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1、数学课标解读【课标解读】十个核心概念之一-数感 一般人提起数感，总感到它是比较玄乎的。也有人质疑，像“数感”这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，我们有加强对数感认识的必要。一、课程标准（2011年版）对数感的表述课程标准（2011年版）的提法是：数感主要是指关于数与数量、数量关系运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”将数感表述为感悟不仅使这一概念有了较大的包容性，也使得这一概念有了更实在的意义，有利于一线教师的理解和把握。在前期课程实施中，人们对

2、数感内涵的认识较多强调其直觉、感知、潜意识、经验等方面，在教学中教师也常常有“虚无缥缈”之感，找不到教学支点。将数感表述为感悟，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性，领悟。“感是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体（如感官等）而不是通过大脑思维，它含有原始的，经验的成分。悟是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。感悟是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”课程标准（2011年版）将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并依据学生的实际所作出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握

3、数感培养的几条主线。二、关于学生数感的培养数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。1、重视低学段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系。在教学中培养学生的数感在第一学段是重点。课程标准（2011年版）在第一学段目标中明确指出：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”这一学段教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式。比如刚入学的儿童在认识10以内的数的时候，应该通过实物、图片等

4、，将数与物对应起来；以后在认识20以内、100以内的数时，可以对具体实物通过估一估、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉，如数100粒黄豆、100根小棒，估计教师里的学生人数，估计一堆水果的数量等。我们还可以就同一个数在实际生活中的多种意义所表现的数量加强对数的感知。比如1200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播体操的队形需要都多大的场地？类似这样的问题可以让学生举一反三。应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。比如在第二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义，用负数表示日常生活的问题，

5、建立起对负数的数感。在第三学段，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质。2、紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维。反之，学生数感的提升也使得他们能用数字的眼光看周围的世界，正如课程标准（2011年版）所说：“建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”。比如，让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮政编码、汽车

6、牌照号、身份证编号的规律和意义。下面的问题更是能让学生感到，建立良好的数感，对数字信息作出合理解释与推断的重要：如果火车票上的车次号有两个含义，一是数字越小表示车速越快，198次为特快车，101198次为直快车，301398次为普快车，401598次为普客车；二是单数表示从北京开出，双数表示开往北京，现在有一张车票的车次号为122，它能给你什么信息？3、让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益。比如，组织学生参加调查活动，让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你到学校

7、大约要多长时间？教室面积多大?学校食堂有多大？你家住房有多少平方米？你所在的城市有多少人口？如何测量一张纸的厚度？还可组织学生针对一周出版的某种报纸讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用数来解决这些具体问题等。这样的数学活动有利于学生在相互交流中从多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。【课标解读】十个核心概念之二-符号意识 符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明

8、确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”。针对这种“运算”的算法是形式化的，“几乎是自动化的，不需要每次都从头做起”。此外数学符号还具有简略性和通用性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起着举足轻重的作用。法国数学家让迪多内在论数学的进展一文中将“引进好的符号”作为促进数学发展的重要原因之一。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培

9、养也成为重要的教学目标。一、课程标准（2011年版）中符号意识所包含的内容： 此次修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这两个称谓就其英文表述来看没有变化，而中文表述将“感”改为“意识”应该说其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论。在这个过程中，数学符号对于学习者来说主要的还不是潜意识、直觉或感觉，而是一种主动的使用符号的心理倾向。所以用“意识”更准确些。课程标准（2011年版）对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：1能够理解并且运用符号表示数

10、、数量关系和变化规律课程标准（2011年版）中的这个要求针对的是符号表示，它有两层意思：一是能够理解符号所表示的意义；二是能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规律等）。每一个数学符号都有它特定的含义，如“+，-，”分别表示特定的运算意义，“=，”则表示数学对象之间的某种关系。使学生理解符号的意义是数学学习中的最基本的要求，也是符号意识的最基本要求。由于数学符号是一种特殊的语言，对数学符号的理解也有其固有的特点和要求：因为符号具有一定抽象度，对符号的认识和理解就不应是形式上的，而应是实质上的，即应从抽象的符号本身看到其所表征的准确的数学意义；由于符号具有压缩信息的功能，所以对符号的意义

11、的理解就不应是片面的，而应是全面的、完整的。特别是将符号语言转换为我们所熟悉的生活语言时，应该抓住其数学本质予以解读和表征；由于数学符号具有概括性和一般性特征，所以对它的认识和理解又不应是孤立的、僵化的，比如应注意符号与符号之间的关联（如“+”与“”之间的关系），也应注意同一符号的多重意义的理解（如y=ax既可表示矩形面积与长、宽关系，也可表示平行四边形面积与底、高的关系，也可表示路程与时间、速度的关系，也可表示总价与单价、数量之间的关系，还可表示半圆周长与圆周率、半径的关系）。对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。运用符号表达数学对象就是“用”符号的重要方面。这里的数学对象主要指数、数量关系

