届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版.docx

1、届高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理学案理北师大版10.3二项式定理最新考纲考情考向分析1.能用计数原理证明二项式定理2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CanrbrCbn(nN)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C (r0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)当

2、n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大(4)(ab)n展开式的二项式系数和：CCCC2n.知识拓展二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Canrbr是二项展开式的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与

3、a，b无关()(4)(ab)n的展开式第r1项的系数为Canrbr.()(5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.()题组二教材改编2(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80 B40C20 D10答案B解析Tr1C (2x)rC2rxr，当r2时，x2的系数为C2240.3若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10 B20C30 D120答案B解析二项式系数之和2n64，所以n6，Tr1Cx6rrCx62r，当62r0，即当r3时为常数项，T4C20.4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8 C7 D6答案B解析令x1，

4、则a0a1a2a3a40，令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.题组三易错自纠5(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是()AC BCCC D(1)m1C答案D解析(xy)n二项展开式第m项的通项公式为TmC (y)m1xnm1，所以系数为C (1)m1.6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN)是一个递增数列，则k的最大值是()A5 B6C7 D8答案B解析由二项式定理知，anC (n1,2,3，11)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.7(xy)4的展开式中，x3y3项的

5、系数为_答案6解析二项展开式的通项是Tr1C (x)4r(y)r(1)rC，令423，解得r2，故展开式中x3y3的系数为(1)2C6.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数典例 (1)(2017全国) (1x)6的展开式中x2项的系数为()A15 B20 C30 D35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxr，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6的展开式中x2项的系数为30.故选C.(2)(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为()A10 B20C30 D60答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5

6、(x2x)y5，含y2的项为T3C (x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2项的系数为CC30.故选C.方法二利用组合知识求解(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数典例 (1)(2018届海口调研)若(x2a) 10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B. C1 D2答案D解析由题意得10的展开式的通项公式是Tr1Cx10rrCx102r， 10的展开式中含x4(当r3时)，x6(当r2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得CaC12

7、045a30，由此解得a2，故选D.(2)(2016山东)若5项的展开式中x5项的系数为80，则实数a_.答案2解析Tr1C (ax2)5rra5rC，10r5，解得r2，a3C80，解得a2.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可跟踪训练 (1)(2017全国)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40 C40 D80答案C解析因为x3y3x(x2y3)，其系数为C2240，x3y3y(x3y2)，其系数为C2380.所以x3y3的系数为804040.

8、故选C.(2)(xa)10的展开式中，x7项的系数为15，则a_.(用数字填写答案)答案解析设通项为Tr1Cx10rar，令10r7，r3，x7项的系数为Ca315，a3，a.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题典例 (1)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)(2018汕头质

9、检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_答案1或3解析令x0，则(2m)9a0a1a2a9，令x2，则m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)若n的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1a2an的值为_答案255解析n展开式的第r1项为Tr1C (x2)nrrC (1)rx2n3r，当r5时，2n3r1，n8.对(13x)8a0a1xa2x2a8x

10、8，令x1，得a0a1a828256.又当x0时，a01，a1a2a8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.跟踪训练 (1)(2017岳阳模拟)若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为()A27C B27CC9C D9C答案B解析令x1，得2n512，所以n9，故9的展开式的通项为Tr1C (3x2)9rr(1)rC3

11、9rx183r，令183r0，得r6.所以常数项为T7(1)6C3327C.(2)(2017绵阳模拟)(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|等于()A1 024 B243C32 D24答案A解析令x1，得a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024.题型三二项式定理的应用典例 (1)设aZ且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于()A0 B1 C11 D12答案D解析512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C5

12、22 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值为12.(2)(2017安徽江南名校联考)设复数x(i是虚数单位)，则CxCx2Cx3Cx2 017等于()Ai BiC1i D1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2 017(1x)2 0171i2 0171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论跟踪训练 (1)(2018泉州模拟)190C902C903C(1)r90rC9010C除以88的余数是()A1 B1C87 D87答案B解析190C902C903C(1)r90rC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10项均能被88整除，余数是1.(2)若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，则_.答案1解析