBCD中，由余弦定理，可知DC = BD + BC - 2BD BC cos B2 2 2= 8 + 4 - 2 2 2 2 cosp4= 8 + 4 - 2 2 2 22 =4，2所以DC = 2，所以DC = BC，所以BDC =p . 4又由已知DA = DC，得A =p，8故

10、角A的大小为p8.18.解：（1）在DPAB中，因为AB = 4，PA = 4 2，PAB = 45，o所以由余弦定理，可知PB = AB + AP - 2 AB AP cos PAB2 2 2= 16 + 32 - 2 4 4 2 2 = 16，22 2 2所以PB = 4 .故PB + BA = PA，即有PB BA .又因为平面PAB 平面ABC，且平面PAB I平面ABC = AB，PB 平面PAB，所以PB 平面ABC .又AC 平面ABC，所以PB AC . 又因为AC CB，PB I CB = B，所以AC 平面PBC . （2）过点B作BD PC，垂足为D，连接AD . 由（1

11、），知AC 平面PBC，BD 平面PBC，所以AC BD .又PC I AC = C，所以BD 平面PAC，因此 BPD即为直线PB与平面PAC所成的角. 又由（1）的证明，可知PB 平面ABC，又BC 平面ABC，AB 平面ABC，所以PB BC，PB BA，故ABC即为二面角A - PB - C的平面角，即ABC = 60 .o故在Rt DACB中，由AB = 4，得BC = 2 . 在Rt DPBC中，PC =PB2 + BC2 = 16 + 4 = 2 5，且PB BC = PC BD 4 2 = 2 5 BD BD =4 5 . 5BD =因此在Rt DPBD中，得sin BPD =

12、 PB故直线PB与平面PAC所成角的正弦值为4 5 5 = 5，4 55 . 519.解：（1）由题意，可知x =1 (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 )= 4，6y=61 (15 + 13 + 12 + 10 + 9 + 7 )= 11 . 6( x - x )( y - y )=(-3) 4 +(-2) 2 +(-1)1+1(-1)+ 2(-2)+ 3(-4) = - 34，i =1 6 i i( x - x )=(-3)+(-2)+(-1)2 2 2 i =1 i2+ 12 + 22 + 32 = 28，所以b =( x - x )( y - y )6 i =1 i i( x

13、 - x)6 i =1 i2=-34 17 =-，28 14所以a = y - b x = 11 +17 111 4 =，14 7故该葡萄每株收获量y关于它“相近”葡萄的株数x的线性回归方程为y =-17 111 x+ . 14 7y的方差为s2 =1 2 2 2 =7. (15 - 11)+(13 - 11)+(12 - 11)+(10 -11)2 +(9 -11) 2 +( 7 -11)2 6 17 111 17 111 94 x+=，可知当x = 2时，y =- 2 + 14 7 14 7 7（2）由y =-因此总收入为94 10 1000 10000 13.43 （万元）. 7（3）由

14、题知，x = 2,3, 4 . 由（1）（2），知当x = 2时，y 13.42，所以y = 13 ；当x = 3时，y =-51 111 171 += 12.21，所以y = 12 ；14 7 14 34 111 77 += 11，7 7 7当x = 4时，y =-即x = 2,3, 4时，与之相对应的y的值分别为13,12,11，又P ( y = 13)= P ( x = 2 )=4 1 =，16 4P ( y = 12 )= P ( x = 3)= P ( y = 11)= P ( x = 4 )=8 1 =，16 2 4 1 =，16 4所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量y的分布

15、列为1 1 1 E ( y )= 13 + 12 + 11= 12 . 4 2 4220.解：由题知抛物线C : x = 4 y的焦点为F ( 0,1)，设A x1 , y1，B ( x2 , y2 ) .()由 x2 = 4 y y = kx + a x2 - 4kx - 4a = 0，则D= 16 k + a 0，且x1 + x2 = 4k，x1 x2 =-4a .2()（1）若直线l过焦点F，则a = 1，所以x1 + x2 = 4k，x1 x2 =-4 .由条件可知圆x +( y - 1)= 1的圆心为F ( 0,1)，半径为1，2 2又由抛物线定义可知AF = y1 + 1，BF =

16、 y2 + 1，故可得AD = AF -1 = y1，BE = BF -1 = y2，所以AD BE = y1 y2 =( kx1 + 1)( kx2 + 1)= k 2 x1x2 + k ( x1 + x2 )+ 1 =-4k + 4k + 1 =1.2 2故AD BE为定值1. （2）假设存在点Q满足题意，设Q ( 0, y0 )，由x = 4y y =21 2 1 x，因此y = x . 4 2若四边形APBQ为菱形，则AQ / / BP，BQ / / AP，则k AQ =y1 - y0 1 y - y0 1 = x2，k BQ = 2 = x1，x1 2 x2 21 1 x1 x2，y

17、 2 - y0 = x1 x2，2 2则y1 - y0 =则y1 = y 2，所以k = 0，此时直线AB的方程为y = kx + a = a，)()则抛物线在点A (-2 a , a )处的切线为y =-所以A -2 a , a，B 2 a , a . 联立，得P ( 0, -a ) .(ax - a，同理，抛物线在点B处的切线为y = ax - a，又线段AB的中点为R ( 0, a )，所以点Q ( 0,3a ) . 即存在点Q ( 0,3a )，使得四边形APBQ为菱形，此时k = 0 .221.解：（1）当a = 2时，f ( x )= 2 ( x - 1)+ ln x = 2 x

18、- 4 x + ln x + 2 .2当x = 1时，f (1)= 0，所以点P 1, f (1)为P (1,0 )，()又f ( x )= 4x - 4 +1，因此k = f (1)= 1 . x因此所求切线方程为y - 0 = 1( x -1) y = x -1. （2）当a =-1时，g ( x )= 2ln x - x2 + m，则g ( x)=-2 ( x + 1)( x - 1) 2 - 2x = . x x因为x , e ，所以当g ( x )= 0时，x = 1，e且当1 1 x 0 ；当1 x e时，g ( x ) 0 ；e故g ( x )在x = 1处取得极大值也即最大值g

19、 (1)= m -1 . 又g= m-2-1e1，g ( e)= m + 2 - e2，2 e1 1 1 g ( e )- g = m + 2 - e 2 - m + 2 + 2 = 4 - e2 + 2 0，e e e则g ( e ) 0 1 1 r =1.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 + 1 .23.解：（1）由于f ( x )= 5 - x + 1 - x - 22 x + 4, x 2 作图如下：（2）由图像可知，当-1 x 2，f ( x )max = 2，即得M = 2 . 假设存在正数a，b，使2a + b = 2，且1 2 +=3，a b因为1 2 1 2 b+=+ a + a b a b 2b 2a b 2a + ） 2+2 4，2a b 2a b= 2+（ 2a + b = 2 1 b 2a a =当且仅当 2时，取等号， 2a b b = 1 a, b 0所以1 2 1 2 +的最小值为4，与+= 3相矛盾，a b a b 1 2 += 3成立. a b故不存在正数a，b，使2a + b = 2，且