12、和变化规律，它们在各个学段都有自己特定的要求。关于用符号表达数学对象这里着重指出两点：一是要注意义务教育阶段整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂、由相对具体到相对抽象的过程。比如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表汞数字运算关系，其抽象度显然不及用字母代替数及用字母表示数量关系，后者对前者来说是一个阶段性的变化。而用符号关系式或一定的数学模式语言去表示特定的数学变化规律则又更为抽象和复杂。这表明关于数学表达的符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程。二是数学符号的表达是多样化的，比如关系式、表格、图象等都是表达数量关系和变化规律的符号工具，有时，即使是同一数学对象也

13、可采用多种符号予以表达。而多种符号表达方式之间也是可以转换的。符号表达上的这些特点值得我们在教学中关注。例1 （课程标准（2011年版）例9）在下列横线上：填上合适适的数字、字母或图形，并说明理由。通过观察规律，使第一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。2知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性这一点很重要。从某种意义上说这正是符号意识作为一种“意识”需要强化的。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。由于运算和推理是数学活动最重要的基本形式，所以课程标准2011年版）的这一要求是希望在各学段学习中，

14、都加强学生在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练，这涉及的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等。3使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式数学表达是学生在解决具体问题时必须采用的方式，数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达。通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力成为当今课堂关注的目标。比如这样一个问题：“某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的关系。”显然，购书数量与付款金额之间呈函数关系（分段函数），为了解决问题的方便，我们可以分别采用函数关系式、列表、作

15、出图象等多种符号表达方式来表示这一具体问题。发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”，这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映，是最具数学特色的思维方式。举一个简单的例子：“房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几把椅子和几个凳子？”如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。三、关

16、于学生符号意识的培养.在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识概念、命题、公式是数学课程内容中的重要组成部分，它们常常是数学教学的重点，而它们又和数学符号的表达和使用密切相关。正因为如此，课程标准（2011年版）在学段目标和各学段课程内容中都提出了具体要求。如：“理解符号的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小”，“认识小括号”（第一学段）；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”“能用方程表示简单情境中的等量关系”（第二学段）；“能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示”“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数

17、量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识”（第三学段）。2结合现实情境培养学生的符号意识一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，对某一特定的符号表达式启发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。 3在数学问题解决过程中发展学生的符号意识符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动用符号的意识，因此，符号意识的培养仅靠一些单纯的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果的。引导学生经历发现

18、问题，提出问题（这实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（这实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的数学活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质。逐步促进学生符号意识得到提高。【课标解读】十个核心概念之三-空间观念 一、课程标准（2011年版）中空间观念所包含的内容课程标准(2011年版)中没有具体给出空间观念的内涵，而是从是否具有空间观念的几个表征出发对其进行描述。课程标准（2011年版）是从四个方面进行刻画描述的：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描

19、述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。课程标准(2011年版)对空间观念的描述，是在义务教育阶段通过图形与几何内容的学习对学生在这些方面的要求以及需要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。二、空间观念的培养空间观念的培养是一个长期的经验积累的过程，因此对教学的要求有别于具体的几何知识，但它又是在几何知识的学习中体现的。全美数学教师理事会在1989年指出，发展学生的空间观念，儿童必须具有许多经验。例如，几何关系的要点，在空间中物体的方向、

20、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变大小来改变形状。这些经验要依靠儿童以下几个方面的能力，如会运用像“上面”“下面”和“后面”等一些词语，画出一个图形旋转90o或180o以后的图形，作图、折叠，让儿童想象、绘制和比较放在不同位置上的图形，等等，这些活动将有助于发展他们的空间观念。事实上，在图形与几何课程的学习中，还是可以利用很多的素材和机会发展学生的空间观念的，主要是我们如何来认识和利用这些素材和机会。1促进空间观念发展的课程内容课程标准(2011年版)中不仅将发展空间观念作为核心概念和目标，同时，在三个学段都重视了发展学生空间观念的内容的设置，这些在本书的内容分析部

21、分都有提及。例如，第一、第二学段的“图形与运动”“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是发展学生空间观念的很好的素材；第一、第二学段中的从不同方向观察物体、运用基本图形拼图，以及基本几何体的展开图等，也都是旨在发展学生空间观念的课程内容。在第三学段，“图形的变化”中的各种图形的运动，尤其是“图形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念。事实上，空间观念的培养在图形的认识以及图形的证明过程中，都会有所体现，因为对几何图形的认识和证明中对图形特点的观察也需要想象，也有根据他人的描述画出图形的过程。因此，很好地认识空间观念的含义与意义，在图形与几何内容学习中抓住典型内容，就可以将空间观念

22、的培养贯穿于这个学习过程中。2促进空间观念发展的教学策略(1)现实情境和学生经验是发展空间观念的基础空间观念的形成基于对事物的观察与想象，而现实世界中的物体及其关系是学生们观察的最好材料，学生的已有经验也是观察、想象、分析的基础。因此在教学中，结合学生们熟悉的现实问题情境是发展学生空间观念的有效策略。例如，绘制学生自己房间或学校的平面图；描述从家到学校的路线图；描述观察到的情境的画面；描述游乐园中各种运动的现象等，这些问题既是他们生活中熟悉的，又是在数学学习中需要重新审视和加工的。平时看到的东西，要进行回忆，在头脑中想象，加工之后的再现，就已经是数学的抽象了，这其中就渗透了空间观念发展的元素了

