九年级数学 212二次函数的图象和性质共6课时教学设计.docx

1、九年级数学 212二次函数的图象和性质共6课时教学设计21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及

2、探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y);(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.x-3-2-10123y9410149(2)描点:根据上表中

3、x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以

4、简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.解:分别填表,再画出它们的图象.x-4-3-2-101234y=x284.520.500.524.58x-2-1.5-1-0.500.511.52y=2x284.520.500.524.58思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和

5、不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。师生活动:学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.抛物线y=-x2、y

6、=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.探究2:对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢?师生活动:学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.教师引导学生小结(知识点、规律和方法).一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y

7、=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0,当x0时,y随x的增大而增大;如果a0,当x0时,y随x的增大而减小.三、巩固练习1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x=时,y有最值,是.【答案】下(0,-4)x=00大-42.当m时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.【答案】13.已知抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),则x=,y=.【答案】-3或3-124.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=,b=.【答案】125.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),

8、则抛物线的表达式为.【答案】y=-2x26.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是()A.y=x2B.y=x2C.y=-2x2 D.y=-x2【答案】C7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是()A.y=x2 B.y=4x2C.y=-2x2 D.无法确定【答案】A8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是()A.两条抛物线关于x轴对称B.两条抛物线关于原点对称C.两条抛物线关于y轴对称D.两条抛物线的交点为原点【答案】C四、课堂小结1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.2.二次函数y

9、=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.教学反思本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影

10、响;(4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.第2课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)教学目标【知识与技能】使学生能利用描点法作出函数y=ax2+k的图象.【过程与方法】让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.重点难点【重点】会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质,理解函数y=ax2+k与函数y=ax2的相互关系.【难点】正确理解二次函数y=ax

11、2+k的性质,理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.教学过程一、问题引入1.二次函数y=2x2的图象是,它的开口向,顶点坐标是,对称轴是,在对称轴的左侧,y随x的增大而;在对称轴的右侧,y随x的增大而.函数y=ax2在x=时,取最值,其最值是.2.抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?3.抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?二、新课教授问题1:对于前面提出的第2、3个问题,你将采取什么方法加以研究?(画出函数y=x2+1、y=x2-1和函数y=x2的图象,并加以比较.)问题2:你能在同一直角坐标系中画出函数y=x2+1与y=x

12、2的图象吗?师生活动:学生回顾画二次函数图象的三个步骤,按照画图的步骤画出函数y=x2+1、y=x2的图象,观察、讨论并归纳.教师写出解题过程,与学生所画的图象进行比较,帮助学生纠正错误.解:(1)列表:x-3-2-10123y=x29410149y=x2+1105212510(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=x2和y=x2+1的图象.问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?师生活动:教师引导学生观察上表并思考,当x依次取-3、-2、-1

13、、0、1、2、3时,两个函数的函数值之间有什么关系?学生观察、讨论、归纳得:当自变量x取同一数值时,函数y=x2+1的函数值比函数y=x2的函数值大1.教师引导学生观察函数y=x2和函数y=x2+1的图象,先研究点(-1,1)和点(-1,2)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,1)和点(1,2)的位置关系.学生观察、讨论、归纳得:反映在图象上,函数y=x2+1的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.问题4:函数y=x2+1和y=x2的图象有什么联系?学生由问题3的探索可以得到结论:函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.问题5:现

14、在你能回答前面提出的第2个问题了吗?生:函数y=x2+1与函数y=x2的图象开口方向相同、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=x2+1的图象的顶点坐标是(0,1).问题6:你能由函数y=x2+1的图象得到函数y=x2+1的一些性质吗?生:当x0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值是y=1.问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.师生活动:教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.学生动手画图,观察、讨论、归纳.解:先列表:x-2-1.5-1-0.500.

15、511.52y=2x2+195.531.511.535.59y=2x2-173.51-0.5-1-0.513.57然后描点画图,得y=2x2+1,y=2x2-1的图象.教师让学生发表意见,归纳为:函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2-1的图象可以看成是将函数y=2x2+1的图象向下平移两个单位得到的.问题8:你能说出函数y=x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗?师生活动:教师让学生观察y=x2-1的图象.学生动手画图,观察、讨论、归纳.学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言.最后归纳总结:函数y=

16、x2-1的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0,-1);当x0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值为y=-1.三、巩固练习1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2、y=x2+2、y=x2-2的图象.(1)填表:xy=x2y=x2+2y=x2-2(2)描点,连线:【答案】略2.观察第1题中所画的图象,并填空:(1)抛物线y=x2+2的开口方向是,对称轴是,顶点坐标是;抛物线y=x2+2是由抛物线y=x2向平移个单位长度得到的;(2)对于y=x2-2,当x0时,函数值y随x的增大而;当x0时)或向下(当k0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;当a0时,在对称轴的

17、左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.这时,当x=0时,y有最小值k.当a0时)或向下(当k-1时,函数值y随x的增大而减小;当x-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0.问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.师生活动:教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.学生画图并仔细观察,细心研究.教师让学生发表意见,归纳为:函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象的开口方向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数y=-(x-1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平

18、移一个单位得到的.问题8:你能说出函数y=-(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗?师生活动:教师引导学生观察y=-(x-1)2的图象,并引导学生思考其性质.学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识:函数y=-(x-1)2的图象的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,0).当x1时,函数值y随x的增大而减小;当x=1时,函数取得最大值,最大值y=0.三、巩固练习1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象.(1)填表:xy=x2y=(x+1)2y=(x-1)2(2)描点,连线:【答案】略2.观察第1题中

19、所画的图象,并填空:(1)抛物线y=(x+1)2的开口方向是,对称轴是,顶点坐标是;抛物线y=(x+1)2是由抛物线y=x2向平移个单位长度得到的;(2)对于y=(x-1)2,当x1时,函数值y随x的增大而;当x1时,函数值y随x的增大而;(3)对于函数y=x2,当x=时,函数取得最值,为;对于函数y=(x+1)2,当x=时,函数取得最值,为;对于函数y=(x-1)2,当x=时,函数取得最值,为.【答案】(1)向上x=-1(-1,0)左1(2)增大减小(3)0小0-1小01小0四、课堂小结结论如下:1.函数y=ax2(a0)和函数y=a(x-h)2(a0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=a

20、x2的图象沿x轴向左(当h0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象.2.抛物线y=a(x-h)2(a0)的性质.(1)抛物线y=a(x-h)2(a0)的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,0).(2)当a0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;当a0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当x=h时,y有最小值.当a0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;当x=h时,y有最大值.教学反思通过本节课的学习,要求大家理解并掌握函数y=ax2(a0)和函数y=a(x-h)2(a0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax

21、2的图象沿x轴向左(当h0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象;能够理解a、h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下,学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)教学目标【知识与技能】使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.【情感、态度与价值观】渗透数形结合的数学思想,培