23、。无论是教材的编写还是教师的教学设计，需注意开发和利用现实世界中丰富的资源：城市的建筑与立交桥，乡村的院落与山水，我们生活的广阔空间和其中的大量实物，为我们提供了一个鲜活的大课堂，供我们观察、想象与描述。（2）利用多种途径发展学生的空间观念从课程标准（2011年版）对空间观念的描述和有关的课程内容的分析中，我们能够感觉到，发展学生的空间观念应该是有多种途径的。生活经验的回忆与再现，实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是发展学生空间观念的有效途径。教学中教师应结合教学内容恰当的安排学生的活动，创造条件使学生有机会从事上述的活动来发展空间观念。例如，我们可以在小学高年级安排这样

24、的折纸活动：将一张正方形的纸对折后，再对折一次，然后用剪刀剪出一个小洞。再把纸完全展开请画出或从下面四个图中选择它的展开图。(3)在学生的思考、想象过程中发展空间观念空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要不断的经验的积累、想象力的丰富，因此教学中要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析。这其中还有观察与想象的相互关系问题。观察与描述往往是空间观念发展的基础，而想象与再现则是更高层次的空间观念的表现。如果在教学中，我们提出这样的问题：如图6-2所示，桌子上摆着三件物品，图6-3是从上面看到的物品的图片，其中的a，b，c，d，e五点表示从桌子的四周观察三件物品的不同地点。请判断下边的一组

25、图分别是从a,b,c,d,e五点中的哪一点看到的。对于学生来讲，可能直接的观察与想象是有些困难的，有的教师会模拟地创设这样一个情境，让学生直接去观察具体物体的摆放场景，然后进行判断。这样做确实能够降低纯粹靠想象作出判断的难度，但同时也失去了培养学生想象力的机会。因此，教师不妨让学生先想一想，尝试着作出判断，然后再实际地看一看，把实际看到的和想象的进行比较，得出正确的结论。这样将有助于学生积累想象的经验，提高对物体之间关系进行把握的能力，发展学生的空间观念。【课标解读】十个核心概念之四-几何直观 一、课程标准（2011年版）中的几何直观在普通高中数学课程标准（实验）中也对几何直观十分关注:“三维

26、空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。”在课程标准（2011年版）中，把几何直观作为数学课程标准10个核心概念之一，这是一个进步。课程标准（2011年版）明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”在数学课程中，几何内容是很重要的一部分。几何课程的教育价值，最主要的应该有两个方面：一方面，几何能培养学生

27、的逻辑推理能力；另一方面，它也能培养学生几何直观能力。但目前，在部分教师中对此在认识上存在着一定的局限性，在几何教学中他们仅仅重视培养逻辑推理能力，忽视了对学生几何直观能力的培养。我们应全面地理解几何教育价值，重视几何直观。 在义务教育阶段教学和指导学生学习时，认识和理解“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”这一点是非常重要的。它表明，我们不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。 正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆

28、得到的结果。总之，图形可以帮助我们把困难的数学问题变容易，把抽象的数学问题变简单，对于数学研究是这样，对于学习数学也是如此。学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。这种几何直观能力能使我们更好地感知数学、领悟数学；数学逻辑和数学直观对数学都是重要的，他们也是相互交织、关联的，直观中有逻辑，逻辑中有直观。在义务教育阶段，许多重要的数学内容、概念都具有“数”和“形”两方面的本质特征（如小学的分数概念、路程问题等），学会从两个方面认识数学的这些对象是非常重要的，即数形结合是认识数学的基本角度，与其说是方法，不如说这是基本要求。从这一点看，不注重数形结合在数学上就没有学明白。二、几

29、何直观的培养1在教学中使学生逐步养成画图习惯在日常教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的益处。无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。2重视变换让图形动起来几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。一方面，在数学中，我们接触的最基本的图形都是“对称”图形，例如，球、圆锥、圆台、正多面体、

30、圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等，都是“不同程度对称图形”；另一方面，在认识、学习、研究“不对称图形”时，又往往是运用这些“对称图形”为工具的。变换又可以看做运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看做一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180o，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是培养几何直观的好办法。3学会从“数”与“形”两个角度认识数学在前面的论述中，多次反复强调了这一点，数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转

31、化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。4掌握、运用一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了上面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。【课标解读】十个核心概念之五-数据分析观念 一、数据分析观念的意义及含义在课程标准（2011年版）中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于

32、同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”在这段表述中，点明了两层意思。第一，点明了统计的核心是数据分析。“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图象，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。”第二，点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。这三个方面也正体现了统计与概率独特的思维方法。二、对数据分析观念要求的分析1体会数据中蕴涵着信息统计学是建立在数据的基础上的，本质上是通过数据进行推断。义务教育的重目标是培养适应现代生活的合格公民。而在以信息和技术为基础的现代社会里，充着大量的数据，需要人们面对它